Гиперболические точки (траектории)

Убегающие траектории, которые получаются при соответствуют вращательным движениям маятника, возникающим при сообщении ему начального количества движения, которое обеспечивает проход через верхнее положение со скоростью, отличной от нуля. На фазовой плоскости это будет соответствовать выходу описывающей точки за пределы области, ограничиваемой кривыми С , С,. Эти кривые, проходящие через седла и служащие в окрестностях данных точек асимптотами гиперболических фазовых траекторий, являются сепаратрисами. Они разделяют топологически различные области на фазовой плоскости область траекторий, приходящих из —оо и уходящих в фоо, и область замкнутых траекторий. [c.24]

Обозначим через у(ф) векторное поле, порождающее поток, являющийся надстройкой над диффеоморфизмом ф. Обозначим через R множество дуг фе в пространстве диффеоморфизмов, таких что у(фь)6б1, у(фе) трансверсально пересекает B в точке (фб) г (фь) удовлетворяет условиям типичности, главное из которых состоит в следующем. Неблуждающее множество у(фг,) состоит из конечного множества циклов, причем если один из них ме гиперболический, то его устойчивые и неустойчивые множества и многообразия трансверсально пересекаются между собой и с многообразиями других циклов, а если все циклы гиперболичны, то их многообразия трансверсально пересекаются по всем траекториям, за исключением одной. [c.125]

В [180] наложены еще некоторые технические условия на локальное поведение траекторий в окрестностях гиперболических точек, не нарушающие общности положения, но сужающие рассматриваемый класс дуг. Здесь мы их не формулируем, но предполагаем выполненными. [c.125]

Теорема ([111], [114]). Пусть й(р) р>1, — подмножество схемы Бернулли из бесконечного числа символов, определяемое следующим образом (... m i, то,..., т,-,... ) й(р) в том и только том случае, если т +1<рт , /6Z. Тогда поле г о при сг<0 имеет гиперболическое подмножество, траектории которого находятся во взаимно однозначном соответствии, сохраняющем асимптотические свойства с множеством й(р), где р не превышает — Re i/Re j,i. [c.137]

ДЛЯ конфигурации I, в то время как упругие энергии совпадают. Следовательно, распределение ламелл в широких местах канала термодинамически невыгодно. Однако возможны устойчивые распределения ламелл, когда крайние ламеллы в цепочке смещаются так, что средняя оказывается в широкой части канала. Такого типа распределения ламелл в цепочке (конфигурация III на рис. 5.2) описываются замкнутыми траекториями вблизи эллиптических точек. При этом верхняя часть овала описывает сжатые цепочки, а нижняя часть - растянутые. Периодические решения (область III на рис. 5.1) ограничены сепаратрисами, каждая из которых имеет две ветви, соединяющие гиперболические точки либо сверху от прямой р = 1, либо снизу от нее. Сепаратриса описывает бесконечную цепочку пузырей, одна половина которых сдвинута на период канала относительно дру- [c.89]

Анализ показывает, что для уравнения (30) имеется одна гиперболическая точка у = г/ = О с одной сепаратрисой iio = 0. В качестве уравнения траектории на сепаратрисе имеем уравнение [c.379]

Пусть теперь имеется аналитическая автономная система с двумя степенями свободы, и пусть Я = Ho + eHi +о(е) —функция Га-мильтона. Предположим, что в невозмущенной системе имеются две гиперболические траектории 71 и 72, лежащие на одной и той же поверхности уровня интеграла энергии. Пусть Fq — интеграл невозмущенной задачи, для которого dFo = О в точках траекторий 71 и 72- В этой ситуации также справедлива теорема 2, только условие 1) надо заменить на следующее [c.263]

Поскольку поведение расщепленных сепаратрис устойчиво относительно малых изменений параметров, то при малых значениях ц > О уравнения Эйлера — Пуассона будут также иметь гиперболическую периодическую траекторию с пересекающимися асимптотическими поверхностями. Согласно теореме 1 из 2, это не совместимо с наличием дополнительного интеграла и нетривиальной группы симметрий. Отметим, что при fi = 1 и fi = 2 уравнения Эйлера — Пуассона интегрируемы (случай полной динамической симметрии и случай Ковалевской). [c.272]

Сепаратриса отделяет траектории эллиптического типа от траекторий гиперболического типа. Она проходит через неустойчивые гиперболические точки I О, су О, 2ТТ, 4 и. ... [c.18]

Этап 3. Планетоцентрический гиперболический участок траектории (как правило, пассивный), начинающийся в точке, где аппарат приобрел гиперболическую скорость, и кончающийся в точке, где начинается гелиоцентрический полет. Этот участок простирается до такого расстояния, на котором притяжением планеты по сравнению с притяжением Солнца можно пренебречь (заметим, что гелиоцентрический участок перелетной траектории не обязательно начинается на границе сферы действия планеты см. ч. V, 2.05). [c.743]

Рис. 1.8. Нелинейный резонанс первого порядка пунктир — невозмущенная траектория при I = /о, тонкие кривые — фазовые колебания, жирная кривая — сепаратриса фазовых колебаний, Э — эллиптическая, Г — гиперболическая точки фазовых колебаний.

