Решение задачи смешанной первого рода

В настоящем разделе метод фиктивного поглощения обобщается на класс динамических смешанных задач для слоисто-неоднородного полупространства с учетом сцепления в области контакта. Обобщение основано на использовании в рамках метода фиктивного поглощения численных методов решения интегральных уравнений первого рода, что позволяет в значительной мере усовершенствовать процесс регуляризации систем интегральных уравнений динамических контактных задач. [c.127]

При исследовании сложных смешанных задач теории упругости большое распространение получил метод ортогональных полиномов (см. гл. 1, 4). Суть его состоит в следующем. Смешанная задача сводится к решению интегрального уравнения первого рода, рассматривается та или иная область изменения безразмерных параметров, входящих в ядро интегрального уравнения, выделяется главная (особая) часть ядра, которая соответствует выбранной области изменения параметров. Находятся собственные функции интегрального оператора, соответствующего главной части ядра в большинстве известных в настоящее время случаев собственными функциями оказывается какая-либо система классических ортогональных полиномов. [c.107]

Подробно остановимся на вопросе о решении уравнения (5.2). Присутствие в этом уравнении оператора первого рода делает задачу некорректной, что может проявиться в неустойчивости того или иного численного алгоритма, хотя сама смешанная краевая задача является корректной ). [c.597]

К настоящему времени существует довольно большой набор аналитических методов решения собственно смешанных задач для тел конечных размеров канонической формы. Подробный обзор таких методов можно найти в [13, 312]. Назовем только некоторые из них метод сечения [111], метод парных рядов [17, 19, 40, 58, 59, 187-189, 291-294, 310, 311, 315, 337], метод интегральных уравнений первого рода с периодическими ядрами [13, 54, 201], метод [c.10]

Решение методом больших Л интегрального уравнения первого рода с логарифмической главной частью ядра. Многие плоские смешанные задачи механики сплошной среды сводятся к решению интегрального уравнения [88 [c.39]

Настоящий параграф посвящен изложению эффективного метода решения интегральных уравнений и систем интегральных уравнений первого рода с разностными ядрами, обладающими весьма общими свойствами, заданных в ограниченной области или в системе таких областей. Указанный подход позволяет с высокой точностью строить решения динамических смешанных, в том числе контактных, задач. Его точность ограничивается лишь возможностями вычислительной техники. [c.83]

Для последних двух задач может быть получено точное решение, если воспользоваться результатами [33]. В этой работе путем построения замкнутых решений соответствующих интегральных уравнений первого рода, содержащих в качестве ядер эллиптические функции Якоби, получены точные решения смешанных задач теории упругости о чистом сдвиге штампом цилиндрического тела. Это тело представляет собой в сечении область, ограниченную координатными линиями произвольной [c.176]

Авторы работы [30] исследовали сдвиговые колебания пьезоэлектрического цилиндра с системой (2т) разноименно заряженных электродов с потенциалами Vq на поверхности г = а. Представляя решение уравнений электроупругости в форме тригонометрических рядов и удовлетворяя смешанным условиям на поверхности цилиндра г = а, они сводят задачу к системе парных рядов-уравнений, которая путем введения вспомогательной функции (т в), пропорциональной распределению заряда на электроде, преобразуется далее к интегральному уравнению первого рода [c.586]

НИЮ первого рода относительно функции распределения контактных давлений д(х). Для этого в соответствии с общей теорией решения смешанных задач [6] рассмотрим вспомогательную задачу со следующими граничными условиями [c.371]

Исследованию задач управления упругими колебаниями посвящено большое число работ (см., например, [11, 29, 31, 53, 54, 72, 101]). Однако в этих исследованиях не дается исчерпывающего решения задач управляемости упругими колебаниями с помощью граничных управлений при различных типах граничных условий. В предлагаемой вниманию читателей книге эти вопросы рассмотрены с достаточной полнотой для колебаний, описываемых одномерным волновым уравнением с линейными граничными условиями первого, второго и третьего рода, а также смешанных краевых условий, т. е. когда на границе заданы краевые условия разных родов. [c.3]

В цитированных выше работах было дано решение поставленной задачи двумя методами. Согласно первому методу она сводится при помощи результатов 95 к интегральному уравнению Фредгольма первого рода и затем к сингулярному интегральному уравнению и некоторому условию на бесконечности. Решение сингулярного интегрального уравнения, удовлетворяющее упомянутому условию, находится сразу. Согласно второму методу решение задачи приводится к решению смешанной задачи теории аналитических функций для полуплоскости, которое легко получается применением формулы Келдыша — Седова (см. Мусхелишвили [25]). [c.627]

