Метод невязок

Для краевых задач некоторых типов не существует функционала, из условия стационарности которого определяется решение. В этом случае конечно-элементные соотношения могут быть получены в результате приближенного интегрирования дифференциальных уравнений, рассматриваемой краевой задачи с помощью метода Бубнова - Галеркина, метода наименьших квадратов, метода невязок (первые два метода являются частным случаем последнего). [c.65]

Галеркина или наименьших квадратов, являющиеся частными случаями метода невязок 176, 81, 1061. [c.145]

В методах невязок для пробной функции требуется, чтобы невязка R удовлетворяла некоторому условию, которое вынуждает ее быть малой. Для конечноэлементного метода невязок это взвешенный интеграл по области который дол [c.272]

Метод Галерки на — другой широко известный метод вычисления вектора узловых значений — представляет собой частный случай более общего метода взвешенных невязок. Основным преимуществом этого [c.36]

К конечным методам также относится и метод последовательного сокращения невязок вектор г содержит две группы компонент х = (дс]", и [c.166]

Решение линейных равноточных условных уравнений производится по способу наименьших квадратов, опирающемуся на принцип Лежандра определяются такие значения неизвестных, при которых сумма квадратов невязок е,- наименьшая. Практические указания о вычислениях по способу наименьших квадратов имеются в курсах математической статистики и специальных работах, посвященных этому методу. [c.228]

Большая группа методов приближенного решения задач теплопроводности базируется на интегральной формулировке [например, в виде интегрального соотношения (2.47)]. Эту группу методов называют методами взвешенных невязок. Их особенность состоит в подборе приближенного решения из условия малого рассогласования (невязки) при его подстановке в дифференциальные уравнения теплопроводности и краевые условия. Один из наиболее распространенных - метод Бубнова-Галер-кина [10] - характерен тем, что искомое приближенное решение представляется как линейная комбинация функций, входящих в интегралы взвешенной невязки в качестве весовых. [c.47]

Понимая под бМх, б у и 6uz разности между экспериментальными значениями составляющих перемещения вдоль осей координат и расчетными для принятой модели напряженно-деформированного состояния твэла, можно путем минимизации этих разностей (невязок) найти поправки бЛ(г, т) к априорной информации о параметре А г, т), принятом в расчетной модели. Функция эффективности /а (г Го, X, т), найденная численным методом, позволяет судить о роли различных локальных деформаций в интересующем нас результирующем перемещении материала по оси х в точке наблюдения и тем самым позволяет спланировать максимально информативный для целей идентификации эксперимент. Для этого необходимо параметризовать величину бл(г, т), представив ее в виде разложения в ряд по какой-либо полной системе ортогональных функций (см. гл. 6, где рассматривается аналогичный метод для задач динамики. В результате упомянутой пара- [c.129]

Одним из решающих этапов в создании механизма, обеспечивающего приближенное воспроизведение заданной функции нескольких переменных, является целесообразный подбор элементарных функций, лежащих в основе аппроксимации. При этом в области задания воспроизводимой функции выбирается большое число точек, образующих достаточно плотную решетку, число измерений которой равно числу аргументов воспроизводимой функции. Затем значения элементарных функций подбираются так, чтобы в узлах решетки достигалась наилучшая в каком-нибудь смысле аппроксимация. В качестве критерия качества аппроксимации часто берется сумма квадратов уклонений (невязок) в узлах решетки, что приводит к методу наименьших квадратов. Метод наименьших квадратов обладает рядом преимуществ, объясняющих его широкое распространение. Однако во многих случаях решающее значение имеет не среднее квадратичное уклонение, а максимальное по модулю уклонение, минимизация которого приводит уже к задаче чебышевской аппроксимации. [c.151]

Для решения системы линейных уравнений [А] х = Ь z симметричной матрицей используют метод сопряженных градиентов [15]. Схема вычислений состоит в следующем выбирают приближенный вектор Xq, затем вычисляют последовательность векторов решения х , х ,. .. и векторов невязок Го, rj, Гз. на основе приращений и Аг/1 и множества чисел 4 и согласно следующим соотношениям [c.49]

Для обеспечения сходимости вычислительного процесса автором разработан метод анализа и управления сходимостью. Анализ производился по норме вектора невязок ДД а управление заключается в переключении вычислений с одного метода на другой и переопределении фундаментальных циклов по принципу минимизации длины дерева. Вес ветвей принимается равным произведению Sx. [c.95]

Метод крупной — мелкой сетки, являющийся разновидностью метода итерационного решения разностных эллиптических задач, называемого релаксационным. Этот метод относится к числу наиболее быстросходящихся. Решение по крупной сетке находится с помощью прямого матричного метода и используется как начальное или промежуточное приближение в итерационном процессе. Периодическое обращение к крупной сетке (рис. 1.5) не увеличивает уровень максимальных невязок, так как при этом рассчитываются только дополнительные перемещения, определя- [c.39]