Рассмотрим петлю сепаратрисы, имеющую одну гиперболическую точку О (рис. 5.6, а). Она возникает, например, при движении частицы в кубическом потенциале. Рассмотрим также два уса сепаратрисы выходящий (5 ) из точки О и входящий (.8 ) в точку О. При действии малого периодического возмущения на систему гиперболическая точка О оказывается устойчивой [981. Это можно понять из следующих качественных соображений. Траектории в окрестности гиперболической точки неустойчивы, поэтому очень малое возмущение не может привести к более сильной неустойчивости траекторий. Свойство устойчивости гиперболической точки распространяется на некоторую малую окрестность ее усов (в противном случае разрушение усов привело бы и к исчезновению гиперболической точки). Следова- [c.99]

Замечание 2. Уже отмечалось, что множество можно считать состоящим из биллиардов, обладающих бесконечным количеством невырожденных гиперболических периодических траекторий. Как известно, такие траектории обладают сепаратрисами. Если сепаратрисы трансверсально пересекаются, то биллиард не может быть интегрируемым в силу их сложного поведения (см., например, [3]). [c.132]

В случаях, когда скорость возвращения корабля из межпланетной экспедиции слишком велика, может оказать помощь особый прием. МТА встречается с кораблем на гиперболической пролетной траектории и после приема на борт космонавтов немедленно снижает скорость до эллиптической. Если топлива МТА недостаточно, то к нему может прибыть другой МТА. Но при использовании ЯРДУ возможно весьма широкое маневрирование МТА, который, таким образом, примет на себя всю тяжесть возвращения. Сам же межпланетный корабль уходит по пролетной гиперболе к границе сферы действия Земли [4.110]. [c.446]

Если мы более подробно рассмотрим отображение в окрестности периодических точек на рис. 3.3, то заметим, что существуют два различных типа поведения. Вблизи эллиптической точки (см. рис. 3.3) соседние точки как бы вращаются вокруг нее. В противоположность этому вблизи гиперболической точки соседние точки уходят из ее окрестности. Мы уже встречались с поведением такого типа при рассмотрении движения в фазовом пространстве простого маятника в 1.3. Там мы нашли цепочки чередующихся эллиптических и гиперболических точек, причем первые окружены регулярными траекториями, а вторые соединены между собой сепаратрисами. Такая картина является типичной для нелинейных колебаний при малом возмущении. [c.197]

Если точки М ж М2 находятся по одну сторону от притягивающего центра, то траектория оказывается прямолинейной (эллиптической любого рода, гиперболической, параболической). Заметим, что этот случай сравнительно редко встречается в задачах механики космического полета. [c.122]

Траектории полета к планете назначения с возвращением к Земле включают подклассы траекторий с задержкой у планеты (на ее поверхности или на орбите вокруг планеты) и без задержки у планеты. Если траектории без возвращения к Земле приемлемы только для доставки автоматических аппаратов, то траектории с возвращением к Земле, являясь обязательными для будущих пилотируемых полетов к планетам, могут использоваться и при запуске автоматических аппаратов. Например, в тех случаях, когда необходимо доставить на Землю образцы грунта или пробы атмосферы планеты. Возвращение КА к Земле желательно проводить в два этапа. Сначала КА выводится на промежуточную орбиту вокруг планеты, а затем стартует на гиперболическую траекторию возвращения. [c.287]

Если гелиоцентрический участок оказывается параболическим или гиперболическим, то следует воспользоваться соответствуюш ими формулами 4.2. Однако из-за ограниченных энергетических возможностей современных ракет-носителей такие траектории пока не представляют практического интереса. [c.294]

