Закон движения точки по траектори системы

При естественном способе задания движения задаются траектория и закон движения точки по траектории. Движение точки рассматривается относительно фиксированной системы отсчета. Задание траектории относительно выбранной системы отсчета осуществляется различными способами уравнениями (возможно, вместе с неравенствами), словесно или в виде графика (в каком-либо масштабе). Например, можно сказать, что траекторией автомобиля, принимаемого за точку, является дуга окружности радиусом 10 км и т. д [c.107]

Рассматривая параметр t как время , можно дать следующую кинематическую интерпретацию системы (I) решение а = ф (i), = Ф (i) можно рассматривать как закон движения точки по траектории на фазовой [c.26]

Прямая, перпендикулярная к касательной т и к главной нормали п°, называется бинормалью к траектории в точке М. Единичный вектор бинормали обозначим через 6 положительное направление Ь° выберем так, чтобы три взаимно перпендикулярные вектора т °, п°, Ь° образовали правую систему осей. Эта система осей называется естественными осями, а прямоугольный трехгранник г , п°, Ь° с вершиной в точке М. — естественным трехгранником. Эта новая система координатных осей будет двигаться по траектории вместе с точкой М, следовательно, ориентация осей естественного трехгранника в пространстве будет изменяться в зависимости от вида траектории и закона движения точки по этой траектории. [c.255]

Рассмотренный способ определения положения точки называется естественным. Таким образом, при естественном способе задания движения точки должны быть известных а) траектория точки в выбранной системе отсчета, б) начало и положительная сторона отсчета, в) закон движения точки по данной траектории в виде уравнения s = f it) или графика. [c.166]

В этой главе будет дано изложение только кинематики точки. В кинематике точки рассматриваются следующие две основные задачи 1) установление математических способов задания (описания) движения точки по отношению к данной системе отсчета 2) определение по заданному закону движения точки всех кинематических характеристик этого движения (траектории, скорости, ускорения и т. п.). [c.221]

Соотношения (II) также являются интегралами системы дифференциальных уравнений (I), причем первая группа интегралов не будет содержать явно время t и поэтому она будет являться геометрической группой интегралов, определяющей траекторию движения, изображающей точки в /г-мер ном пространстве. Последний интеграл, содержащий время t в яв ном виде, называется кинематическим, дающим закон движения изображающей точки по траектории. Вторая группа п—1) интегралов служит для определения импульсов ру [c.63]

Но если энергия взаимодействия приближается или превышает указанный порог, картина движения коренным образом меняется в результате взаимодействия могут исчезнуть одни и возникнуть другие материальные точки на практике это те или иные микрочастицы. Таким образом, если в классической механике действует (необъявленный) закон сохранения индивидуальности материальной точки, или закон сохранения числа материальных точек в замкнутой системе, то в релятивистской области в общем случае он нарушается и говорить о дифференциальном уравнении движения материальной точки по траектории можно не всегда. [c.244]

Установление тех способов, с помощью которых может быть задано движение точек или тел по отношению к выбранной системе отсчета, является одной из задач кинематики. Основная задача кинематики состоит в том, чтобы по уравнениям, определяющим закон движения данной системы точек (тела), найти все кинематические характеристики этого движения (траектории различных точек, их скорости, ускорения и др.). [c.49]

Формулы Вине дают возможность рассчитывать скорость и действующую силу в зависимости от положения точки на заданной в плоскости V траектории. Их можно использовать, в частности, для вывода закона всемирного тяготения Ньютона из законов, сформулированных И. Кеплером по наблюдениям за движением небесных тел солнечной системы. Приведем законы Кеплера. [c.255]

Таким образом, чтобы найти движение данной системы точек, т. е. траекторию, и закон движения по ней каждой точки, достаточно найти сначала в функциях времени все обобщенные координаты р1, а затем по формулам, выражающим декартовы координаты точек системы через обобщенные координаты, можно выразить все декартовы координаты в функциях времени, т. е. установить движение системы. [c.323]

