Конфигурация лагранжева

Пусть значения лагранжевых координат 9i,..., 9п определяют некоторую конфигурацию голономной системы. Другую конфигурацию этой системы зададим с помощью координат [c.351]

В некоторых случаях удобно выражать кинетическую энергию не с помощью квазикоординат, а непосредственно через производные от координат по времени. Тогда уравнения движения можно привести к специальной стандартной форме. Для конкретности обратимся к угловым координатам Эйлера <р, ф, гЗ. В этом случае имеем шесть координат, задающих положение тела в пространстве (лагранжевых координат, однозначно определяющих конфигурацию системы) [c.450]

Пусть лагранжевы координаты задают конфигурацию механической системы в подвижном репере. Изменения лагранжевых координат никак не влияют на положение базисных векторов в абсолютном пространстве и характеризуют лишь относительное движение. [c.549]

Если силы (Xf, К,-, Zi) даны или зависят только от Положения или конфигурации системы, т. е. от параметров q, то эти k уравнений определят значения k лагранжевых координат, которым соответствует положение равновесия системы. [c.309]

Удвоение числа измерений, произведенное при введении фазового пространства, на первый взгляд кажется ненужным усложнением. Однако при теоретических исследованиях задач движения использование фазового пространства ведет к ряду существенных преимуществ. Одно из наиболее важных преимуществ станет наглядным, если рассмотреть множество траекторий С-точки, сначала в лагранжевом пространстве конфигураций, а затем в гамильтоновом фазовом пространстве. Пока речь идет об одной траектории, то движущаяся С-точка в обоих случаях описывает некоторую кривую. Однако выделение одной конкретной траектории из множества всех возможных траекторий часто сильно затрудняет теоретические исследования. На многие вопросы механики нельзя дать удовлетворительный ответ, выделяя одно частное решение уравнений движения, соответствующее какому-то конкретному выбору начальных условий. [c.202]

Попытавшись изобразить все множество траекторий в лагранжевом пространстве конфигураций, мы получим безнадежно запутанное переплетение линий. Движение может начинаться из любой точки пространства конфигураций в произвольном направлении и с произвольной начальной скоростью. Невозможно получить какое-либо упорядоченное представление всех этих линий. Обратимся теперь к фазовому пространству уравнений Гамильтона — уравнений не второго, а первого порядка. При заданном положении С-точкн эти уравнения определяют значение ее скорости. Движение может начаться в любой точке фазового пространства, но задание одной точки Р однозначно определяет всю траекторию. Выражаясь аналитическим языком, можно сказать, что для полного решения канонических уравнений [c.203]

Можно ли ввести что-нибудь подобное в гамильтоновом фазовом пространстве Имеются ли какие-либо инвариантные дифференциальные формы, которые могли бы в нем играть роль формы ds , как в лагранжевом пространстве конфигураций Такая дифференциальная форма, связанная с каноническими преобразованиями и инвариантная при этих преобразованиях, действительно существует, хотя она и отличается принципиально от римановой формы ds . Она также квадратична относительно дифференциалов, но связана при этом с двумя перемещениями и не имеет ничего общего с расстоянием. Геометрия фазового пространства имеет, таким образом, необычную метрику. Она похожа скорее на некую геометрию, в которой могут измеряться не расстояния, а площади. Поскольку основной дифференциальный инвариант канонических преобразований линеен по каждому из двух бесконечно малых перемещений, мы будем называть его билинейной дифференциальной формой . На основе этой инвариантной дифференциальной формы может быть построена полная теория канонических преобразований. [c.241]

В течение всякого своего движения голономная система постепенно проходит через конфигурации, соответствующие последовательным моментам поэтому движение будет определено, если лагранжевы координаты системы будут заданы в функции времени. Уравнения [c.274]

Перемещения отдельных точек системы и, в частности, их проекции на линии действия сил Ff определяются (для любой конфигурации) приращением 8д единственной лагранжевой координаты. [c.258]

Всякий раз, как лагранжевы составляющие имеют потенциал, из условий равновесия (12) и из тождеств (14) мы находим, что всякому максимуму или минимуму потенциала соответствует конфигурация равновесия голономной системы. [c.268]

Естественно, что все предыдущее сохраняет свое значение также и в частном случае, когда все связи системы будут голономными, не исключая и того случая, когда эти связи выражаются дифференциальными уравнениями Пфаффа (76), которые должны поэтому представлять собой интегрируемую систему. Но в этом предположении кинематические характеристики можно выбрать некоторым частным образом, который необходимо разъяснить. Так как связи, наложенные на лагранжевы координаты q (если число координат превышает число степеней свободы), являются голономными, то конфигурацию системы в любой момент можно определить, выражая q в функциях от других v независимых лагранжевых параметров Га(а=1, 2,. .., V) в виде [c.323]