Продемонстрируем основные идеи асимптотических методов б. Я и м. Я на примере интегрального уравнения первого рода с разностным нерегулярным ядром, к решению которого приводятся многие плоские и пространственные смешанные задачи теории упругости [c.98]

Решение интегральных уравнений. Полученные выше системы интегральных уравнений относятся либо к системам уравнений Фредгольма первого рода, либо к смешанным системам уравнений Фредгольма первого и второго родов [196]. Известно [201], что задача решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода является некорректной. Поэтому можно было бы ожидать значительных трудностей при численном решении (4.6), (4.9) и их аналогов. На практике, однако, это не наблюдается. Коэффициенты матрицы системы линейных уравнений [к которым сводятся (4.6), (4.9)], стоящие на главной диагонали, по модулю больше любого элемента из данной строки. Этот факт довольно просто объясняется физически, н благодаря ему для решения соответствующих систем линейных уравнений может использоваться любой известный метод [202]. [c.121]

Параграф 5.1 посвящен развитию метода однородных решений в контактных задачах для тел конечных размеров сложной неканонической формы. Дается общая постановка задач, приводится описание схемы метода. Показывается, что метод однородных решений может быть с успехом применен к широкому классу существенно смешанных задач для тел, часть границы которых совпадает с парой координатных поверхностей канонической системы координат, на которой задаются смешанные граничные условия, а другая часть границы задается достаточно произвольно, и на ней ставятся несмешанные граничные условия. Дается сравнительная характеристика эффективности и границ применимости различных численных методов для удовлетворения краевым условиям при помощи однородных решений, отмечаются трудности, возникающие при использовании методов коллокации и наименьших квадратов, показываются преимущества использования методов Ремеза первого и второго рода. [c.18]

В работах [17, 55, 66, 73] приводятся решения некоторых плоских и осесимметричных контактных задач о вдавливании без трения жесткого штампа в двухслойное стареющее вязкоупругое основание. Предполагается, что верхний слой тонкий относительно области контакта, неоднородно-стареющий реологические свойства нижнего слоя описываются уравнениями линейной теории ползучести стареющих материалов слои жестко сцеплены между собой область контакта не изменяется с течением времени. В зависимости от соотношений между модулями упругомгновенных деформаций слоев смешанные задачи сводятся к интегральным уравнениям первого или второго рода, содержащим операторы Фредгольма и Вольтерра. Используемый для их решения аналитический метод (см. 9, гл. 1) позволил построить разложения для основных характеристик контактного взаимодействия при произвольным образом меня- [c.465]

Очевидно, уравнение (10.103) параболическое, для него корректны как задача Коши, так и смешанная задача. При этом оно первого порядка по времени и в качестве начального условия достаточно задать и(х, 0). Задачи такого рода и методы их решения хорошо изучены, известно решение регуляризованного уравнения (10.103). Ясно, что регуляризованное уравнение описывает дисперсию с коэффициентом дисперсии, даваемым формулой (10.84). При этом утрачены эффекты распространения возмущений с конечной скоростью и регулярного сноса вешества против течения. [c.247]

Классический метод ортогональных функций, берущий свое начало с известной статьи П. И. Клубина [26], получивший свое развитие и математическое обоснование в работах Г. Я. Попова, В. М. Александрова и их учеников [44], является одним из эффективных алгоритмов решения плоских и пространственных задач математической физики со смешанными граничными условиями. Суть его состоит в следующем. Смешанная задача сводится к решению интегрального уравнения первого рода, ядро которого содержит безразмерный геометрический или физический параметр. Выделяется главная (сингулярная) часть ядра, соответствующая выбранной области изменения параметра. При этом второе слагаемое в представлении ядра является, чаще всего, достаточно гладкой функцией и играет роль малой добавки. Строится спектральное соотношение, точно обращающее интегральный оператор, соответствующий сингулярной части ядра. Собственными функциями таких операторов оказывается, как правило, какая-либо система ортогональных функций, в частности, система классических ортогональных полиномов. Регулярная часть ядра, решение и известная функция, входящая в правую часть интегрального уравнения, раскладываются в ряды по этим функциям, после чего оно сводится к бесконечной алгебраической системе. При соответствующем редуцировании (урезании) бесконечной системы получается конечная система с почти треугольной матрицей, что позволяет довести исследуемую задачу до числа. [c.125]