Из изложенного в 242 видно, что если постоянная (28а) выбрана равной нулю, то тогда (и только тогда) траектория (27) на плоскости (х, у) есть прямая (соответствующая вырожденному гиперболическому, параболическому или эллиптическому движению в зависимости от того, имеем мы /г > О, А = О или А <С 0). р]сли же постоянная (28г) отлична от нуля, то траектория (27) представляет собой ветвь гиперболы, параболы или эллипс в зависимости от выбора А Щ 0. Наконец, результаты, изложенные и 377, гарантируют, что во всех шести случаях С 0, /г Щ О подстановка (27) в (23) дает нам гомографическое решение = = 1<(0 уравнений [c.366]

Локальные многообразия. Условия гиперболичности позволяют прежде всего исследовать асимптотическое поведение траекторий в окрестности гиперболической точки. Точное описание дается следующей теоремой, являющейся одной из ключевых в гиперболической теории. [c.126]

Приведем простое объяснение того, в каком смысле при появлении гомоклинической точки возникают стохастические траектории . Ограничимся случаем С -диффеоморфизма двумерного цилиндра М, имеющего неподвижную гиперболическую точку ( . Обозначим отрезки неустойчивой и устойчивой сепаратрис этой точки через и и предположим, что один их общий конец есть точка а другой — трансверсальная гомо-клиническая точка Ло (см. рис. 3). Точка 5 (Ло)=Л 1 также, очевидно, является гомоклинической. Геометрически ясно, что между А-1 и Ло должна быть по крайней мере еще одна гомо-клиническая точка, которую мы обозначим через Во- Окружим Во и Ло достаточно малыми окрестностями и и и" и бу- [c.134]

В [9] показано, что при г = 28, Ь = 8/3 и 0=01— 3.42 каждая из ветвей Г1 и Г 1 становится двоякоасимптотической, т. е. возвращается в седло О, касаясь Из результатов [9] вытекает, что при переходе о через значение из каждой из петель Г1 и Г-1 рождается по одной гиперболической периодической траектории Ь и Ь-1. При а1<а<5.78 ветвь Г1 стремится к устойчивой неподвижной точке 0 ь а Г-1 — к Оь При а=02 [c.199]

Рассмотренная картина несколько упрощена предположением о том, что в процессе ухода можно пренебречь эффектом солнечного притяжения. Если отбросить это предположение, то, траекторию ухода уже нельзя будет считать идеальной гиперболой и получение соответствующих аналитических выражений в замкнутой форме оказывается невозможным. При расчете действительной траектории влияние этих эффектов, несомненно, должно учитываться, однако в нашем анализе ошибок они намного увеличили бы сложность выкладок, не изменив, по существу, полученных результатов. Поэтому, хотя мы и не отрицаем необходимости введения в рассмотрение сил притяжения как планеты, так и Солнца при точном расчете траектории ухода с помощью электронных вычислительных машин, мы, однако, здесь будем продолжать изучать упрощенную модель траектории ухода — гиперболическую траекторию. [c.204]

В конце переходной траектории ракета начинает падать к Марсу, двигаясь по параболической орбите относительно системы координат, связанной с Марсом (если скорости ракеты и Марса не были точно равными, то траектория сближения будет гиперболической относительно указанной [c.315]

Это есть уравнение траектории точки. Кривая, определяемая этим уравнением, называется гиперболической спиралью (рис. 183, а). [c.283]

Гетероклинные точки 199 — 201 Гиперболические точки (траектории) 40, 196 — 201, 204. 206. 218, 219, 230, 232. 254, 458 — 460, 462 Гомоклинные точки 198 — 201, 306, 307. 458 Грина критическое значение 21Ъ — 2П Грубость см. Устойчивость структурная [c.524]

Пусть определены траектории граничных точек звена некоторого пространственного стержневого механизма в результате его кинематического анализа в пространственных координатах (рисунок). Пусть траектория граничной точки А звена АВ определена вектор-функцией рл = рл (ф) и точки В — вектор-функцией рв = рн (ф), где ф — координата перемещения ведущего звена рассматриваемого механизма в той же системе координат. Заметим, что в случаях, когда движение механизма определяется лишь одной лагранжевой координатой, положения точек А т В для данной сборки механизма взаимно-однозначны, если он лишен особенностей. Наличие особенностей, нанример, равенство длины шатуна четырех-шарнирника значению ее функции двух переменных углов поворота вращающихся звеньев в гиперболических точках, исключает упомянутую [c.77]