Чтобы сделать возможным такое преобразование уравнений (82), мы предпошлем несколько замечаний о кинематических связях системы, которые мы будем предполагать заданными в параметрической форме (77). Изменения лагранжевых координат q за элемент времени dt (начиная от любого момента и любой конфигурации), совместимые с этими связями, выразятся равенствами (77 ) [c.327]

Мы уже знаем, что если функция U( q) при частных значениях q координат q, т. е. при заданной конфигурации системы, дог пускает стационарное значение (в частности, максимум или минимум), так что исчезают лагранжевы составляющие Q действующих сил, то С" будет для системы конфигурацией равновесия (т. I, гл. XV, п. 28). [c.355]

Геометрическая интерпретация принципа стационарного действия. Обратимся еще раз к голономной системе со связями, не зависящими от времени, для которой величины составляют систему независимых лагранжевых координат, и, как это уже не раз делалось нами ранее, представим оо конфигураций точками абстрактного пространства п измерений, в котором величины q истолковываются как самые общие координаты. В атом пространстве можно условно определить линейный элемент или элементарное расстояние ds между двумя любыми бесконечно близкими точками и [c.411]

Асинхронная вариация интеграла Гамильтона. Возвратимся к лагранжевой системе (31) общего типа. Выражение (33) вариации 5S относится к переходу от заданного естественного движения а к любому его синхронно-варьированному движению а , даже между различными конечными конфигурациями, если bq не предполагаются равными нулю при i = to и Мы увидим сейчас, какое при- [c.426]

Но для того, чтобы использовать эти тождества для распространения вариационных принципов на лагранжевы системы какого угодно вида, мы должны были постоянно предполагать неизменными при варьировании крайние конфигурации, между которыми нам нужно было вычислять, вдоль любого решения лагранжевой системы, интеграл S или действие А(8 = 0 при / = и t — [c.436]

Мы рассмотрим здесь другие важные следствия, которые могут быть выведены из тех же тождеств (38), (46) в более общем случае, когда при варьировании допускаются произвольные перемещения также и для крайних конфигураций. Обращаясь к тождеству (38), заметим, что если принять в качестве естественного движения о движение, определяемое общим решением лагранжевой системы (31), и отказаться от всякого ограничительного предположения о перемещениях крайних конфигураций, то это тождество приведется к виду [c.436]

При этом предположении уравнение Ь Н = Ь Е, так как Ъ Н явно содержит bdt dU, не накладывает никаких ограничений ни на вариацию энергии, ни на 817, но определяет только посредством квадратуры вариацию ht, когда произвольно заданы S Е, вариации 8 (как функции от С) и, следовательно, кривая с , бесконечно близкая к траектории с решения о лагранжевой системы. Естественно, что при более общем предположении надо допустить, что при переходе от траектории с к произвольной бесконечно близкой кривой варьируются также и крайние конфигурации. [c.441]

Если к любому решению о лагранжевой системы (31) или соответствующей гамильтоновой системы (31 ) применим совершенно общую асинхронную вариацию (даже не изоэнергетическую и с произвольными перемещениями конечных конфигураций), то тождество (46) сведется к тождеству [c.441]

Выбор лагранжевых координат производится следующим образом. Выбираются п параметров q ,. . ., g , значения которых определяют конфигурацию системы в момент времени t. Декартовы координаты ... [c.59]

В принципе Гамильтона действительное движение системы сравнивается с варьированным движением при одних и тех же конфигурациях системы в начальный и конечный моменты времени и одинаковых самих этих моментах времени. Поэтому, если мы хотим выразить этот принцип с помощью лагранжевых координат q , q2,. . Qn, то нужно потребовать, чтобы положение системы в начальный и конечный моменты и самые эти моменты оставались неизменными (хотя соотношения между q я х содержат t). Принцип Гамильтона, таким образом, принимает следующую форму [c.91]

В теории малых колебаний мы исходили из уравнений Лагранжа, которые представляют собой уравнения второго порядка. Здесь же мы имеем уравнения первого порядка, и поэтому при определении устойчивости нужно иметь в виду, что малость г означает как малость самого отклонения, так и малость скорости динамической системы. Рассмотрим, например, простой случай, когда х представляет лагранжеву координату динамической системы с одной степенью свободы и первое из уравнений (19.3.1) имеет вид х = у. Особые точки х , 0) дают конфигурации х = Xq, при которых система может находиться в покое при этом требование малости величины г = [c.370]