При изучении вопроса о концентрации напряжений около щелей и трещин значительный интерес представляет решение смешанных задач теории упругости для неклассических областей типа полосы (слоя). В математическом отношении эти задачи очень трудны. Однако начатое около десяти лет назад систематическое исследование этого вопроса привело к созданию эффективных методов решения задач такого класса (В. М. Александров, И. И. Ворович, Н. Н. Лебедев, Я. С. Уфлянд и др.). Методами операционного исчисления эти задачи довольно легко сводятся к решению интегральных уравнений первого рода с нерегулярным ядром. Наибольший эффект в нахождении удобных для практического использования решений этих уравнений был достигнут при использовании специфичных асимптотических методов. Начало исследований вопроса равновесия трещин в полосе было положено И. А. Маркузоном (1963). В. М. Александров (1965) исследовал равновесные трещины вдоль полосы или слоя, где интегральное уравнение строится для функции, определяющей форму трещины. Им получено приближенное решение путем разложения ядра уравнения в ряд при больших отношениях толщины к размеру трещины и получены зависимости нагрузки от размеров трещины. Используя этот метод и решения уравнений Винера — Хопфа, В. М. Александров и Б. И. Сметанин (1965, 1966) получили выражение для коэффициента интенсивности напряжений на краях равновесной трещины в слое малой толщины. Для случая постоянной нагрузки определяется связь размера равновесной трещины с действующей нагрузкой. Аналогичное решение получено для дискообразной трещины в слое конечной толщины. В. М. Ентов и Р. Л. Салганик (1965) рассмотрели в балочном приближении задачу Ь полубесконечной трещине, проходящей по средней линии полосы, причем для нагрузок, приложенных к берегам трещины, задача сводится к рассмотрению расслаивания под действием нормальной или тангенциальной силы. В этой работе с помощью метода Винера — Хопфа получено выражение для коэффициента интенсивности напряжений для достаточно больших и достаточно малых значений отношения расстояния от конца трещины до точки приложения силы к полуширине полосы. Используя аналитический метод, развитый В. М. Александровым и И. И. Воровичем (1960) при исследовании контактных задач для слоя большой относительной толщины, Б. И. Сметанин (1968) рассмотрел задачу о продольной щели в клине, а также плоскую и осесимметричную задачи о продольной щели в слое при различных условиях на гранях клина и слоя. Для щели, расположенной симметрично относительно граней клина (слоя), и нормальной нагрузки, приложенной к поверхности щели, получены формулы для определения поверхности щели. Коэффициент интенсивности напряжений выражается в виде асимптотического ряда по степеням безразмерного параметра. [c.383]

Из решений задач теплопроводности тел с локально изменяющимся коэффициентом теплоотдачи путем граничных переходов получены решения смешанных задач первого—третьего и второго—третьего родов, имеющих место в процессах хонингирования, наплавки, шлифования, импульсного упрочнения и др. [c.98]

Для исследования этих задач был использован метод однородных решений (см. п. 1.З.). Решение задач разыскивается в виде суперпозиции решения родственной неоднородной задачи для сферического слоя и соответствующих однородных решений. Для отыскания функций распределения контактных напряжений задачи сведены к решению БСЛАУ высокого качества типа нормальных систем Пуанкаре-Коха и ряда интегральных уравнений первого рода с одинаковыми ядрами для каждой из задач. Решения систем могут быть получены методом редукции при любых значениях параметров задач. Интегральные уравнения соответствуют хорошо изученным уравнениям аналогичных смешанных задач для шарового слоя и для их решения могут быть использованы известные эффективные методы, например, асимптотические. [c.175]

В большинстве рассмотренных работ, связанных с контактными задачами, предполагалось, что трение между штампом и упругим телом отсутствует. Значительно большие математические трудности представляет другой предельный случай, когда штамп и основание находятся в условиях сцепления (такая задача есть частный случай основной смешанной задачи теории упругости). В отличие от более простых смешанных задач, в этом случае дело сводится к отысканию двух гармонических в полупространстве функций с неразделенными краевыми условиями первого и второго рода. Впервые такая задача для кругового штампа была решена В. И. Моссаковским (1954) путем сведения ее к плоской задаче линейного сопряжения двух аналитических функций. Впоследствии Я. С. Уфлянд (1954, 1967) дал непосредственное решение этой задачи с помощью тороидальных координат и интегрального преобразования Мелера — Фока. В статье Б. Л. Абрамяна, Н. X. Арутюняна и А. А. Баблояна (1966) осуществлен еще один подход к той же задаче, основанный на использовании парных интегральных уравнений. Контактным задачам при наличии сцепления посвящена также работа В. И. Моссаковского (1963). Решение основной смешанной задачи теории упругости для полупространства с прямолинейной границей раздела краевых условий дано Я. С. Уфляндом (1957) с помощью интегрального преобразования Конторовича — Лебедева. [c.36]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...