Аппроксимация дифференциального уравнения разностным аналогом

Аналогия между стационарными итеративными н нестационарными методами 161 — 164, 167, 178, 188 Аппроксимации ошибки см. Ошибки аппроксимации Аппроксимация дифференциального уравнения разностным аналогом 27, 79, 81, 393, 395, 401, 402 [c.599]

Дополняя полученную систему уравнений (8.19) разностными аналогами двух граничных условий на левом и двух на правом краях оболочки в соответствии с выражениями (8,5), получаем полную систему (N + 2) нелинейных уравнений с зависящей от решения правой частью и с (IV + 2) неизвестными. При этом порядок аппроксимации дифференциальных операторов разностными понижается с О (t ) на равномерной сетке внутри области до О (1) на ее границах. Однако этого можно избежать, используя на краях оболочки или более мелкую сетку, или более точные по сравнению с (8.18) разностные схемы. [c.159]

Таким образом, процедура численного решения задач ЕК состоит из трех основных этапов. Сначала на выбранной сетке производится аппроксимация дифференциальных уравнений и краевых условий, в результате которой строится разностная схема — дискретный аналог исходной задачи. Затем выбирается метод решения полученной нелинейной разностной задачи и конструирование вычислительного алгоритма завершается. Заключительный этап — программная реализация этого алгоритма на ЭВМ. [c.28]

Теория разностных схем в основном развита для линейных задач и опирается, как отмечалось ранее, на три основных понятия аппроксимацию исходных дифференциальных уравнений, устойчивость вычислительного процесса, сходимость численного метода к решению. Для нелинейных задач теория, как правило, не развита исследование устойчивости в этих случаях сопряжено с большими трудностями и проводится обычно на линейных аналогах конкретной задачи. Например, при исследовании устойчивости задач газовой динамики часто рассматриваются уравнения в акустическом приближении. [c.232]

Как отмечалось выше, моделирование температурных полей на / С-сетках основано на аналогии между дифференциально-разностной аппроксимацией линейного уравнения нестационарной теплопроводности (время — непрерывно, пространство — дискретно) и выражением первого закона Кирхгофа для электрических токов, сходящихся в соответствующем узле / С-сетки (см. рис. 5, г). [c.42]

В работе [42] (см. также [43]) при помощи аналога третьего тождества Грина для разностного уравнения получены соотношения, связывающие значения неизвестных функций в некотором подмножестве узловых точек, образующих ленту вблизи границы области (внутренние граничные условия — ВГУ [42]). Вид этого подмножества зависит от принятой разностной аппроксимации дифференциального оператора. Совокупность ВГУ и граничных условий задачи дает систему [c.191]

Свойства разностных схем для уравнений ЕК во многом определяются способом аппроксимации пространственных дифференциальных операторов, содержащихся в этих уравнениях. Особенности различных способов пространственной аппроксимации изучим на стационарных аналогах двумерных конвективных уравнений (1.11)—(1.15), (1.24)—(1 27). Если не обращать внимания на зависимость коэффициентов и правых частей от решения, каждый из этих стационарных аналогов будет выглядеть как частный случай уравнения [c.46]

НЫХ производных — разложение в ряд Тейлора, метод полиномиальной аппроксимации, интегральный метод и метод контрольного объема — могут привести к одинаковым разностным выражениям. Это обнадеживает и укрепляет доверие ко всем этим методам. Но в каждом из них имеется некоторая свобода действий, так что выбор метода для вывода конечно-разностного аналога дифференциального уравнения определяет этот аналог не единственным образом. В самом деле, существует много используемых аналогов. Несмотря на то что больщинство из них различается (как может показаться непосвященным) в незначительных деталях, они могут сильно отличаться по своему поведению. По личному мнению автора одним из удивительных аспектов вычислительной гидродинамики является наличие большого числа правдоподобных схем, которые, однако, не работают, как, например, было указано для уравнения (3.17). Это справедливо как для основных (т. е. предназначенных для расчета внутренних точек) разностных схем, так и для схем, предназначенных для расчета граничных точек. [c.51]

Понятие устойчивости непосредственно связано с понятиями аппроксимации и сходимости ). Конечно-разностный аналог аппроксимирует дифференциальное уравнение, если при Ах->0, А О конечно-разностное уравнение стремится к дифференциальному уравнению в частных производных. Хотя при выводе конечно-разностных уравнений при помощи разложений в ряды Тейлора может показаться, что это положение выполняется автоматически, на самом деле это не так здесь могут потребоваться иные ограничения для относительной скорости сходимости при уменьшении Ах и А (см. разд. 3.1.7). Конечно-разностное уравнение сходится, если при Ах->0, А/ О решение конечно-разностного уравнения стремится к решению дифференциального уравнения в частных производных. Два очевидных необходимых условия такой сходимости состоят в том, что конечно-разностное уравнение устойчиво (в некотором смысле) и аппроксимирует соответствующее дифференциальное уравнение. [c.79]