Чтобы получить формулы, представляющие общее решение относительно каких угодно осей, очевидно, достаточно выполнить в уравнениях, полученных в п. 6 и относящихся к специальной системе осей, произвольную замену координат. Но так как на основании прямого исследования мы уже знаем геометрическую природу траектории и закон движения по ней, то будет более наглядно и более полезно для целей дальнейшего изложения заранее выбрать систему параметров (геометрических и кинематических), которые были бы удобны прежде всего для определения формы и размеров орбиты, затем положения, занимаемого ею в пространстве, отнесенном к любым осям, и, наконец, закона движения по орбите. [c.205]

Действительное механическое явление следует понимать или изображать как волновой процесс в -пространстве, а не как движение изображающей точки в этом пространстве. Рассмотрение движения изображающей точки, составляющее предмет классической механики, является лишь приближенным способом изучения поведения системы и может быть оправдано лишь подобно тому, как в некоторых случаях оправдывается применение лучевой или геометрической оптики для изучения действительных волновых оптических процессов. Макроскопический механический процесс должен изображаться как волновой сигнал описанного выше вида, который с достаточным приближением может считаться точечным в сравнении с геометрической структурой траектории. Как мы видели, для подобного сигнала или группы волн действительно выполняются точно те же законы движения, что и устанавливаемые классической механикой законы движения изображающей систему точки. Подобный способ рассмотрения теряет, однако, всякий смысл, если размеры траектории не очень велики по сравнению с длиной волны или даже сравнимы с ней. В этом случае следует перейти к строгому волновому рассмотрению, т. е. следует изображать многообразие возможных процессов, исходя из волнового уравнения, а не из основных уравнений механики, которые для объяснения сущности микроструктуры механического движения столь же непригодны, как и геометрическая оптика для объяснения явлений дифракции. [c.690]

Выше мы видели (см,, например, рис. 9,6), что фазовая траектория расположена на цилиндрических поверхностях, образующая которых параллельна оси 0, а направляющими служат кривые Жй(0). Поскольку в течение времени запаздывания закон движения системы не изменяется, изображающая точка будет перемещаться по той же поверхности, на которой она находилась до встречи со статической линией переключения. К этой же цилиндрической поверхности будет принадлежать и динамическая линия переключения следовательно, в данном случае она будет некоторой пространственной кривой, лежащей на фазовой поверхности Ж (6). [c.49]

В соответствии с принципом Гамильтона, используемым в механике, интеграл от функции Лагранжа по времени в пределах между двумя фиксированными точками должен быть стационарен при изменении траектории системы относительно истинной на небольшую, но произвольную величину. Из этого принципа можно вывести уравнения, которые должны удовлетворяться вдоль истинной траектории. Они называются уравнениями Эйлера и для простой механической системы представляют собой просто законы движения Ньютона [33]. [c.239]

Сделаем прежде всего следующее замечание. Картину кривых на фазовой плоскости мы можем, как мы уже видели, описывать либо одним уравнением (2.3) и изучать с его помощью интегральные кривые, либо описывать системой уравнений (2.2) и изучать фазовые траектории. В сущности можно сказать, что во втором случае мы после решения получаем уравнения тех же интегральных кривых, но в параметрической форме x = x t), y = y t), иначе, получаем закон движения изображающей точки по интегральной кривой на фазовой плоскости. Различие этих двух способов изображения одного и того же семейства кривых особен о ярко проявляется в следующем. Пусть х = х , — координаты ) особой точки уравнения (2.3), т. е. [c.107]

Функцию Х х,1) в дальнейшем будем считать непрерывной в некоторой открытой области О. Система (1.1) задает закон движения некоторой начальной точки ( о) и +1 -мерного фазового пространства по траектории х 1) = х 1,х 1 )). [c.22]

Движение точки может быть задано одним из трёх способов векторным, координатным или естественным. При векторном способе положение точки по отношению к системе отсчёта определяется её радиусом-вектором г, проведённым от начала отсчёта до движущейся точки, а закон движения даётся векторным ур-нием г=г 1). Траекторией точки явл. годограф вектора г. При координатном способе положение точки относительно системы отсчёта опреде- [c.281]

