Критическая точка вид корреляционной функции

В самой критической точке корреляционная функция (г) все же существует, но затухает с расстоянием не экспоненциально, а по степенному закону [c.26]

Как мы видели в 3, в, левая часть этого уравнения для гомогенной системы стремится к нулю, как Л/" согласно условиям нормировки (5.9). Однако в критической точке левая часть стремится к нулю медленнее, чем Таким образом, в этом случае пространственный интеграл от корреляционной функции для бесконечно большой системы расходится, но медленнее, чем Л/. Достаточно далеко от критической точки функция существенно отличается от нуля только на расстояниях порядка нескольких молекулярных расстояний. По мере приближения к критической точке корреляционная длина крайне быстро возрастает и в самой критической точке становится бесконечной. Эти свойства будут подробно рассмотрены в 7 и 8. [c.94]

В критической области амплитуды плотности резко возрастают при увеличении длины волны. Уравнение (8.3) выражает линейную зависимость между этим увеличением и соответствующим увеличением корреляционных амплитуд. Как мы знаем, такое увеличение в физическом пространстве проявляет себя как дальнодействующая корреляция. В самой критической точке корреляционная длина становится бесконечной (для бесконечно большой системы). Построим теперь другую функцию при помощи величины (8.2). Определим функцию р( ) следующим образом [c.133]

Флуктуационные эффекты характеризуются значени ми корреляционной функции плотности и корреляционного радиуса флуктуаций, определяемого расстоянием, на котором корреляция существенно уменьшается. В области критической точки радиус корреляции значительно больше радиуса действия межмолекулярных сил, а флуктуации плотности в непосредственной близости к критической точке достигают значения самой плотности. Из этого складывается следующее представление о состоянии вещества в непосредственной близости к критической точке. Около критической точки веш,ество подобно газу, который состоит из отдельных групп (кластеров) молекул, напоминающих микроскопические капли жидкости, размер которых быстро возрастает с приближением к критической точке. Уместно напомнить, что аналогичная точка зрения на состояния вещества в области критической точки уже содержалась в теории ассоциации реальных газов. [c.276]

Теперь обсудим некоторые микроскопические свойства системы вблизи критической точки. Главным инструментом структурного исследования является изучение парной корреляционной функции как в теоретическом, так и в экспериментальном отношении. Мы уже рассматривали главные свойства этой функции в гл. 7 и 8. Напомним формулу (7.2.12), которая связывает парную корреляционную функцию и сжимаемость [c.348]

Очевидно, что значение т = О соответствует теории ОЦ. Следует отметить, что если т =5 =0, то соотношения (9.6.13) уже несправедливы. Мы теперь добавили к нашему списку критические показатели V, v, т), которые можно назвать микроскопическими критическими показателями, так как они описывают поведение корреляционной функции (фиг. 9.6.2). [c.353]

Наконец, положив в (10.5.20) 0 = А = О, получаем, что корреляционная функция ведет себя вблизи критической точки как [c.376]

Интересно сравнить эти выражения с формулами (8.2.46) для микроскопических потоков в гидродинамике. Мы видим, что все различие заключается только в операторах проектирования, но это — важное различие. Дело в том, что оператор Мори 1 — V исключает из микроскопических потоков только члены, линейные по й (г), поэтому потоки (8.2.46) содержат вклады гидродинамических флуктуаций. С другой стороны, проекционный оператор 1 —в выражениях (9.2.18) исключает гидродинамические флуктуации всех порядков. Отсюда, в частности, следует, что корреляционные функции потоков (9.2.18) затухают в пространстве и во времени значительно быстрее, чем корреляционные функции потоков (8.2.46). Более того, поскольку гидродинамические кинетические коэффициенты содержат флуктуационные поправки, вблизи критической точки, где крупномасштабные флуктуации сильно возрастают, при вычислении этих кинетических коэффициентов нельзя пренебрегать эффектами нелокальности и памяти. Ясно, что ничего подобного не обнаруживается в затравочных кинетических коэффициентах (9.1.57), в которых исключен вклад крупномасштабных флуктуаций. Таким образом, затравочные и гидродинамические кинетические коэффициенты практически совпадают вдали от критической точки, где крупномасштабные флуктуации очень малы, но они сильно различаются в критической области. [c.235]

Вдали от критической точки tjq г] Со С где т/, Л — наблюдаемые гидродинамические коэффициенты переноса. Хотя для затравочных коэффициентов переноса можно вывести выражения через корреляционные функции, аналогичные формулам Грина-Кубо (8.2.80) - (8.2.82), их вычисление для реальной жидкости является очень сложной задачей. Поэтому в теории гидродинамических флуктуаций затравочные коэффициенты переноса обычно рассматриваются как заданные величины ). [c.236]