Рассмотрим двойной маятник, составленный из двух стержней АВ, ВС, соединенных вместе в точке В, и свободно подвешенный в неподвижной точке А. Такая система может совершать движение в вертикальной плоскости, проходящей через точку А. (Вместо двух стержней мы могли бы взять легкую струну AB , подвешенную в неподвижной точке А, с массивными грузами в точках В и С.) В качестве лагранжевых координат возьмем углы 0 и ф, которые стержни АВ и ВС составляют с направленной вниз вертикалью. Пространство конфигураций такой системы гомеоморфно поверхности тора при этом 0 играет роль азимутального угла, а ф — углового перемещения в круговом поперечном сечении, отсчитываемого от центральной плоскости тора. [c.556]

Однако научное значение классической динамики, в частности и ньютоновой динамики, не исчерпываются только физическими предсказаниями, которые делаются непосредственно на их основе. Ньютонова динамика состоит из совокупности математических выводов и заключений, полученных подчинением некоторых простых понятий некоторым простым законам. В математическом развитии предмета были развернуты общие схемы (в частности, лагранжев и гамильтонов метод), которые позволяют заменить первоначальные примитивные понятия более общими (такими как пространство конфигураций и фазовое пространство). Оказалось, что эти новые математические понятия могут быть использованы, чтобы представить физические понятия, отличные от тех, рассмотрение которых было источником понятий математических. Таким образом, ньютонова динамика породила новые физические выводы путем приложения внутренне присущих ей математических идей за пределами их исходной области применения. Примерами этого могут быть применение лагранжевых методов к теории электрических контуров и (что еще более удивительно) применение гамильтоновых методов в развитии квантовой механики. [c.14]

Коммутатор, 327 Композиция -вращений, 88 линейных операторов, 20 Конфигурация системы, 304 Координаты -векторные, 26 -главные, 575 -декартовы, 21 -криволинейные, 176 -лагранжевы, 350 -плюккеровы, 28 -позиционные, 557 -полярные, 178 -сферические, 178 -циклические, 556 -цилиндрические, 178 Коэффициент -восстановления, 293 [c.707]

Как видно из равенства (II. 151), действие по Якоби зависит лишь от формы и положения действительной траектории изображающей точки в пространстве конфигураций. Кривая, на которой удовлетворяется условие (II. 149), называется экстремалью. Следовательно, действительная траектория — экстремаль. Через фиксированную точку Л пространства конфигураций, можно провести бесконечное множество экстремалей, соответствующих различным начальным условиям. Проведем через точку 44] действительную траекторию и экстремаль, образующую с действительной траекторией малый угол и пересекающую действительную траекторию в точке М%. Предположим, что при уменьшении угла между вспомогательной экстремалью и действительной траекторией точка Мг приближается к предельному положению Мг. Точка Ма называется точкой, сопряженной с М, пли ее кинетическим фокусом. Если точка М2 лежит между точками и Мэ, то якобие-во или лагранжево действия имеют минимум для действительного движения системы. [c.205]

Точечные преобразования Лагранжа. В лагранжевой механике позиционными координатами являются величины qi. Уравнения движения Лагранжа остаются инвариантными по отношению к произвольным точечным преобразованиям этих координат. В гамнльтоновой механике мы снова встречаемся с задачей Лагранжа, но уже при наличии 2п переменных qi и pi. Пространством конфигураций гамильтоновой механики является 2л-мерное фазовое пространство. На первый взгляд может показаться, что в нашем распоря- [c.227]

Эта задача тесно связана с вопросом о геометрической структуре фазового пространства. Мы уже видели, как помогло динамической теории введение определенной геометрической структуры лагранжевого пространства конфигураций. Там был введен рпманов линейный элемент ds, квадрат которого задавался в виде некоторой квадратичной дифференциальной формы переменных qi. Величина ds была одновременно основным инвариантом лагранжевого точечного преобразования и тем бесконечно малым расстоянием, которое — при соответствующем выборе граничных условий — определяло геометрическую структуру пространства конфигураций. [c.241]

Следует остановиться на важном частном случае голоном-Еых систем с одной степенью свободы и со связями, не зависящими от времени в системах этого рода конфигурации зависят от одного единственного лагранжева параметра (не зависят от О . [c.275]

Примеры голодомяых систем. 1нсло степеней свободы го-лономноп системы, по определению, равно числу соответствующих (независимых) лагранжевых координат. На практике, когда внимание фиксируется на системе данной материальной структуры, всегда нетрудно непосредственно выяснить, представляет ли она собою голономную систему для этого достаточно исследовать, определяются ли ее конфигурации в произвольно взятый момент определенным конечным числом независимых параметров. Если это имеет место, то такое число непосредственно определяет число степеней свободы системы. Этот критерий мы применим к некоторым особенно простым типам голономных систем. [c.275]

При этих условиях мы моягем распространить на системы с односторонними связями определенпе виртуальных перемещений, данное в рубр. 14 для голономных систем. Для системы (2), подчиненной связям (18), всякое виртуальное перемещение, исходящее от конфигурации с лагранжевыми координатами Чи 2> . Ч , выражается формулой [c.292]