Под влиянием каждого отдельного столкновения происходит очень малое отклонение частицы от ее макроскопической траектории. Если мы не хотим входить в детали динамики системы многих частиц, то единственное утверждение, которое можно высказать относительно столкновений, заключается в том, что они весьма многочисленны и чрезвычайно нерегулярны как по своей силе, так и по направлению. Вопреки первому впечатлению, это утверждение ни в коем случае не является ни негативным, ни обескураживающим. Напротив, если мы готовы отказаться от детерминизма в описании прогресса, то это утверждение дает нам необходимую основу для применения закона больших чисел и теории вероятности. Мы не можем считать силу А (t) заданной функцией времени однако можем сделать разумные предположения о влиянии столкновений, усредненном по большому числу макроскопически одинаковых ситуаций (т. е. по ансамблю). Аналогично мы не можем предсказать скорость или положение броуновской частицы в каждый момент времени t, но можем предсказать средний результат большого числа экспериментов, выполненных в одинаковых условиях. Следовательно, весь подход к решению уравнения (11.2.2) отличается от традиционной детерминированной начальной задачи для дифференциального уравнения. Уравнение (11.2.2) является типичным (и знаменитым) представителем класса так называемых стохастических (или случайных) уравнений движения. По имени [c.11]

К изучению биллиардов в многоугольниках и многогранниках сводятся некоторые задачи классической механики. Пусть на отрезке движется п 2 материальных точек, упруго отражающихся друг от друга и от концов отрезка. Так как порядок точек на отрезке при их движении не меняется, то конфигурационным пространством этой системы является симплекс. Можно показать, что закон упругого столкновения частиц приводит к отражению траектории от границы этого симплекса по закону угол падения равен углу отражения . [c.177]

Прямая задача динамики для системы материальных точек сводится к решению системы ЗN дифференциальных уравнений, так как уравнение движения вида (11.1) для каждой из N точек системы дает в проекции на координатные оси три дифференциальных уравнения для координат точки хД/),>>Д ), ,(/). Строгое аналитическое решение удается найти лишь в исключительных случаях, поэтому обычно используют приближенные методы. Однако существует несколько строгих общих законов, которые хотя сами по себе и не позволяют в общем случае найти траектории отдельных точек системы, вместе с тем дают важную информацию о движении системы в целом. Это закон (или теорема) о движении центра масс и три закона изменения и сохранения импульса, момента импульса и механической энергии системы материальных точек. Их выводу и обсуждению посвящена настоящая глава. [c.38]

Решение навигационной задачи по выборке нарастающего объема по разновременным измерениям, как правило, основано иа рекуррентных алгоритмах. По точности сии аналогичны итерационным методам, однако для их реализации необходимо построить динамическую модель движения определяющегося объекта, элементов рабочего созвездия СНС и задающего генератора времени (частоты). В данном случае под динамической моделью понимают математическую модель, которая описывает с той или иной степенью точности все процессы, происходящие в системе потребитель—СНС—внешняя среда. Сюда же входит и модель случайных возмущений определяемых параметров. Разработка динамических моделей является сложным и многоступенчатым процессом. Так, иапример, модель динамики объекта должна отражать закон изменения во времени его вектора состояния x(i), конкретный вид которого зависит от выбора опорной системы координат, от типа объекта (корабль, самолет, КА и т. д.) и от статистических характеристик действующих на него случайных возмущений. На практике исходят из предположения, что динамическая модель должна быть достаточно простой, чтобы сохранить время на вычисления и обработку результатов, и в то же время достаточно полной, чтобы учитывать маневренные характеристики объекта. Для многих задач оказывается приемлемым с точки зрения требуемой точности навигационных определений использование линейных динамических моделей, которые могут быть получены путем линеаризации исходных нелинейных систем дифференциальных уравнений около опорной траектории иа заданном временном участке, соответствующем, иапример, времени определения. В матричном виде линейная модель, описывающая динамику объекта с учетом случайных возмущений, имеет вид [c.247]