В критической точке сжимаемость бесконечно велика, поэтому в силу соотношения (21) парная корреляционная функция О (г) становится дальнодействующей. Достаточно близко к критической точке (г) уже не обращается в нуль для значений к, соответствующих оптическим длинам волн, и, следовательно, рассеяние уже не будет изотропным. [c.112]

Классическая теория рассеяния света была предложена Орнштейном и Цернике [142—144]. Они выразили О (г) через так называемую прямую корреляционную функцию С (г), которая предполагалась отличной от нуля лишь в области порядка радиуса межмолекулярных взаимодействий. Допуская, что в критической точке [c.112]

Таким образом, хотя выражение (33), по-видимому, удовлетворительно описывает рассеяние вблизи критической точки, точные определения т] для жидкостей в настоящее время отсутствуют. Поэтому дальнейшие исследования следует направить на изучение рассеяния при очень малых углах, т. е. при углах, меньших 10°. Только такие исследования позволят с полной уверенностью говорить об определенном виде длинноволновой части корреляционной функции, не приписывая ей заранее удобную форму типа (32). В настоящее время мы можем только строить предположения о виде хвоста корреляционной функции, даже если данные по рассеянию света дополнить данными экспериментов но рассеянию рентгеновских лучей при малых углах. Конечно, непосредственная цель эксперимента состоит в определении интенсивности рассеяния как функции брэгговских расстояний 2л/к на интервале от нескольких до 10 ООО A и больше. При наличии таких данных можно получить точный вид корреляционной функции с помощью корректных преобразований интенсивности рассеянного света. [c.121]

Сначала рассмотрим пространственные флуктуации. Эти флуктуации выражаются через парную корреляционную функцию, которая вблизи критической точки имеет вид (подробнее см. гл. 2 первого тома) 1) [c.254]

Спиновая корреляционная функция II 320 вид вблизи критической точки II 329 (с) [c.409]

Корреляционная длина является функцией Я и Г, и предполагается, что она стремится к бесконечности по мере приближения к Т . По существу, стремление корреляционной длины к бесконечности можно рассматривать как отличительный признак критической точки. Математически это выражается следующим образом [c.26]

В критической точке = Х2, так что, согласно (2.2.14), корреляционная функция g j — константа. Это согласуется с (1.7.26), если [c.46]

За время, отделяющее решение модели Изинга Онсагером в 1944 г. от решения модели жестких шестиугольников Бакстером в 1980 г., статистическая механика двумерных систем обогатилась значительным числом точных результатов. Принято называть модель точно решаемой, когда для некоторой физической величины, такой как свободная энергия, параметр порядка или корреляционная функция, получено удобное математическое выражение или, по крайней мере, когда удалось свести их вычисление к задаче классического анализа. Такие решения, которые поначалу кажутся иногда каким-то курьезом, часто бы-виют интересны тем, что иллюстрируют общие принципы и теоремы, строго выведенные в рамках определенных теорий, а также позволяют контролировать приближенные методы, применимые к более реалистическим и сложным моделям. В теории фазовых переходов модель Изинга, результаты Онсагера и Янга успешно сыграли такую роль. Методы Либа и Бакстера для разнообразных вершинных моделей развили этот успех и расширили набор известных критических показателей, дав материал для сравнения с методами экстраполяции, и заставив уточнить концепцию универсальности. Тесно связанные с классическими двумерными моделями, хотя и не представляющие интереса для теории критических явлений, квантовые одномерные модели, такие, как магнитная цепочка, и знаменитое решение Бете, несомненно внесли вклад в понимание структуры возбуждений в системах с большим числом степеней свободы. Можно было бы также обратиться к физике одномерных проводников. Все эти вопросы теоретической физики, которые, несомненно, оправдывают исследования точно решаемых моделей, не являются предметом настоящей книги, поскольку их изложение потребовало бы обширных и в то же время глубоких познаний в теоретической физике. Речь будет идти в основном [c.8]

Как мы увидим в гл. 4, размер области упорядочения можно непосредственно измерить дифракционными методами. Температурная зависимость корреляционной длины вблизи температуры Г с исследовалась весьма тщательно. Общая теоретическая трактовка хорошо подтверждается опытом для магнитных систем и сплавов (см., например, [191). В ряде работ по металлофизике изучалось также и то, что можно было бы назвать локальным порядком, в сплавах, подвергавшихся закалке при температурах несколько выше критической Т ., измерялась корреляционная функция Г (Кгг) (или эквивалентные ей параметры порядка) для узлов, принадлежащих к нескольким координационным сферам [17—19, 29, 30]. Эти опыты дают полезные сведения о природе короткодействующих сил взаимодействий, ответственных за установление порядка в решетке. [c.42]