В частном случае, когда для определения системы в качестве лагранжевых координат взяты дека,ртовы координаты отдельных ее точек, виртуальные перемещения в данный момент от данной конфигурации выражаются системой типа [c.295]

Теперь легко проверить, что они образуют систему из п дифференциальных (независимых) уравнений второго порядка от п неизвестных функций переменной t, приводимую к нормальному виду, т. е. разрешимую относительно вторых производных. Действительно, заметим, что как это вытекает из их выражений (37), наравне с F , представляют собой известные функции от параметров, определяющих в любой момент конфигурацию системы, скоростей отдельных точек и, возможно, времени, т. е. функции от q, q к t. Что же касается выражений для т , определяемых равенствами (38), то следует обратить внимание, что, в то время как векторы dPJdqf зависят исключительно от q (и, возможно, от t), ускорения а,-, которые получаются последовательным дифференцированием равенств (33), представляют собой известные функции от q, q, q (и, возможно, t), линейные относительно лагранжевых ускорений д. [c.289]

Отсюда следует, что общие пара.метрические выражения 8 будут получаться из правых частей уравнений (77) путем отбрасывания в них, если они не равны нулю, величин и подстановки вместо кинематических характеристик стольких же бесконечно малых произвольньк параметров Таким образом, лагранжевы составляющие всех виртуальных перемещений системы, начиная с некоторого момента и любой конфигурации, будут определяться равенствами [c.324]

Для этой цели удобно интерпретировать п лагранжевых параметров q как обобщенные координаты точек абстрактного пространства п измерений Г пространство конфигураций). Траекториями системы в этом пространстве называются те кривые, уравнения которых получаются путем исключения t из уравнений qh = 4hiA< )> [c.337]

Предположим теперь, что к системе приложены другие позиционные силы с лагранжевыми составляющими Q/, р) (А = 1, 2,. .., п). Если эти составляющие не все обращаются в нуль в положении С, то равновесия в естественном положении больше не будет, но возможно, что установится (например, после затухающих колебаний) состояние сле еяного />ав овесия в новой конфигурации С, которая,, [c.359]

В окрестности конфигурации равновесия Xi = Q лагранжевы составляющие 2.....п) таких сил будут, как правило, представлены линейными формами с постоянными коэффициентами отно сительно лагранжевых скоростей х, и эти формы должны быть такими, чтобы выражение элементарной работы [c.393]

Таким образом, принцип Гамильтона распространяется на общие лагранжевы системы даже и по отношению к асинхронно-варьиро-ванным движениям, лишь бы они происходили между одними и теми же конфигурациями и за один и тот же промежуток времени. [c.428]

Рассмотрим в неподвижной плоскости четыре однородных стержня равной длины / и равной массы т, соединенных попарно так, что они составляют ромб AB D. Обозначив через О центр ромба, примем за вспомогательные оси Ох, Оу соответственно диагонали ОА, ОБ. Система в своей плоскости будет иметь четыре степени свободы. За лагранжевы координаты примем прежде всего три параметра, определяющие положение осей Оху относительно двух неподвижных осей, т. е. координаты о, р точки О и угол 9 оси Ох с неподвижной осью, и, кроме того, угол, определяющий конфигурацию ромба относительно его диагоналей, например, угол ф направленного стержня СВ с осью Ох, который будет точно таким же, как и угол OGi с осью Ох, если через Gj обозначим среднюю точку (центр тяжести) стержня АВ. Рассматривая вместе с Gi средние точки Gj. G3, G4 соответственно стержней ВС, СЛ, AD и обозначая через uj, bj координаты относительно осей Оху точки Gj и через bj угол OGj с осью Ох (г = 1,2,3,4), очевидно будем иметь [c.529]

Качение диска. До сих пор применение уравнений Лагранжа ограничивалось голономными системами. Рассмотрим теперь приложение этих уравнений к неголономной системе, а именно к однородному диску или однородному круглому обручу, катящемуся по шероховатой горизонтальной плоскости. Система имеет три степени свободы, но для определения ее конфигурации требуется пять лагранжевых координат. Дифференциалы этих пяти координат, представляющие виртуальное перемещение, должны удовлетворять двум пфаффовым уравнениям связи, а уравнения Лагранжа будут содержать два множителя ( 6.2). [c.137]

Интересно отметить, что при ином выборе лагранжевых координат в данной задаче можно добиться фактического равенства линейных элементов пространства конфигураций и его тонологического эквивалента — поверхности цилиндра. Имеем [c.555]

Видим, что. ковариантные. компоненты тензора деформаци Коши в лагранжевом базисе отсчетной конфигурации совпадаю-с ковариантными компонентами тензора деформации Альманз в лагранжевом базисе деформированной конфигзфации. [c.30]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...