Следуя Р. Деванею [191], рассмотрим автономную аналитическую гамильтонову систему с двумя степенями свободы. Пусть р — критическая точка гамильтониана Я с собственными значениями (а г/3) (а,/3 G R). Если а О, то р — гиперболическое положение равновесия, обладающее устойчивой асимптотической поверхностью и неустойчивой Л . Пусть 7 — гомоклинная траектория она стремится к точке р при t — оо. Ясно, что 7 С (Л П ПЛ ), Предположим, что во всех точках траектории 7 двумерные поверхности Л и Л пересекаются трансверсально. [c.297]

Все множество гомоклинических точек назовем гомоклинической структурой . Различные системы имеют топологически эквивалентные гомоклинические структуры , если совпадают их системы гиперболических точек. В этом случае можно говорить, что законы стохастического поведения фазовых траекторий также эквивалентны, или, иначе, такие системы изоморфны. При перекрытии большого числа резонансов возникает гомоклиииче-ская структура , порожденная очень большим числом гиперболических точек, и можно ожидать, что точное знание числа гиперболических точек несущественно, если это число велико. Отсюда мы приходим к выводу, что все гамильтоновы системы с одинаковой размерностью и с большим числом сильно перекрытых ( Г>1) резонансов являются изоморфными, если они имеют приблизительно равные значения К. Напомним, что при К> мера островков устойчивости, которые могли бы внести некоторое разнообразие в стохастическую динамику, очень мала ( 1/Ю. Поэтому остается сделать еще один шаг, заключающийся в утверждении, что все физические спстемы с одинаковым числом степеней свободы в той области фазового пространства, в которой 1 и реализуется тем самым быстрое перемешивание, являются изоморфными Г-спстемами (ком. 5). [c.101]

Каждой га-звенной периодической траектории ф" 6 Т" соответствует 2л-звенная периодическая траектория ф 6Т ", полученная из исходной удвоением , т. е. прохождением два раза. Если траектории ф соответствует матрица Пуанкаре Р, то траектории <р , очевидно, соответствует матрица Пуанкаре Р. Таким образом, мультипликаторы ф равны квадратам мультипликаторов ф , значит, периодические решения ф и ф одновремен Ю являются эллиптическими и гиперболическими Траектория ф вырождена в том и только в том случае, если ф вырождена или ее мультипликаторы равны — 1. [c.72]

Гиперболическая точка соединяет четыре траектории две входящие (Я+) и две выходящие (Я ). Точка х принадлежит сепаратрисе Я+, если в результате последовательных отображений Т х она приближается к гиперболической точке при п-у оо. Если же это происходит в результате обратных отображений Т "х, то точка X принадлежит сепаратрисе Н . Поскольку на сепаратрисе период колебаний бесконечен, движение точки х становится все более и более медленным по мере приближения к гиперболической точке. Рассмотрим теперь две соседние гиперболические точки одного и того же резонанса. В отличие от интегрируемой системы сепаратриса Я , выходящая из гиперболической точки, не соединяет ее с соседней, а в типичном случае пересекает сепаратрису Я+, приходящую в соседнюю (сдвинутую по фазе на 2п к гиперболическую точку. Место пересечения называется гомоклинной точкой, так как она соединяет выходящую и входящую сепаратрисы одного и того же резонанса. Пересечения сепаратрис соседних резонансов называются гетероклинными точками. Легко показать, что если существует одно пересечение, то их существует и бесконечно много. [c.199]

Сами по себе гомоклинные точки еще не дают полной картины всей этой очень сложной области вблизи сепаратрисы. Так как период фазовых колебаний обращается в бесконечность на сепаратрисе, то в ее окрестности имеется бесконечно много вторичных резонанов, соответствующих высоким гармоникам частоты фазовых колебаний. Каждый из этих резонансов имеет свою собственную систему чередующихся эллиптических и гиперболических точек, со своим сложным движением в их окрестности и многократными пересечениями как своих сепаратрис, так и сепаратрис первичного резонанса в гетероклинных точках. Все эти сепаратрисы, по-видимому, всюду плотно заполняют доступное им фазовое пространство. Пересечение сепаратрис фактически показывает, что в этой области не могут существовать инвариантные торы вследствие изменения топологии траекторий ). Подробное обсуждение этих вопросов дано Драгтом и Финном [107]. Однако для малых возмущений все это чрезвычайно сложное поведение происходит лишь в ограниченной инвариантными кривыми области фазового пространства (рис. 3.4, а). [c.200]

Вблизи начала координат, которое является эллиптической точкой отображения, нелинейный член х1 мал. На рис. 3.6, а и б воспроизведены результаты Хенона для г1) = 76,11°. На рис. 3.6, а виден первый главный резонанс с а = 1/5, что соответствует углу поворота 72°. Следовательно, нелинейность в данном случае замедляет вращение. Исследование отображения в окрестности гиперболической точки этого резонанса приводит к любопытной картине, представленной на рис. 3.6, б. Видны вторичные и третичные резонансы, а также хаотическая траектория (длиной в 50 ООО [c.204]

