Метод релаксации невязки

Саусвелл [1946] разработал более эффективный метод релаксации для численного решения эллиптических уравнений. В его методе релаксации невязки ) не проводятся вычисления последовательно в каждом узле сетки, а просматривается вся сетка для нахождения узлов с максимальными невязками и именно в этих узлах вычисляются новые значения. (В случае [c.18]

Известны различные способы ускорения вычислений. Из числа современных модификаций метода сеток отметим метод релаксаций [38], который позволяет квалифицированному вычислителю существенно ускорить процесс приближений. По описанному выше простейшему методу сеток производится последовательное уточнение самих значений искомой функции Т (х, у) по методу релаксаций определяются и последовательно устраняются невязки 8 (.к, у), в исходном приближении [c.45]

Правильность расчетов контролируется в последнем приближении непосредственным вычислением невязки (6.5), которая должна быть равна нулю. Преимущество метода релаксаций перед обычным методом сеток заключается в оперировании с меньшими числами (невязками) и в возможности, при навыке, эффективного исправления [c.45]

Методы релаксации можно использовать для решения систем линейных уравнений. Основу этих методов составляет последовательное уменьшение невязок во всех узлах сетки. (Невязкой называется разность между значением переменной в узле и ее истинным значением.) Первым исследовал методы релаксации применительно к дифференциальным уравнениям в частных производных Саусвелл [14]. Он обнаружил, что нередко бывает полезно изменить значение переменной в узле на большую величину, чем это необходимо для обращения данной невязки в нуль. В методе верхней релаксации используется линейная экстраполяция по результатам двух последовательных смещений. С этой точки зрения метод последовательной верхней релаксации можно рассматривать как развитие метода последовательных смещений, о котором говорилось выше. Если текущее значение переменной в узле равно а метод последовательных смещений дает [c.117]

Указанные выше явления относились к невязкой жидкости. В вязкой жидкости вследствие вязкости и теплопроводности давление и скорость меняются всегда непрерывно. Однако можно показать, что область, в которой главным образом меняются давление и скорость, имеет порядок величины среднего свободного пробега молекул газа и, следовательно, вообще эта область будет очень мала (исключая газ крайне малой плотности). На толщину и физическую природу этой переходной области влияют также внутренние термодинамические свойства газа, именно распределение тепловой энергии по различным степеням свободы молекулы. Этот эффект называется эффектом релаксации и весьма важен в случае газа с медленной внутренней вибрацией. Рассмотрение последней проблемы требует применения методов квантовой механики. [c.55]

В последнее время появились работы, посвященные расчетному исследованию течений в соплах Лаваля на основе решения полных уравнений Навье — Стокса [102, 103, 191, 204, 205]. В этих работах для нахождения стационарного решения используется метод установления. В работе [205] проведено исследование колебательно-неравновесного течения смеси СОг — N2 — О2 — Н2О в плоских соплах Лаваля при больших и умеренных числах Рейнольдса. Изучен ряд особенностей, свойственных этим течениям процессы колебательной релаксации в невязком ядре и пограничном слое, двумерный характер течения, влияние колебательной релаксации на распределение газодинамических параметров, обратное влияние пограничного слоя на течение в невязком ядре потока. [c.348]

В методе расчета распространения вектора ошибки возникают на границе в конце обхода расчетных точек, в то время как во внутренних точках ошибки сушественно меньше. Невязки в итерационных методах имеют наибольшую величину во внутренних точках области, в то время как заданные граничные значения остаются неизменными. Таким образом, разрешаемую ошибку порядка 10 в величине ф на последней границе в рассматриваемом методе нельзя непосредственно сопоставлять с невязкой порядка для г в неявной схеме метода чередующихся направлений и в методе последовательной верхней релаксации. [c.202]

Теперь при приближении к решению г1) =+>-> г] для всех (i,/) член в квадратных скобках становится равным нулю в силу уравнения (3.365), а уравнение (3.380) переходит в отвечающее сходимости равенство Если положить, что член в квадратных скобках равен нулю и что в точке (t,/) г1) +1 = то получится метод Либмана. В методе последовательной верхней релаксации член в квадратных скобках в уравнении (3.380) умножается на релаксационный множитель (параметр релаксации) со, где со= 1 таким образом, в общем случае невязка ri,, Ф О, но г,,,— -О при г ) + -> г] . Метод последовательной верхней релаксации приводит к уравнениям [c.183]

Метод релаксации невязки Саусвелла (Саусвелл [1946]) применялся в течение многих лет при расчетах вручную для получения численных решений важных технических и научных задач, включая одно из самых ранних решений задачи о течении при большом числе Рейнольдса (Аллен и Саусвелл [1955]). Первоначально он назывался просто релаксационным методом , но здесь это название заменено на метод релаксации невязки , чтобы было можно отличать его от метода Либмана и других итерационных методов, которые в настояшее время иногда называют релаксационными методами. [c.181]

Простейшая форма метода релаксации невязки Саусвелла основана на том же уравнении (3.375), что и метод Ричардсона для вычисления новых значений Различие заключается [c.181]

Саусвелла метод релаксации невязки 18, 19, 181—182 Сверхзвуковые течения 22, 414, 415, 417, 422—423 Свинарника схема 109 Свободного полета условия 230—232, 417 [c.608]

