Множество первой категории Бэр

Напомним, что подмножество топологического пространства является множеством первой категории Бэра, если оно представимо в виде конечной или счетной суммы нигде не плотных множеств. В свою очередь, нигде не плотное множество характеризуется тем свойством, что в каждой окрестности любой точки топологического пространства найдется открытая непустая область, не содержащая точек из этого множества. [c.310]

С другой стороны, можно считать большими открытые плотные множества и называть свойство типичным, если оно выполняется для множества параметров, являющегося пересечением счетного множества открытых плотных подмножеств О. Основанием для этого служит теорема Бэра П. 1.22 в полном метрическом пространстве пересечение счетного множества открытых плотных множеств плотно. Пересечение счетного множества открытых множеств называется множеством типа. Множество называется массивным, если оно содержит плотное подмножество типа. Множество называется нигде не плотным, если внутренность его замыкания пуста. Примерами нигде не плотных множеств являются дополнения открытых плотных множеств. Счетные объединения нигде не плотных множеств называются множествами первой категории. Из теоремы Бэра следует, что совокупность массивных множеств замкнута относительно операции счетного пересечения, подобно совокупности множеств полной меры. Дополнение массивного множества, очевидно, является множеством первой категории. Таким образом, совокупность множеств первой категории, замкнутая относительно операции счетного объединения, может рассматриваться как топологический аналог совокупности множеств меры нуль. Из теоремы Бэра следует, что множества первой категории несущественны в следующем смысле рассмотрим множество Р первой категории и непустое открытое множество и. Тогда множество (X 7) и не может быть массивным. [c.294]

Используя предыдущее упражнение, постройте плотное множество типа G меры нуль и множество первой категории н полной меры. [c.296]

Покажите, что для данной положительной функции / N —> К множество чисел а е К, для которых существует такое о О, что - > f q) для всех взаимно простых р, д е 2, является множеством первой категории. [c.296]

Пусть ш [0,1]- К — модуль непрерывности, т. е. такая непрерывная возрастающая функция, что ш(0) = 0. Докажите, что в пространстве С [0,1]) непрерывных функций на единичном отрезке функции с модулем непрерывности ш, т. е. такие функции, что существует е > О, для которого /(х) - /(у) < и( ж - у ) при х - у < е, образуют множество первой категории. [c.296]

Докажите, что функции /, для которых существует такой интервал (а, Ь) с [0,1 ], что / монотонна на нем, образ т множество первой категории в С([0,1]). [c.296]

Рассмотрим множество Уа.л биллиардов, принадлежащих и А, а И таких, что любой из них не имеет невырожденного периодического решения типа п, к) хотя бы для одной пары п, k) N , пу-к. Это множество в силу лемм 2г 3 и 5 есть объединение учетного числа нигде не плотных множеств в пространстве и а. л и является, таким образом, множеством первой категории Бэра. Любой биллиард, лежащий в а.л [c.128]

Множество первой категории Бэра 123, 128 [c.167]

Упоминаемое здесь множество первой категории получается как прообраз сторон прямоугольников Яа Яь тл всех их сдвигов под действием автоморфизма /. Прообраз каждой стороны оказывается в нигде не плотным, поэтому множество, где (р не является гомеоморфизмом, представляет собой счетное объединение нигде пе плотных множеств, что, собственно говоря, и является определением множества первой категории . [c.64]

Для исследования вязкохрупких свойств материалов и их переходного состояния на протяжении многих лет было испытано множество образцов с различной формой надрезов и при различных способах нагружения. Эти образцы можно разделить на две категории. Образцы первой категории имеют относительно малые размеры и легко поддаются испытаниям. К ним относятся образцы Шарпи, Изода, образцы с надрезом для растяжения и для ударных испытаний (NDT). Они удобны для разработки сплавов и контроля качества. На образцах второй категории отрабатываются специальные характеристики материала, имеющие важное значение при проектировании. Их форма сложнее, размеры больше. Они менее удобны для испытаний. Образцы обеих категорий помогли выработать практическую основу для проектирования турбогенераторных установок. [c.104]

