Интеграл общий полный

Зная полный интеграл уравнения (140.4), можно найти общий интеграл уравнения (140.1), который имеет следующий вид [c.385]

Рассмотренный пример показывает, что задача о поиске полного интеграла решается неоднозначно. Полный интеграл не дает общего решения уравнения Гамильтона-Якоби, охватывая лишь небольшую часть решений. Тем не менее по полному интегралу можно восстановить исходное уравнение. Действительно, дифференцируя полный интеграл, получим [c.648]

Для большого класса механических систем — для консервативных систем существует, как известно из общих теорем динамики, интеграл энергии, согласно которому полная механическая энергия системы сохраняет постоянную величину в процессе движения [c.368]

Чтобы найти общее решение системы канонических, уравнений динамики, достаточно найти функцию V как полный интеграл дифференциального уравнения с частными производными первого порядка уравнения Остроградского — Гамильтона — Якоби) и продифференцировать этот интеграл по обобщенным координатам и постоянным интегрирования а . Приравнивая частные производные от V по обобщенным координатам обобщенным импульсам р , получим первую группу интегралов канонической системы, а приравнивая постоянным интегрирования производные от V по а , найдем вторую группу интегралов. [c.358]

До сих пор еш,е расположение нейтральной поверхности в изогнутом стержне оставалось неопределенным. Его можно определить из условия, что рассматриваемая нами здесь деформация должна- представлять собой чистый изгиб, без какого бы то ни было общего растяжения или сжатия стержня. Для этого полная сила внутренних напряжений, действуюш,ая на поперечное сечение стержня, должна быть равной нулю, т. е. должен исчезать интеграл [c.95]

В уравнения движения время t явно не входит. Исключая имеем пять уравнений, для которых найдены четыре первых интеграла. Согласно теории последнего множителя ) задача сводится к квадратурам. С. В. Ковалевская доказала, что кроме четырех случаев — Эйлера, Лагранжа, полной кинетической симметрии А = В = С и ее — нет случаев, когда общее решение уравнений движения является мероморфной функцией в комплексной плоскости переменного t. [c.197]

Якоби дополнил исследования Гамильтона, показав, что достаточно знать любой полный интеграл V t, g,,. .., g, ai,. ... .., a ) уравнения (7.16), зависяш,ий от постоянных а из которых ни одна не является аддитивной ), чтобы получить общее решение канонических уравнений (7.13) в виде [c.219]

Здесь v — нормальная к поверхности S составляющая скорости среды. В общем случае Ф D. Поверхность 2 есть замкнутая поверхность, ограничивающая объем V. Будем полагать объем V заключенным между поверхностями 5i и расположенными по обе стороны поверхности разрыва S и отстоящими от нее на расстоянии Л/2. При стягивании объема V к поверхности S (h -уО) первый член в правой части равенства (1.51) стремится к нулю. В этом случае уравнение (1.51) устанавливает связь полной производной от интеграла по объему V с интегралом по поверхности 2-Заметим, что при Л — О интегралы по объему, содержащиеся в равенствах (1.8). .. (1.10), также стремятся к нулю. Таким образом, все уравнения сохранения в интегральной форме (1.7). . [c.26]

Здесь частная производная заменена полной, так как X не зависит от времени. Общий интеграл этого уравнения имеет вид [c.116]

Гамильтон показал, что если известен общий интеграл уравнений движения, представленных в канонической форме, то из него можно вывести полный интеграл этого уравнения с частными производными. Якоби дополнил эту теорему, доказав, что, обратно, если известен какой-нибудь полный интеграл этого уравнения с частными производными, то из него можно получить общий интеграл уравнений, движения. Как мы только что говорили, это уравнение с частными производными, которое мы будем называть уравнением Як оби. подобрано таким образом, что уравнения движения (6) являются для него дифференциальными уравнениями характеристик согласно известному методу интегрирования уравнений с частными производными первого порядка. Мы не будем, однако, пользоваться этим методом. [c.473]

Для приложений к механике оказывается важным то обстоятельство, что, когда известен полный интеграл г уравнения (к), то общий интеграл системы (v) непосредственно выражается формулами (р). [c.246]