Условие, положенное в основу работы системы самонаведения, называется методом наведения. Метод наведения определяет теоретическую траекторию ракеты. Выбранный метод наведения осуществляется, как правило, с помощью счетно-решающего прибора (СРП), который получает информацию об относительном положении ракеты и цели, о скоростях и направлении их движения. На основании этой информации СРП вычисляет желаемую траекторию движения ракеты и наивыгоднейшую точку встречи ее с целью. Результат вычислений преобразуется в управляющие команды, поступающие на рули. Рули, отклоняясь, управляют ракетой по заданному закону. [c.19]

Контурные СУ характеризуются воспроизведением заданных траекторий в пространстве. В этих системах помимо задач позиционного управления добавляются такие, как отслеживание заданной траектории, управление по оптимальному закону в периоды разгона и торможения, а в некоторых случаях — синхронизация движений робота и объекта. В контурных СУ ПР нет необходимости задавать большое число координат точек, достаточно указать начальную и конечную позиции, а все промежуточные позиции можно описать функцией, характеризующей вид траектории. [c.112]

Функции систем приведены на рис. 78. На системы управление первой группы возлагается широкий диапазон задач — от поиск начальной точки сварки до выбора закона перемещения инструмента от точки к точке для обеспечения заданного динамического режима работы. Такие системы на первом этапе должны обеспечивать коррекцию траектории сварочного инструмента с целью выхода его начальную точку и слежение за кромкой детали для выполнения швов, эквидистантных кромке. Развитие таких систем позволит обеспечить управление перемещением сварочного инструмента по-любой заданной траектории, параметры которой корректируются относительно кромок и поверхностей свариваемой детали в процессе движения инструмента. [c.185]

Mнoжитeль е в этом выражении является весьма медленно изменяющейся функцией времени — ее период, как указано выше, весьма велик по сравнению с периодом колебаний даже столь длинного маятника, как маятник Фуко. Разделяя в t вещественную и мнимую части, убеждаемся, что траектория точки, движущейся по закону Si(0. представляет собой эллипс (результат слол<ения двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой частоты - fglL ). Наличие при множителя указывает, что этот эллипс весьма медленно вращается с угловой скоростью oi = = (О siii ф. Это вращение в северном полушарии происходит по часовой стрелке, а в южном — против часовой стрелки его не следует смешивать с тем вращением оси эллипса, которое имеет место при движении сферического маятника в отсутствие вращения Земли. Как уже было указано в 161 (пример 143), последнее вращение происходит всегда в ту же сторону, что и движение точки по эллипсу, а угловая скорость его зависит от начальных условий движения. Заметим, что принятое при составлении системы уравнений (58) приближение недостаточно для обнаружения этого вращения оси эллипса. Действительно, при со = О последнее из уравнений (58) дает [c.441]

ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ — часть энергии ме-ханич. системы, находящейся в нек-ром силовом поле, зависящая от положения точек (частиц) системы в этом поле, т. е. от пх координата , у , z или от обобщённых координат системы qi. Численно П. э. системы в ланно.и её положении равна той работе, к-рую произведут действующие на систему силы поля при перемещении системы из этого положения в то, где П. э. условно принимается равной нулю (нулевое положение). Из определения следует, что понятие П. э. имеет место только для системы, находящейся в потенциальном силовом поле, в к-ром работа действующих на систему сил поля зависит только от начального п конечного положений системы и не зависит от закона движения точек системы, в частности от вида их траекторий. Напр., для механич. системы, находящейся в однородном поле тяжести, если ось Z направлена вертикально вверх, II. э, П = mgz , где т — масса системы, g — ускорение силы тяжести, Zq — координата центра масс (нулевое положение = 0) для двух частиц с массами и т , притягивающихся друг к другу по всемирного тяготения закону, П = —где G — гравитационная [c.92]