Более точно, Зигель доказал существование бесконечного счетного множества аналитически независимых степенных рядов Ф Фг,... от бесконечного числа переменных /ц,, абсолютно сходящихся при /ц, < (для всех к, з) и таких, что если точка Н Е Н сходящимся преобразованием Биркгофа приводится к нормальной форме, то в этой точке почти все Фг (кроме, может быть, конечного числа) обращаются в нуль. Функции Фг аналитичны, поэтому решения нигде не плотны в Н. Следовательно, множество точек из Н, удовлетворяющих хотя бы одному уравнению Фг = О, имеет первую категорию в смысле Бэра. Если пытаться исследовать сходимость преобразования Биркгофа в какой-либо конкретной гамильтоновой системе, придется проверить выполнение бесконечного числа условий. Для этого не известно никакого конечного метода, хотя все коэффициенты рядов Фг можно явно вычислить. [c.310]

Теорема . Для любых фиксированных А, а>0 в пространстве ил,а интегрируемые биллиарды образуют подмножество первой категории Бэра (представимое в виде конечной или счетной суммы множеств, нигде не плотных в Уа г ). [c.123]

В просто малоразмерной ситуации могут наблюдаться явления, характерные для общих динамических систем, например экспоненциальный рост числа периодических точек, положительность топологической энтропии (определение 3.1.3), нетривиальные гиперболические множества (определение 6.4.2) и присутствие большого количества инвариантных мер. Гладкие примеры из нашей второй группы, т. е. растягивающие отображения из 1.7, квадратичные отображения и двумерные подковы из 2.5 и гиперболические автоморфизмы двумерного тора ( 1.8) — представители этой категории. Имеются, однако, два различия между системами малых размерностей и ситуацией в динамике в целом. В первом случае некоторые сложные динамические явления появляются в упрощенной форме сравните, например, конструкцию марковского разбиения на параллелограммы для гиперболического автоморфизма двумерного тора, описанную в 2.5, с об- [c.388]

Все методы классификации объектов разделяют на индуктивные и дедуктивные. Если на основании проверки некоторых мер сходства, объекты в направлении снизу вверх (от частного к общему) объединяют в их подмножества все более высоких категорий, которые в конечном счете формируют полное множество объектов, то такие методы считают индуктивными. Дедуктивные методы предусматривают последовательное разделение объекта на все более дробные части. Методы инженерно-геологического районирования, которые следует рассматривать как классификацию объектов в геологическом признаковом пространстве, не представляют исключения. Они также разделяются на индуктивные и дедуктивные, и в первых и во вторых можно использовать приемы, основанные на операциях с количественной информацией. Наиболее простым и апробированным методом выделения единиц районирования, не имеющих жесткой таксономической определенности, является метод конфигуратора. Он состоит в следующем 1) формулируют цель инженерно-геологического районирования 2) проводят анализ накопленной инженерно-геологической информации и с учетом целевого назначения моделирования обосновывают набор признаков-оснований районирования. [c.243]

Вышеперечисленные способы построения крыш делятся на две категории. Первые три способа относятся к способам создания простых крыш, так как с их помощью создаются отдельные скаты. Остальные способы относятся к способам создания сложных крыш, так как они позволяют создавать крыши, состоящие из множества сопряженных скатов. [c.188]

Предположим, что сигнал первого канала чувствителен к определенному виду дефектов на внутренней стороне трубы, но нечувствителен к подобным дефектам на внешней стороне, а второй канал реагирует на оба вида дефектов. Имея эту априорную информацию о свойствах используемого инструмента, можно быстро установить, что в точке /2 имеет место внешний эффект, а в точке — внутренний. Иными словами, мы относим двумерный объект, образованный этими двумя наблюдениями в точке й[, к одной категории, а в точке другой. Задавшись вопросом, имеется ли дефект в точке /з, на основании имеющихся сведений о свойствах датчика мы придем к отрицательному решению. Испытание, конечно, может быть расширено путем увеличения числа каналов, т. е. увеличения размерности объекта распознавания и возможного числа дефектов, которые таким образом можно обнаружить. Это простое испытание содержит основные элементы целого ряда методов, привлекающих в настоящее время большое внимание и быстро развивающихся. Например, принятие решения о том, имеет ли место в данной точке сигнал дефекта или это просто шум, может быть автоматизировано на основе использования методов теории решений. Классификация дефектов по данному множеству наблюдений относится к области распознавания образов, научного направления, цель которого — заменить человека-оператора машиной. Наконец, попытки обеспечить машине преимущества в опыте по [c.214]