Сазерленда формула для вязкости 328, 383, 476 Саульева схемы 99, 146, 147, 150, 151, 180, 390, 522, 533 Саусвелла метод релаксации невязки 18, 19, 181 — 182 Сверхзвуковые течения 22, 414, 415, 417, 422—423 Свинарника схема 109 Свободного полета условия 230—232, 417 [c.608]

Простейшая форма метода релаксации невязки Саусвелла основана на том же уравнении (3.375), что и метод Ричардсона для вычисления новых значений Ф у. Различие заключается в том, что уравнение (3.375) не используется во всех без исключения узловых точках сетки. Здесь невязка п./ определяется из уравнения [c.181]

Раньше термин релаксация относили только к методу Саусвелла релаксации невязки. Мы используем термин релаксация невязки , чтобы отличить этот метод от итерационных методов типа метода Либмана, которые в настоящее время также называют релаксационными. [c.18]

В предельном случае малых длин пробега мы приходим к задачам, которые могут быть решены в рамках теории сплошной среды или, точнее, с применением уравнений Навье — Стокса. По существу, это задачи обычной газовой динамики. Однако по установившейся традиции некоторые из них изучаются динамикой разреженных газов. В число таких задач входят, например, некоторые задачи о вязких течениях при малых числах Рейнольдса, о течениях с взаимодействием пограничного слоя с невязким потоком, о близких к равновесным течениях с релаксацией возбуждения внутренних степеней свободы, о течениях со скольжением и температурным скачком на стенке и т. д. К решению этих задач могут быть привлечены методы газовой динамики. В то же время эти задачи, решаемые в рамках теории сплошной среды, тесно связаны с кинетической теорией, так как только с помощью кинетической теории, из анализа уравнения Больцмана, можно обоснованно вывести уравнения Эйлера и Навье—Стокса и их аг алоги для рела-ксирующих сред, установить область их применимости и снабдить их правильными начальными и граничными условиями и коэффициентами переноса. [c.5]

Метод Саусвелла не так просто приспособить к использованию на ЭВМ. Вычислитель вручную просматривал матрицу в поисках максимальной невязки гораздо быстрее, чем производил арифметические операции. Для ЭВМ скорость просмотра матрицы не намного превышает скорость выполнения арифметических операций, и поэтому здесь становится более эффективным проведение релаксации последовательно во всех узлах сетки до сведения невязки к нулю, что идентично методу Либмана. [c.19]

Метод Саусвелла не применяется на современных электронных вычислительных машинах, так как время, нужное для нахождения наибольшей величины п,, и для пересчета невязок г в соседних точках, не отличается существенно от времени, необходимого для непосредственного применения схемы (3.375). Таким образом, на современных ЭВМ целесообразнее по очереди устранять невязку в каждой точке, используя уже найденные новые значения, т. е. применять метод Либмана. Исторически метод Саусвелла интересен потому, что его усовершенствование привело к экстраполяционному методу Либмана, более известного под названием метода последовательной верхней релаксации. [c.182]

Фг /1- Такой прием, очевидно, может быть применен только достаточно квалифицированным вычислителем, который может быстро приближенно вычислить максимальное смещение при визуальном переборе невязок. Затем был развит другой подход. Было обнаружено, что оптимальная скорость сходимости достигается не приравниванием невязок нулю, а использованием верхней или нижней релаксации в зависимости от того, какие знаки имеют невязки в соседних точках одинаковые или противоположные (Фокс [1948]). (Общее понятие верхней релаксации было предложено Ричардсоном еще в 1910 г.) Такая идея с успехом была использована в методе Саусвелла, но теперь для реализации этого метода потребовался вычислитель, обладающий еще большими мастерством и интуицией. (Это требование фактически было даже выгодным (Фокс [1948]) при расчетах вручную, так как вычислитель, вероятно, менее утомлялся от однообразной работы ) [c.182]

При со = соо число итераций к, необходимое для уменьшения невязки до некоторого заданного уровня, прямо пропорционально полному числу итерируемых уравнений N = (I—2)Х Х(/ —2), тогда как для метода Либмана кПоэтому метод последовательной верхней релаксации с оптимальным параметром релаксации соо (иногда называемый оптимальным методом верхней релаксации) лучше для больших задач. [c.183]

Практика применения (Фокс [1948]) метода Саусвелла показала, что для достижения наибольшей скорости сходимости нужно устранять не наибольшую невязку г,, /1, а ту невязку Гг,/, для ликвидации которой требуется наибольшее смещение [ фгУ — Фг/ - Такой прием, очевидно, может быть применен только достаточно квалифицированным вычислителем, который может быстро приближенно вычислить максимальное смещение при визуальном переборе невязок. Затем был развит другой подход. Было обнаружено, что оптимальная скорость сходимости достигается не приравниванием невязок нулю, а использованием верхней или нижней релаксации в зависимости от того, какие знаки имеют невязки в соседних точках одинаковые или противоположные (Фокс [1948]). (Общее понятие верхней релаксации было предложено Ричардсоном еще в 1910 г.) Такая идея с успехом была использована в методе Саусвелла, но теперь для реализации этого метода потребовался вычислитель, обладающий еще большими мастерством и интуицией. (Это требование фактически было даже выгодным (Фокс [1948]) при расчетах вручную, так как вычислитель, вероятно, менее утомлялся от однообразной работы ) [c.182]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...