Чтобы найти, например, таким методом отклонение падающей точки благодаря вращению Земли, мы вводим инерциальную систему отсчета с началом в центре Земли, причем оси этой системы направлены на три неподвижные звезды движение точки относительно этой системы происходит под действием ньютони-анского притяжения к центру Земли, причем известно начальное положение точки и ее начальная скорость Уо = (i + ft) со os ф. Зная силу и начальные условия, находим эллиптическую траекторию у нашей точки, закон движения по этой траектории ) и точку пересечения М2 этой последней с поверхностью земного шара после этого легко найти точные формулы для искомых отклонений точки М2 от точки Mi на Земле, находившейся в начальный момент времени на одной вертикали с точкой Л1 ). [c.121]

Точка движется по плоской кривой. В каждый момент времени известны скорость г ( ) и кривизна траектории k t). Показать, что система дифференциальных уравнений х = г совх)/, у = г 81п /, < = vk определяет закон движения точки х = x(t)., у = y(t). [c.10]

В кинематике рассматриваются две основные задачи 1) установление математических способов задания движения точки или тела относительно выбранной системы отсчета (т. е. способов определения иолонгения точки или тела в пространстве) или установление закона движения тела 2) определение по заданному закону движения тела всех кинематических характеристик этого движения (траекторий, скорости и ускорения точ1 и или линейных скоростей и ускорений точек тела, угловых скоростей и угловых ускорений тела). [c.13]

Двухимиульсная структура оптимальных перемещений дает ключ к пониманию соответствующей задачи синтеза оптимальные законы по принципу обратной связи следует искать в классе позиционных процедур импульсной коррекции. Согласно такой процедуре последовательно осуществляется сброс фазового изображения объекта на особое многообразие в фазовом пространстве. Как отмечалось, такое многообразие сплошь заполнено оптимальными фазовыми траекториями невозмущенной системы. С уменьшением времени между последовательными коррекциями фазовая точка объекта все чаще начинает попадать на особое многообразие. В результате в процесс управляемого движения объекта вносится эффект тина скольжения вдоль особого многообразия. С увеличением частоты коррекции фазовая траектория объекта стремится к траектории, соответствующей так называемому идеальному скольжению [38]. Такое скольжение описывается исходной возмущенной системой с управлением, превращающим особое многообразие в интегральное многообразие. Если эта система совпадает с системой оптимальных движений, то можно делать вывод о том, что процедура импульсной коррекции с неограниченно возрастающей частотой обеспечивает оптимальное поведение [c.42]

Анализ трех простейших принципиальных кинематических схем резания, проведенный в 5.1, показывает, что количество, направление и характер сочетаемых движений определяют в каждой точке режущей кромки траекторию относительного перемещения, форма которой в пространстве характеризуется угловыми величинами. Выше было также показано, что действующие в процессе резания угловые геометрические параметры режущей части резца, а также плоскости, в которых они измеряются, не совпадают с обозначенными на чертеже. Поэтому наряду с правилами, регламентирующими простановку на чертежах исходных угловых величин ф, ф1, X, а и у, необходима дополнительная система, взаимосвязывающая угловые геометрические параметры в процессе резания, когда лезвия резца и поверхность резания находятся в состоянии взаимного перемещения по траекториям результирующего движения согласно принятой принципиальной кинематической схеме резания. Такую систему позволяет сформулировать кинематика резания, рассматривающая закономерности относительных движений и связанных с этим угловых геометрических параметров режущей части инструментов на основе общих законов математики и механики. [c.55]

ОРБИТА электронная — траектория движения электрона вокруг ядра в атоме или молекуле ОРБИТАЛЬ —волновая функция одного электрона, входящего в состав электронной оболочки атома или молекулы и находящегося в электрическом иоле, создаваемом одним или несколькими атомными ядрами, и в усредненном электрическом поле, создаваемом остальными электронами ОСЦИЛЛЯТОР как физическая система, совершающая колебания ангармонический дает колебания, отличающиеся от гармонических гармонический осуществляет гармонические колебания квантовый имеет дискретный спектр энергии классический является механической системой, совершающей колебания около положения устойчивого равновесия) ОТРАЖЕНИЕ [волн происходит от поверхности раздела двух сред, и дальнейшее распространение их идет в той же среде, в которой она первоначально распросгра-нялась диффузное характеризуется наличием нерегулярно расположенных неровностей на поверхности раздела двух сред и возникновением огражен1 ых волн, идущих во всех возможных направлениях зеркальное происходит от поверхности раздела двух сред в том случае, когда эта поверхность имеет неровности, размеры которых малы по сравнению с длиной падающей волны, а направление отраженной волны определяется законом отражения наружное полное сопровождается частичным поглощением световой волны в отражающей среде вследствие проникновения волны в Э1у среду на глубину порядка длины волны полное внутреннее происходит от поверхности раздела двух прозрачных сред, при котором преломленная волна полностью отсутствует] [c.257]