Соотношение (4.22) устанавливает лишь предельное значение структурного фактора и ничего не говорит о форме спектра при отличных от нуля значениях q. Вблизи критической точки сжимаемость жидкости становится очень большой, так что поведение 4>ункции 5 q) между б (0) и главным пиком становится не вполне определенным. Этот вопрос обсуждался очень давно в знаменитой статье Орнштейна и Цернике [2.88]. Отметим очень простое соотношение (4.14), связывающее фурье-образ прямой корреляционной функции с q) со структурным фактором. Очевидно, если вблизи точки q — 6 функция 5 q) становится большой, то величина с q) оказывается близкой к единице [c.160]

Интересно отметить [68], что эта особенность связана с отклонением корреляционной функции от формулы Орнштейна — Цернике на больших расстояниях. В уравнении (5.197) предполагается, что теория Ландау справедлива, только если флуктуации параметра порядка на расстояниях порядка малы по сравнению с самим этим параметром. Когда мы приближаемся к критической точке, в которой корреляционная длина становится очень большой, это предположение делается все более и более неоправданным и приводит к ошибочным выводам. Конечно, нетрудно (см., например, 169]) феноменологически обобщить теорию Ландау, включив в плотность свободной энергии (5.195) более сложные функционалы. Однако так сформулированная теория не позволяет указать точную форму названных функционалов, и параметры их приходится произвольным путем подгонять под экспериментальные данные, полученные вблизи критической точки. [c.237]

В области критической точки г < 1 для корреляционной функции Fi мы предложили конструкцию [c.364]

И, следовательно, х = 0. Поэтому в этом случае (/ ) 1Л-т. е. является функцией, выражающей далекий характер корреляций. Определяя корреляционную длину как х , мы видим, что в критической точке она становится бесконечной. Это увеличение корреляционной длины приводит к различным явлениям критического рассеяния. В качестве примера мы в следующем пункте рассмотрим подробнее критическое рассеяние "нейтронов в ферромагнитных кристаллах при температурах, близких к точке Кюри. [c.124]

Следовательно, вышеприведенное утверждение означает, что в пределе Л/->оо пространственный интеграл от сглаженной корреляционной функции в критической точке расходится медленнее, чем N. Это легко проверить при помощи (8.14) ). Рассматривая сферический сосуд радиусом Я, получаем [c.138]

Вблизи критической точки Я = О линеаризация становится неприменимой. В этом нетрудно убедиться, взглянув на корреляционную функцию (10.2.9) при Я О правая часть расходится. Такого рода эффекты хорошо известны в теории фазовых переходов и называются критическими флуктуациями. Однако в физических системах, находящихся достаточно далеко от теплового равновесия, и во многих других системах такие флуктуации ограничены, что с математической точки зрения обусловлено членом — Ьи в уравнении (10.2.1). Наиболее изящный подход, позволяющий учесть этот член, основан на использовании уравнения Фоккера— Планка. Пусть Р (/) обладает свойствами (10.2.2), (10.2.3) и имеет гауссово распределение (см. [1]). Из разд. 4.2 известно, что уравнение Фоккера—Планка для плотности вероятности /, соответствующей уравнению Ланжевена (10.2.1), имеет вид [c.330]

Эту степень называют критическим показателем или критическим индексом величины Л. Если в области 0>0о этот показатель отличен от показателя в области 0<0о, то у последнего ставят штрих 11е<0о=1 - - ь рассмотрим только четыре таких показателя, описывающих поведение макроскопических величин в области т 0 (критические индексы используются еще и для выявления особенностей структуры парной корреляционной функции в этой области, но эти вопросы уже выходят за рамки термодинамики, см. гл. IV, 3). [c.149]

Эти два простых выражения уже дают информацию о наиболее важных свойствах критического поведения. Действительно, наиболее заметным макроскопическим свойством системы в критической точке является обращение сжимаемости в бесконечность Хг (2 с) = оо- Это означает, что при температуре, равной критической, иетеграл в правой части (9.6.1) должен расходиться. Но, как мы знаем, для реалистичных потенциалов молекул с твердой сердцевиной функция Vg (г) ведет себя на малых расстояниях регулярно следовательно, мы приходим к выводу, что у Vg (г Гс) должен появляться очень длинный хвост, который и вызывает расходимость иетеграла. Таким образом, в критической точке система характеризуется корреляциями с бесконечным радиусом, даже если взаимодействия имеют конечный радиус. Другими словами, в критической области каждая молекула испытывает влияние большого числа других молекул такое влияние сказывается не прямь образом (так как взаимодействия имеют конечный радиус), а через длинную цепочку соседних молекул, которые оказывают когерентное воздействие. Обращаясь к формуле (9.6.2), это можно выразить по-другому фурье-образ парной корреляционной функции с нулевым волновым вектором (т. е. с бесконечной длиной волны) стремится к бесконечности в критической точке. [c.349]