Большая часть успехов символической динамики связана с тем, что а диаграмме (7.3) удается заменить (2 , а) топологической марковской цепью, а отображение я сделать гомеоморфизмом нли по крайней мере почти гомеоморфизмом (обратимым иа дополнении к тощему множеству первой категории). В этом случае различные свойства, описанные в п. 4, которыми обладает ТМ.Ц, переносятся иа систему (X,f), и тем самым мы получаем богатую информацию о ее топологических и эргодическнх свойствах. [c.217]

Докажите, что множество диофантовых вещественных чисел (см. определение 2.8.1) имеет полную меру (т. е. его дополнение имеет меру нуль) и является множеством первой категории. [c.296]

Будем говорить, что некоторое свойство ДС является грубым, исключительным или типичным, если ДС, обладающие этим свойством, образуют в пространстве всех ДС класса С, соответственно, открытое множество, множество первой категории (объединение счетного числа нигде не плоггных множеств), множество второй категории. (Последнее понимается в узком смысле — как множество, дополнительное к множеству первой категории, т. е. как множество, содержащее плотное во всем пространстве множество типа О. ) О ДС, обладающих исключительным или типичным свойством, также говорят, что оии исключительны или типичны. (Очевидно, это есть некоторая вольность речи, впрочем, вполне допустимая, если из контекста ясно, по какому признаку выделены эти ДС. С термином гру- бость аналогичная вольность речи недопустима, ибо термин - грубая система имеет иной смысл, см. ниже.) В понятном смысле можно говорить о грубости, исключительности или типичности той или иной ситуации, того или иного случая. (Вопреки этимологии, если свойство не типично, это еще не означа- т, что оно исключительно.) [c.180]

Как известно, когда речь идет о свойствах точек R , то ти-пичиость можно связывать не с категорией, а с мерой Лебега Метрическая и категориая точки зрения во многом сходны, но не совпадают, вплоть до того, что множество первой категории может иметь полную меру. В бесконечномерных функциональных пространствах нет столь же естественной меры, поэтому метрический вариант отпадает. Но если рассматривать семейство ДС, зависящее от конечного числа параметров (Яь - . ..,Am) R , то в этом семействе можно использовать и метрическую точку зрения. Имеются интересные задачи, в которых проявляется отличие этой точки зрения от категорией ([11], И, Л.). Далее, гладкие (того или иного фиксированного класса гладкости) семейства гладких ДС сами образуют функциональное пространство, и можно применять в этом простраи-стве категорный подход, а в пределах типичного в этом смысле семейства — метрический. Пока что метрическая точка зрения играла роль в вопросах, связанных с малыми знаменателями (т. 1, статья I т. 3). [c.181]

Еще одним аспектом этой же проблемы является действие, поведение. Существует высказывание Знание эффективно, если оно является основой для действия . Без преувеличения можно сказать, что это основной принцип в проблематике принятия решений. С одной стороны, имеется информация, знание с другой стороны— действие, поведение. Процесс принятия решений является тем мостиком , который связывает информацию с поведением. Если при получении и переработке информации, включая выбор приемлемого компромиссного решения, мы правомочны использовать нечеткие категории, суждения и даже выводы, то, по нашему представлению, действие по самой своей сущности не может быть нечетким. То есть, начиная действовать, человек все же должен выбрать одно конкурсное решение для дальнейшей реализации. Во всех работах по практическому использованию нечетких представлений, категорий, алгоритмов, методов обычно выбирают то решение, для которого значение соответствукщей функции принадлежности достигает наибольшего значения—считают, ЧТО оно лучше остальных. И тут на первый план снова выходит четкое множество Парето (множество четко недоминн- [c.29]

Указанный тип избыточности был изучен Эриксеном и Хейком [25], использовавшими признаки цвета, р(азмера и яркости. Они провели три серии экспериментов, в каждой из которых множество стимулов содержали ровно 20 альтернатив или 4,32 бит информации. В первой серии использовалось 20 различных значений каждого из признаков в отдельности и средняя переданная информация равнялась 2,75 бит. Во второй серии признаки брались парами. В одном из экспериментов этой серии для двадцати категорий стимулов признаки цвета и размера полностью коррелировали. В другом эксперименте в стимулах однозначно сочетались значения цвета и яркости, в третьем — яркости и размера. Средняя переданная информация увеличилась до 3,43 бит с двойной избыточностью. Наконец в третьей серии, где одновременно использовались все три признака, было получено значение 4,11 бит, т. е. стимулы почти всегда идентифицировались правильно. Очевидно, что указанная форма связанности по распределению или избыточности влияет на различимость стимулов именно так, как ожидалось. [c.101]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...