Эта концепция более тонкая, чем может показаться с первого взгляда. Она является не просто перефразировкой ньютоновского определения производной под пределом здесь понимается предел всего решения дифференциального уравнения, а не просто его отдельных членов (производных). Последнее свойство называется аппроксимацией (Лаке и Рихтмайер [1956]). Например, конечно-разностный аналог дифференциального уравнения может состоять из конечных разностей, каждая из которых аппроксимирует соответствующий член дифференциального уравнения, но в целом этот аналог может быть неустойчивым и, следовательно, не сходящимся. Кроме того, здесь не принимается во внимание проблема критерия практической сходимости. [c.27]

Кроме требований аппроксимации, устойчивости и сходимости к разностным схемам, предъявляется ряд других не обязательных требований. Таково, в частности, требование консервативности разностной схемы. Разностная схема должна отражать основные свойства непрерывной среды, и поэтому желательно, чтобы в схеме выполнялись разностные аналоги основных законов сохранения. Разностные схемы, обладающие этим свойством, называются консервативньши. С этой целью разностные уравнения строятся на основе интегральных соотношений, выражающих законы сохранения для элементарной ячейки сетки. С другой стороны, если исходные дифференциальные уравнения записаны в дивергентном виде, то соответствующую разностную схему нетрудно сделать консервативной. [c.272]

Однако аппроксимация линейных дифференциальных уравнений акустики конечно-разностными соотношениями — операция не вполне законная. В самом деле, как дифференциальные уравнения газодинамики, так и разностная схема являются некоторыми самостоятельными математическими моделями сплошной среды и протекающих в пей процоссоп. Несмотря на то, что обо эти модолп описывают одпу п ту жо физическую реальность, разностные схемы, определяющие дискретную модель, имеют спои специфические особенности. Так, в гл. II показано, что различные во.чможные разностные схемы не эквивалентны, многие из них порождают своеобразные эффекты разностного происхождения, не имеющие аналога в реальном случае, например фиктивные источники энергии. На грубых сетках, которые и используются иа практике, такая разностная физика может заметно исказить изучаемое явление. [c.157]

Короче говоря, проблема состоит в том, что не все ошибки отсечения в разностных уравнениях имеют ожидаемый порядок. Поэтому не так просто оценить эти ошибки, а затем, применяя устойчивость для обращения матрицы К, превратить их в оценки ошибки и — и . Дело в том, что задается специальной комбинацией пробных функций и, если другие комбинации почти не вносят вклад в задачу аппроксимации, их вклад в ы также оказывается малым. Напомним, что в абстрактном методе функции Фь. .., Фт порождают аппроксимацию порядка к тогда и только тогда, когда можно построить из них отдельную функцию 1 ), обладающею свойством (5), требуемым в теореме 3.2, т. е. функцию, которая сама подходит для аппроксимации. Можно считать пространство 5 порожденным этой суперфункцией ф и М—1 более или менее бесполезными функциями. Образуя соответствующую комбинацию разностных уравнений КО == Е, перепишем нашу систему метода конечных элементов в виде совокупности разностных уравнений специальной формы одно уравнение системы — точный аналог исходного дифференциального уравнения, остальные М — I уравнений (связанные с функ- [c.201]

Понятие устойчивости непосредственно связано с понятиями аппроксимации и сходимости ). Конечно-разностный аналог аппроксимирует дифференциальное уравнение, если при Ах О, At O конечно-разностное уравнение стремится к дифференциальному уравнению в частных производных. Хотя при выводе конечно-разностных уравнений при помощи разложений в ряды Тейлора может показаться, что это положение выполняется автоматически, на самом деле это не так здесь могут потребоваться иные ограничения для относительной скорости сходимости при уменьшении Ах и А (см. разд. 3.1.7). Конечно-разност-ное уравнение сходится, если при Ах->0, решение [c.79]

Вычислительная гидродинамика (0) -- [ c.27 , c.79 , c.81 , c.393 , c.395 , c.401 , c.402 ]

Вычислительная гидродинамика (0) -- [ c.27 , c.79 , c.81 , c.393 , c.395 , c.401 , c.402 ]

Вычислительная гидродинамика (1980) -- [ c.27 , c.79 , c.81 , c.393 , c.395 , c.401 , c.402 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...