Уравнения гидродинамики для средних значений базисных неременных и корреляционные функции флуктуаций, вычисленные с помощью уравнения Фоккера-Планка, содержат коэффициенты переноса Г], ( и X, которые получаются из затравочных коэффициентов в результате процедуры перенормировки . Ситуация здесь во многом схожа с квантовой теорией поля, где окончательные выражения для физических величин содержат перенормированные заряды и массы частиц, а не их затравочные значения. Как уже отмечалось, вне критической области затравочные и наблюдаемые коэффициенты переноса практически совпадают, поэтому значения tjq, Со можно найти из эксперимента. Даже в окрестности критической точки флуктуации температуры и химического потенциала очень малы, так что и в этом случае затравочные коэффициенты переноса часто удается оценить, отделяя критические аномалии в наблюдаемых коэффициентах переноса. [c.236]

Как указывает Гаскелл [37], если исходить из одних и тех же данных для /(г) и g r), то условие Фке(г) Фр-т г) следует из равенства (76) и (77). Так, из равенства (76) видно, что в точках пересечения общей корреляционной функции h r) величина f r) — = —Фпс1кТ, и так же, как это следует из соотношения (75), оно возникает асимптотически. Последнее замечание нуждается в некоторых поправках, так как после разложения правой части выражения (76) в ряд по степеням h асимптотическая форма верна при условии Возможно это соотношение выполняется в некотором отдалении от критической точки (см. п. 4). По теории Перкуса — Йевика получается тот же самый асимптотический вид. Это позволяет считать, по исследованиям диаграммных методов для больших г, что рассматриваемый результат действительно правилен в указанной области, т.е. вдали от критической точки. К сожалению (см. ниже), теория Борна — Грина не приводит к точно такому же результату, хотя и позволяет вывести линейное соотношение между f r) и Ф(г). Однако коэффициент пропорциональности различен (см. дополнение 5). Это различие может быть очень значительным для сил ближнего действия,, но оно уменьшается для сил дальнего действия, существующих в жидких металлах. [c.40]

Возрастание времени релаксации около критической точки отражает замедленность рассасывания в системе флуктуаций экстенсивных параметров (энтропии, плотности, концентрации). Усиливаются не только пространственные, но и временные корреляции распределения молекул. В опытах [333] наблюдалось сужение линии рассеяния света в SF с приближением к критической точке но изохоре (рк — р)/рк 0,02. Для анализа флуктуаций фототока при регистрации рассеянного пучка использовалась специальная аппаратура с шириной полосы спектрального анализатора 10 гц (разрешающая сила — S-IO ). Источником света служил Не — Ne-лазер, ширина линии около 2 гц. Если амплитуда G временной корреляционной функции для рассеяния спадает экспоненциально, G ехр [— Fi], то интенсивность флуктуационного сигнала имеет вид [c.301]

Надежные измерения поправки Орнштейна — Цернике вблизи критической точки газ — жидкость почти совершенно отсутствуют. В большинстве экспериментов по рассеянию света в газах в критической области (С2Н4, 8Гб, СО2) измерения проводились либо для фиксированного угла рассеяния (обычно 0 = 90°), либо в проходящем свете [28, 7, 135, 136, 15, 170]. Поэтому в настоящее время едва ли можно говорить об определении корреляционной функции или сжимаемости вблизи критической точки но результатам измерения рассеяния света. Авторы настоящей статьи произвели некоторые предварительные измерения ) рассеяния видимого света в СО2 в области критической опалесценции в интервале углов 15° < 0 <С 135°. В этом интервале не обнаружено угловой зависимости даже при температурах, отличающихся от критической на одну сотую градуса. Однако, поскольку вблизи критической точки не замечено соответствующего возрастания коэффициента экстинкции, вполне возможно, что при Т — Гс < 0,1 °С многократное рассеяние уже маскирует истинное поведение, согласующееся с теорией Орнштейна — Цернике. [c.117]

Первая формула определяет характер критической изотермы, вторая — поведение поверхностного натяжения М вблизи критической точки. Согласно Орнштейну и Цернике [58], дальнодействую-щая часть корреляционной функции плотность — плотность имеет вид [c.236]