Кроме того, V есть полный интеграл, так как функция У зависит от к произвольных постоянных а и А. Поэтому, на основании общего правила, последний интеграл определяется формулой [c.253]

Замечание. Общее решение уравнения в частных производных зависит от нескольких произвольных функций. Поэтому полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби отнюдь не является общим решением. Полный интеграл по сравнению с общим решением охватывает только небольшую горстку решений. Тем не менее по полному интегралу можно восстановить исходное уравнение (отсюда и название полный интеграл ). Действительно, дифференцируя полный интеграл, получаем [c.157]

Рассмотрим сразу общий случай, когда несколько координат ..., q являются циклическими. В этом случае H=H t, qy,. .., q , pi,. .., p ), и полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби можно искать в виде [c.161]

В качестве новых постоянных импульсов можно брать не ai и константы полного интеграла для W, а какие-либо п независимых функций от ai. Обозначая эти постоянные через уи можно выразить W через Qi и Vf- В общем случае гамильтониан будет зависеть более чем от одной из величин уг, и уравнения для будут иметь вид [c.310]

Все сказанное нами в п. а) относительно интегрирования уравнения (43.9) относится и к более общему уравнению (43.17). Полный интеграл уравнения (43.17) теперь содержит / -hi постоянную, из которых одна по-прежнему является аддитивной. Теперь мы будем вместо [c.305]

Решение уравнения в частных производных методом разделения переменных. У нас нет какого-либо общего метода решения уравнений в частных производных. Однако при некоторых особых условиях оказывается возможным найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби. Этот специальный класс задач сыграл важную роль в развитии, теоретической физики, так как оказалось, что ряд основных задач теории атома Бора принадлежит к этому классу. В таких задачах одно уравнение в частных производных с п переменными может быть заменено п обыкновенными дифференциальными уравнениями с одной независимой переменной, которые полностью интегрируются. Такие задачи называются задачами с разделяющимися переменными . [c.275]

Однако вместо того, чтобы, как мы это выше делали, подставить значение Sz, выраженное через Sa и с помощью уравнения 2 — p8x — q8y — 0, можно было бы рассматривать это последнее уравнение как новое неопределенное условное уравнение тогда следовало бы это уравнение помножить на другой неопределенный коэффициент (i, взять от него полный интеграл и прибавить к общему уравнению равновесия (п. 29). В результате этого часть уравнения, находящаяся под знаком интеграла, получила бы следующий вид [c.194]

То обстоятельство, что в общем случае мы не умеем интегрировать в конечном виде уравнение годографа, естественно, приводит к аналогичной невозможности решения системы дифференциальных уравнений (28") главной задачи. Поэтому за отсутствием (строгих) количественных результатов мы вынуждены удовлетвориться качественным изучением (но с полной математической строгостью) поведения любого интеграла этой системы. [c.101]

Мы утверждаем, что знание одного такого полного интеграла V позволяет построить в конечной форме общее решение данной канонической системы (5) если мы введем п новых аргументов х посред-ством равенств [c.298]

С этим согласуется положение, заключающееся в том, что, найдя полный интеграл уравнения Гамильтона—Якоби, соответствующий динамической задаче (консервативной), можно найти общее решение уравнений движения Лагранжа из равенств [c.302]

После определения такого полного интеграла W уравнения (72") общее решение (74) канонической системы на основании выражения (78) функции V можно написать в виде [c.303]

Общий интеграл и ход движения. Определив для уравнения Гамильтона — Якоби Н=Е полный интеграл (120), мы получим согласно правилу п. 38 общее решение канонической системы, если, определив значения Wji по формулам (125), подставим полный интеграл в уравнения (74а) п. 88, определяющие траекторию, и в уравнение (74б), определяющее закон движения по этой траектории. Таким образом, принимая во внимание выражение (133 ) для величины и [c.341]

Для того чтобы можно было надеяться получить из двух первых интегралов много или даже все первые интегралы, недостающие для построения общего интеграла, надо, чтобы хотя бы один из двух известных исходных первых интегралов был характерен для рассматриваемой частной задачи, чтобы он как можно полнее отражал физическую сущность именно данной задачи. Если за исходные первые интегралы брать интегралы, вытекающие из основных, общих для всех систем теорем динамики, то вряд ли в общем случае можно надеяться на эффективное применение теоремы Якоби-Пуассона. [c.337]