Сейча,в.мы знаем, что в системе, движущейся по кривой, какой является и окружность, невозможно соблюдение закона инерции эта система не является инерциаль-ной. Действительно, в принципе Галилея величина скоро- fji относительно движения не играет роли, как и скорость движения одной инерциальной системы относительно другой. (Важно только, чтобы эта скорость не была соизмерима со световой, иначе мы вклинимся из механики классической в эйнштейновскую релятивистскую механику.) Но если кораблю придать первую космическую скорость (8 км/с), то все предметы в его трюме, как и сам корабль, сделаются невесомыми. Механический эксперимент, проведенный с достаточной точностью, покажет, что и для реальных скоростей движения перемещения тел в трюме движущегося корабля и корабля неподвижного будут различаться между собой. Более того, движение тел изменится, если корабль будет идти с одной и той же скоростью, по разными курсами — допустим, по меридиану и по экватору. Не только движущиеся в трюме тела будут сбиваться с предполагаемой траектории, но и сам корабль в северном полушарии будет относить вправо по курсу, а в южном — влево. Интересно, что эти отклонения, вызванные вращением Земли как неинерциальиой системы, не зависят даже от направления движения. [c.16]

Упомянем здесь же об одной, очень простой, как казалось бы с первого взгляда, точке зрения, позволяющей основать ряд результатов статистической механики на одной лишь классической механика. Кратко говоря, суть этой точки зрения заключается в том, что вследствие крайней сложности и запутанности фазовой траектории статистической системы поведение этой траектории хотя и описывается алгорифмом, но настолько сложно, что даже за очень большие времена (которые можно определить точнее, например при помопди сравнения с временем возврата) имитирует поведение величия, распределенных по законам случая. Казалось бы. таким путем можно получить приближенное согласие с вероятностными законами физической статистики. Мы уже указывали в этом параграфе на один из недостатков такой точки зрения вероятностное описание явлений в статистических системах и, в частности, вероятностное описание флюктуаций и броуновского движения, является лишь приближенным и применимым для определенных интервалов времени например, для времен, сравнимых с временем возврата, вероятностное описание заведомо привело бы к ошибкам. В противоречии с этим, опыт не дает нам никаких ограничений для возможности применения чисто вероятностных схем. Как мы уже отмечали, наличие одного лишь этого противоречия еще не может заставить нас отбросить такую точку зрения (хотя это противоречие принципиально вполне может быть разрешено чисто опытным путем м. гл. V). [c.55]

Главная же причина, по которой эта точка зрения совершенно неприемлема, заключается в том, что указываемая ею постановка опыта — определение распределения величин при наблюдении ничем не возмущаемой эволюции системы за длинные промежутки времени (на языке классической механики — эволюции системы при движении по заданной фазовой траектории) — совершенно отлична от обычной постановки опытов в статистической механике, опытов, служащих для установления и проверки ее вероятностных законов. В этих последних опытах мы неограниченно воспроизводим некоторое начальное состояние (макроскопически описанный комплекс условий), причем это состояние каждый раз воспроизводится нам заново , т. е. рассматриваемое начальное состояние в наших опытах отнюдь не обязано возникать в течение одной и той же невозмущенной эволюции системы (т. е., не обязано лежать на одной и той же фазовой траектории). Для возможности установления вероятностного закона достаточно, разумеется, возможности неограничейного воспроизведения соответствующего комплекса [c.55]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...