Условие (3.29) по сути представляет собой равенство нулю суммарной работы нагрузочных невязок (выражение в квадратной скобке) на приращение перемещений, найденных на п+ 1 этапе. Выражение (3.28) аналогично выражению (3.16) для метода упругих решений. Для одномерного случая геометрическая интерпретация не имеет смысла, так как на первом же этапе находится точное решение. [c.79]

Ниже рассмотрена одна из модификаций метода последовательных нагружений с учетом нагрузочных невязок. Схема этого метода полностью совпадает с ранее приведенной при выборе [c.81]

Таким образом, сходимость метода последовательных деформаций и оценка погрешности в данном случае будут такими же,, как в методе последовательных приближений с учетом нагрузочных невязок, и, как будет показано ниже, имеют вид [c.81]

Метод последовательных нагружений с учетом нагрузочных невязок. При одинаковых шагах нагружения этот метод имеет следующую вычислительную схему [c.83]

Другие итерационные методы. Популярными методами решения систем с симметричными положительно определенными матрицами являются метод наискорейшего градиентного спуска и метод сопряженных градиентов, изложенные в п. 5.1.10 в связи с задачей минимизации квадратичной функции (5.4). Изложение метода минимальных невязок, линейного многошагового метода с чебышев-ским набором параметров и других методов можно найти в [8, 13, 16, 58, 59]. [c.129]

Метод контрольного объема рассматривают как вариант метода взвешенных невязок, так как основной принцип МВН, математически выраженный условием [c.151]

МЕТОД ВЗВЕШЕННЫХ НЕВЯЗОК [c.49]

Уравнения (1.4.44) и есть уравнения метода взвешенных невязок. Внося в эти уравнения выражение (1.4.20) для (хз, XI, Хз), получаем систему алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов ai . [c.49]

Приведенная выше процедура представляется достаточно простой что касается теоретически более обоснованного подхода, то он основан на использовании метода взвешенных невязок и множителей Лагранжа, о чем будет сказано ниже. На [c.190]

Так называемый метод граничных элементов стремится к удовлетворению приведенного выше интегрального уравнения в смысле взвешенных невязок. Сначала отметим, что хотя объемный интеграл и входит в (4.13), он тем не менее не содержит искомое решение Для вычисления объемного интеграла внутреннюю область необходимо подвергнуть дискретизации, однако при этом отпадает необходимость во внутренних элементах в том смысле, в каком используются конечные элементы. В пределах каждого граничного элемента и могут быть подвергнуты интерполяции. Заметим, что некоторые узловые значения заданы на St, в то время как узловые значения заданы на Su- Можно показать [57, 58], что метод граничных элементов в случае линейной упругости приводит к уравнениям типа [c.206]

Применим один из методов взвешенных невязок — метод Бубнова—Галеркина. Искомую зависимость Т (М, t) примем в форме [c.166]

Методами взвешенных невязок удается решать и нелинейные задачи нестационарной теплопроводности, но при этом для определения Вп (t) в (4.48) получается система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, которую в общем случае приходится интегрировать численно. Таким образом, температурное поле в теле в фиксированный момент времени описывается аналитической зависимостью, но переход от одного момента времени к другому связан с определением значений (t) численным интегрированием. Переход к конечным интервалам времени позволяет использовать вариационную формулировку нелинейных задач [13], представляя анализ процесса нестационарной теплопроводности как последовательность решений ряда задач стационарной теплопроводности. [c.166]

В настоящем параграфе излагается итерационный процесс решения задачи о напряженно-деформированном состоянии длинной гибкой цилиндрической панели, основанный на методах последовательных приближений и МГЭ. В качестве фундаментального решения для МГЭ используется решение для длинной пластины постоянной толщины, имеющей более простую структуру, чем фундаментальное решение для панели. Для двумерных задач итерационный процесс изложен в 4.2. Соотношения МГЭ, используемые для решения линейных задач на итерациях, получены методом взвешенных невязок. [c.117]

Основой прямого метода служит метод взвешенных невязок [5] или теорема о взаимности работ. Составим выражение метода взвешенных невязок [c.187]

Он также называется методом весовых функций и является частным случаем приближенного метода, называемого методом взвешенных невязок [211. [c.21]

Заканчивая эту главу, сделаем два замечания. Первое замечание касается метода Галеркина. Как указано во введении к части А, приближенный метод решения, основанный на принципе виртуальной работы и называемый методом Галеркина, может рассматриваться как вариант метода взвешенных невязок. В задачах линейной статической теории упругости этот метод приводит к конечно-элементной формулировке, эквивалентной формулировке, получаемой при помощи принципа минимума потенциальной энергии. Однако в задачах, более сложных, чем задачи линейной теории упругости, предпочтительнее использовать принцип виртуальной работы или его эквивалент. Можно провести аналогичные рассуждения, связанные с методами конечных элементов, основанными на принципе дополнительной виртуальной работы, модифицированном принципе виртуальной работы и модифицированном принципе дополнительной виртуальной работы. [c.358]