После этого естественно было бы перейти к гиперболической теории, т. е. теории ДС с гиперболическим поведением траекторий. В 60-х гг. при оформлении теорин гладких ДС в самостоятельную дисциплину гиперболическая теория сыграла наиболее заметную роль сейчас гиперболическая теория продолжает развиваться, причем ее понятия, методы и результаты используются в некоторых других направлениях. Поэтому не удивительно, что некоторые учебники и обзоры под названием вроде Теория гладких ДС посвящены в основном именно гиперболической теории возле нее как бы группируются другие затрагиваемые в них вопросы (если они вообще имеются). Поскольку наиболее важные из других направлений отражены в других местах настоящего издания (см. ниже), то в настоящей статье, если бы она была в несколько раз больше, гиперболическая теория тоже заняла бы центральное положение. Однако многие важные вопросы гиперболической теории хорошо изложены в различных книгах (полу) учебного характера отчасти они затрагиваются в томе 2. Правда, содержание этих книг и части тома 2 не исчерпывает гиперболической теории и тем более смежных с ней вопросов, но ведь при небольшом объеме настоящей статьи в ней было бы невозможно сказать больше. Вместо того чтобы предлагать еще одно изложение того [c.153]

Индекс Морса (морсовский индекс). Индекс Морса (М. Morse) определяется для гиперболической периодической траектории (включая положение равновесия) как размерность dim (L). В случае каскада точкам x L приписывается тот же индекс, что и L. (У некоторых авторов индекс Морса замкнутой траектории на 1 меньше, чем здесь.) Будем обозначать индекс Морса через и, и х), u L). Для положения равновесия потока или периодической траектории каскада индекс равен числу соответствующих собственных значений Л с КеЛ>0 при 1Я >1 для замкнутой траектории потока — увеличенному на 1 числу мультипликаторов Л с Я1>1. Хотя формулировки в терминах Л определяют некоторое число и в негиперболическом случае, оно нам не понадобится. [c.177]

Отвлекаясь на минуту в сторону, отмечу, что еще более значительные усложнения фазового портрета встречаются прн наличии так называемых гомоклинических точек. Трансверсальная гомоклиническая точка х в гладкой ДС — это точка трансверсального пересечения W (L) и ( ) для гиперболической периодической траектории Ь. Вся траектория такой точки х состоит из трансверсальных гомоклинических точек и сама назы-гается (трансверсально гожоклиническайг траекторией ..-(Ш случае потока отсюда и из условия, что Ж" и ТГ трансверсально пересекаются, следует, что [c.191]

Соединяющая гиперболические точки сепаратриса (гетероклиническая траектория) с уг = min у, у2 = max у = sinoi отделяет прилегающую к диаметру у = О проточную область от расположенной выше вихревой области с центром (О, уо)- Из (3.3) находим явные выражения [c.478]

Замечание 1.3. ЛУМ можно построить в каждой точке у = 3 (х) неравномерно гиперболической траектории (ибо точка у с равным основ1анием может быть взята в качестве начальной точки траектории). При этом размеры ЛУМ в точках х и ЗЦх) удовлетворяют неравенству [c.127]

Пусть p — периодическая гиперболическая точка диффеоморфизма 5 класса гладкой поверхности М., х — трансверсальная гомоклиническая точка (см. 2). Фиксируем малое е>0 й рассмотрим ЛМГМ Л, лежащее в е-окрестности траектории S (x) (см. теорему 2.4). Обозначим X, у — собственные значения оператора DS(p), O Xd y. [c.173]

Основные результаты, описывающие топологические и эргодические свойства геодезических потоков с гиперболическим поведением траекторий (и многообразиях без сопряженных или без фокальных точек, или отрицательной кривизны), а также их связь с римановой геометрией и классической механикой приведены в обзоре [33]. Там же имеется обширная библиография по этой теме, а также рассмотрены другие динамические системы геометрического происхождения (потоки реперов и потоки орициклов). [c.227]

Рассмотрим теперь случай гиперболической орбиты е>1. Из уравнения траектории (23) видно, что при изменении угла ф от нуля до значения ф. определяемого равенством есозф = —1, точка переместится по соответствующей ветви гиперболы от перицентра до бесконечности (угол ф дает направление асимптоты гиперболы). [c.394]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...