С.Ф.Шандарин сравнил данные наблюдений с теорией ячеечной структуры, используя метод перколяционного параметра. Рассмотрим объединение шаров радиуса г с центрами в данных точках. Мы хотим найти минимальное г такое, что диаметры связных компонент этого объединения сравнимы с диаметром всей системы. Критическое г, оцененное для наблюдаемого распределения галактик, намного меньше значения г для случайного распределения Пуассона, имеющего ту же усреднённую плотность, и также намного меньше значения г для иерархического распределения вокруг случайным образом выбранных центров и имеющего ту же корреляционную функцию, что и наблюдаемое распределение. [c.48]

Степень спонтанной намагниченности ниже критической температуры Тс можно вычислить, во.змущая матрицу переноса слабым гагнитным полем Н, а затем оценивая изменение свободной энергии в линейном по Н приближении [44]. Точно такой же результат можно получить, вычисляя предел корреляционной функции спинов на больших расстояниях [45]. По аналогии с формулой (5.63) найдем корреляционную функцию для спинов, находящихся в одной II той же строке решетки [c.211]

В данной главе изучаются три основных модели магнетизма — Изинга, Х7-модели и модели Гейзенберга в двумерном пространстве. Приводится точное решение модели Изинга с помощью метода трансфер-матрицы и фермион-ного представления. Вычисляются свободная энергия и корреляционные функции и находятся основные критические индексы, описывающие особенности физических величин вблизи точки фазового перехода. [c.137]

Из этого результата следуют два вывода. Во-первых, в классической Х7-модели пет спонтанного момента. Действительно, при п оо корреляционная функция всегда расцепляется, т. е. <8о8п> = <8о> <8п>, а с другой стороны, это выражение, согласно (15.15) равно нулю, поэтому <8п> === 0. Во-вторых, выражение (15.15) показывает, что имеется линия критических точек для низких Г. Согласно теории статического скейлинга (см. (5.3)), в точке [c.164]

Основной материал данной главы посвящен изложению метода корреляционных функций. Он универсален и используется не только в теории равновесных классических систем, но и в квантовой статистике (в соответствующей операторной модификации), и в теории неравновесных систем (см. том 3, гл. 5). При этом мы ограничились исследованием только двух конкретных случаев систем с короткодействием и систем с кулоновским взаимодействием частиц друг с другом. Рассмотрение этих в определенном смысле полярных классов физических систем, с одной стороны, это традиция, а с другой — это и основные задачи теории неидеальных газов. Мы показали в 1 основного текста и в 1 и 2 дополнений, что основные проблемы теории могут быть сведены к определению двухчастичной корреляционной функции з(Д) (или ее модификаций). Это не означает, что в рассматриваемых нами системах существенны только парные корреляции роль трех и более частичных корреляций, которые учитываются в з(Д) как бы интегральным образом, возрастает по мере того, как система становится все более и более неидеальной, и если, например, в случае низкой плотности корреляционная функция з(Д) определяется в основном динамическим взаимодействием частиц, то по мере приближения состояния системы к критической точке все более оказываются связанными с возрастанием роли многочастичных корреляций статистические факторы, отодвигающие динамическое взаимодействие Ф(Д) на второй план. Эта идея неявно была использована при формулировке полуфеноменологической теории корреляционных эффектов в 3. [c.369]

В критической точке, когда к - О, корреляционная функция перестает быть короткодействующей , F2(R) — 1 1/Д, радиус корреляции увеличивается до бесконечности и флуктуации плотности перестают быть аддитивными (см. 2). Заметим, гго учет в выражении для градиентных членов, которые в к-представленин приводят к появлению слагаемых, пропорциональных и более высоким степеням к, не изменяет стандартного результата для термодинамических (шпитивных) флуктуаций (ANy y, так как эта величина определяется значением pi, в точке к —> 0. > [c.80]

Основное различие между обсуждавшейся выше проблемой и случаем бинарного раствора состоит в том, что для последнего мы имеем три корреляционные функции Еп = ёчх Ечл-указывалось выше, при помощи обратного преобразования Фурье из экспериментальных данных по рассеянию можно получить только величину gY Формальное распространение теории, развитой в 8, а, на бинарные системы не представляет серьезных трудностей [75, 81]. Однако теперь мы получаем систему четырех интегральных уравнений, а затем систему четырех дифференциальных сравнений. Поэтому асимптотическое решение вида (8.14) можно олучить только при помощи дополнительного предположения, которое делает задачу разрешимой. Это предположение сводится к тому, что к критической точке разделения смеси величина 022/1 12 [c.139]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...