Последовавшее затем быстрое развитие этого подхода охва тнло широкий класс задач в строительной механике и механике твердого тела. Распространение метода конечных элементов на другие задачи было предпринято в начале бО-х гг. на основе вариационного подхода. Совсем недавно дополнительно к вариационному методу конечных элементов, который можно назвать классическим, начали использоваться другие методы конечных элементов. Наиболее известные из ннх —метод Галер-кина, который является частным случаем взвешенного метода невязок, метод наимекьших квадратов, процедура, называемая прямым методом, и метод глобального баланса, или метод Одена. [c.24]

Из вышесказанного трудно не сделать вывод, что, кроме линейных самосопряженных задач, не представляют особой ценности попытки найти вариационное конечноэлементное решение более простым путем, чем методом невязок. Как было указано Фиилейсоном и Скрайвеном [9], [c.165]

Наиболее популярным из других методов конечных элементов является метод Галеркина, являющийся, как и метод наименьших квадратов, частной формой метода невязок. Другой метод, имеющий широкую область применения, известен в разных названиях как прямой метод, метод энергетического баланса, метод глобального баланса или метод конечных элементов с подвижным (коитролвным) объемом. [c.271]

До сих пор рассматривались только невязки, возникающие из определяющих уравнений. Если пробная функция не удовлетворяет граничным условиям точно, то невязки на границе ), определяемые аналогично невязкам в области, не будут нулевыми, и их также следует рассматривать. В этом случае метод невязок основывается на обоих множествах невязок. Обычно, однако, требуют, чтобы пробная функция удовлетворяла граничным условиям точно тогда нйвязк1 на границах равны нулю н в дальнейшем не учитываются. [c.272]

Для получения конечноэлементной формулировки необходимо, чтобы уравнение, описываюш,ее физические законы конкретного явления, привязывалось к определенной области. Примерами таких связей являются функционал, соответствуюш ий вариационному принципу, и критерий малости в методе невязок. Определяюш,ие уравнения в обычной дифференциальной форме не годятся, поскольку они применяются к точке, а не к области. Одеи [15], однако, заметил, что имеются формы определяющих уравнений, которые можно использовать в качестве основы для метода конечных элементов. Например, в механике сплошной среды энергетический баланс для области может быть записан в общей форме или на основе контрольного объема. Аналогичным образом уравнения неразрывности могут быть получены [c.280]

В задачу генератора Г входит генерация объектных модулей процедур рабочей программы РП обращения к моделям элементов проектируемого объекта, расчета матрицы Якоби и вектора невязок, прямого и обратного хода алгоритма Гаусса, расчета данных для печати и др. Непосредственно генерации предшествует оптимальная перенумерация переменных математической модели объекта. Генерация объектных модулей производится в соответствии с деле-ннем проектируемого объекта на фрагменты. Такой подход необхо-ДИМ для реализации диакоптических методов анализа и способствует снижению требований к ОП, занимаемой компилятором, так как возникает возможность последовательной обработки фрагментов объекта с сохранением во внутренней БД только необходимого минимума информации о них. [c.143]

Второй способ определения свободных параметров основан на выполнении требования, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от соответствуюших значений аппроксимирующей функции была минимальной. Этот способ носит название метода наименьших квадратов. Заметим, что можно оперировать и суммой других четных степеней этих отклонений (невязок), но тогда вычисления будут сложнее, однако руководствоваться суммой самих невязок нельзя, так как она может оказаться малой и при больших отклонениях противоположного знака. [c.97]

Если выражения (1.4.20) для искомых функций и,- удовлетворяют лишь кинематическим траничным условиям, то уравнения метода взвешенньи невязок принимают вид [c.50]

Еще один гранично-элементный подход к исследованию трещин в трехмерных телах основывается на методе краевых функций [69, 70]. При этом подходе в качестве пробных функций перемещений используются асимптотические решения уравнений Навье, для удовлетворения граничных условий в среднем используется метод граничных взвешенных невязок. В случае эллиптической трещины асимптотические решения, полученные за счет использования гармонического потенциала Сегедина [71], складываются с другими асимптотическими решениями с целью формирования заданного решения. Этот метод ограничен случаем, когда форму трещины можно представить математическими средствами, и не нашел широкого применения. [c.208]

Решение системы уравнений выполняется итера ционным методом релаксации (методом Гаусса —Зей-деля) с использованием различных приемов ускорения сходимости (см. 5). Для метода неполной релаксации применялся автоматический поиск оптимального коэффициента релаксации, обеспечиваю щего самое быстрое убывание невязок уравнений, т. е. градиента функционала. [c.191]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...