Общее решение уравнения в частных производных зависит от произвольных функций. Такое решение называется общим интегралом этого уравнения. Однако в приложениях к решению задач механики главную роль играет не общий, а полный интеграл уравнения (7). Полным интегралом уравнения (7) называется его решение , ), завися- [c.359]

Общего метода нахождения полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби (7) при произвольной функции Н не существует. Остановимся только на некоторых частных способах нахождения полного интеграла. [c.360]

Значение именно этого интегрального выражения и должно быть наименьшим, потому что оно содержит полную сумму всех количеств действия сил на все частицы жидкой массы. Отсюда легко получить следующее общее правило для нахождения состояния равновесия какого-либо тела, находящегося под действием каких-либо сил Следует умножить каждый элемент тела на количество действия сил, которые на него действуют интеграл этого произведения, который будет полным количеством действия на все тело, должен быть минимумом. Всякий, кто поймет значение понятия количества действия сил на одну точку, которое я только что обосновал при помощи весьма веских доводов, согласится без труда с тем, что во всех случаях равновесия сумма всех количеств действия должна быть наименьшей. [c.71]

Форма, которую Лагранж придал дифференциальным уравнениям динамики, до сего времени служила только для того, чтобы с изяществом выполнять различные преобразования, для которых пригодны эти уравнения, и для того, чтобы с легкостью и притом во всей их широте выводить общие законы механики. Однако из этой же формы можно извлечь важную выгоду с точки зрения самого интегрирования этих уравнений, что, как мне кажется, добавляет новую ветвь к аналитической механике. Я наметил ее основные черты в сообщении, сделанном 29 истекшего ноября Берлинской академии, после того, как имел честь представить Вашей прославленной академии, приблизительно год назад, пример, способный дать почувствовать дух и полезность нового метода. Я нашел, что всякий раз, когда имеет место принцип наименьшего действия, можно следовать по такому пути в интегрировании дифференциальных уравнений движения, что каждый из интегралов, найденных последовательно, понижает порядок этих уравнений на две единицы, если отождествлять постоянно порядок системы обыкновенных дифференциальных уравнений с числом произвольных постоянных, которое вводит их полное интегрирование. Высказанное предложение имеет место также и в случаях, когда функция, производные которой дают составляющие сил, действующих на различные материальные точки, содержит явно время. Мы находим, например, в случае одной точки, вынужденной оставаться на заданной поверхности и подверженной действию только центральных сил, что дифференциальное уравнение второго порядка, которым определяется это движение, приводится к квадратурам, как только найден один-единственный интеграл. Наикратчайшие линии на поверхности входят в этот случай. [c.289]

Подобные общие принципы, в которых выставляется требование, чтобы интеграл некоторой функции состояния, распространенный на время, в течение которого происходит изменение состояния, имел экстремальное значение, иногда обязательно минимальное, выдвигались неоднократно. Эти принципы имели различную форму, соответствующую тем или другим условиям, налагаемым на варьирование, но при правильном выполнении требуемых варьирований все эти принципы приводят к одним и тем же дифференциальным уравнениям для рассматриваемых процессов. Первым из этих интегральных принципов был предложенный Мопертюи принцип наименьшего действия, в котором утверждалось, что при всех происходящих в природе явлениях среднее значение живой силы имеет минимальное значение. Условия варьирования, имеющие при этом место для механических задач, найдены только Лагранжей, и тем самым этот принцип был только им научно обоснован. Эти условия с современной точки зрения могут быть выражены требованием, чтобы полная энергия варьированного движения оставалась равной полной энергии действительного движения. Впрочем, к тем же результатам приводит принцип Гамильтона, при котором имеет место другое условие, а именно, что время не затрагивается варьированием. Это последнее условие имеет то преимущество, что мы имеем возможность присоединить к Я добавочные члены, относящиеся к внешним силам. Поэтому мы оставляем форму Гамильтона, которая теперь при сохранении прежнего условия варьирования гласит [c.465]

Еще один подход к изучению топологических препятствий к полной интегрируемости гамильтоновых систем предложен А. Т. Фоменко [165, 166а]. Он связывает факт наличия дополнительного гладкого интеграла общего положения с топологией поверхности уровня интеграла энергии и количеством устойчивых замкнутых траекторий. [c.148]

Пластическое сопротивление (или полный пластический момент) S трехслойной балки с заполнителем размерами В и Н и покрывающими слоями толщиной Т выражается как s = OqBHT, где 00 — общая величина пределов текучести при одноосном растяжении или сжатии. Заметим, что s пропорционально весу покрывающих слоев, отнесенному к единице длины, так что минимизация полного веса этих слоев вновь сводится к минимизации интеграла sdx. [c.103]

Хотя интегрнрованпе уравнения Остроградского — Якоби (139.1) в общем случае не упрон 1ает решения задачи, тем не менее, как указывалось выше, во многих случаях проще найти полный интеграл уравнения (139.1), а затем и интегралы канонической системы уравнений Гамильтона (132.5). [c.384]

Ита <, показано, что интегрирование канонических уравнений Гамильтоиа можно заменить нахождением полного интеграла уравнения Гам льто а — Якоби. В общем случае обе эти задачи обладают одинаковой трудностью, одна (о ме Отся динамическ1 е задачи, для которых 1 ахожден е П0. 0Г0 интеграла уравнения Гамильтона— Якоби оказывается более простым, чем интегрирование канонических уравнений Гамильтона. [c.158]

Зависимость работы от характера процесса приводит к ряду важных физических и математических следствий. Действительно, если подынтегральное выражение не является полным дисрфереициа-лом некоторой функции, то интеграл по замкнутому контуру от такого выражения в общем случае ие равняется нулю. Следовательно, при замкнутом термодинамическом процессе (цикле) 1-2-3 1 (рис. 6, б) система получает от окружающей среды (или отдает ей) некоторое ко- [c.28]

Интеграл (9,68) может быть вычислен элементарными методами, однако особенно быстро и изящно это можно сделать с помощью теории вычетов, что было впервые проделано Зоммер-фельдом. Рассмотрим в общих чертах этот способ. Прежде всего заметим, что Е следует считать отрицательным, так как только тогда движение рассматриваемой точки будет ограниченным (см. 3.3). Далее, так как интегрируемая функция равна здесь Рг = тг, то пределы изменения г определяются корнями выражения, стоящего под знаком радикала. Пусть ri — меньший из этих корней, а Гг — больший (см. рис. 24). Тогда полный цикл изменения г будет состоять из двух частей сначала г будет увеличиваться от значения Гх до значения Гг, а затем будет вновь уменьшаться до первоначального значения Гь В первой фазе этого изменения рг будет положительным, и радикал (9.68) Нужно будет брать со знаком плюс, а во второй фазе, когда рг отрицательно, его нужно будет брать со знаком минус. Следовательно, нам нужно будет произвести интегрирование двузначной функции, двигаясь на участке от ri до по одной ветви, а на участке от Г2 до Г — по другой. Так как точками разветвления этой функции являются точки гх и Г2, то комплексную плоскость этой функции можно рассматривать как один из листов римановой поверхности, разрезанной вдоль вещественной оси на участке от Г1 до Г2, как показано на рис. 65. [c.330]

Инвариантность интеграла J устанавливается аналогично тому, как это делалось в случае п. 32, проверкой того, что полная производная dJIdt будет равна нулю всякий раз, как линия L будет замкнутой. Для этой цели примем прежде всего во внимание, согласно тому, что было отмечено в п. 31, что общее решение канонической системы, которое здесь соответствует уравнениям (66), [c.295]

Так как здесь на основании предположения, что V есть интеграл (полный) уравнения (72), эта характеристическая функция тождественно равна нулю, то преобразованная каноническая система, принимающая в данном случае вид тс = 0, = О, будет иметь общим интегралом Тс , = onst, х = onst (А = 1, 2,. .., ), откуда, возвращаясь к первоначальной системе (5), мы и заключаем, что ее общий интефал определяется уравнениями (75) или эквивалентными им уравнениями (71), (74), если тс, х рассматриваются в них как произвольные постоянные. [c.298]

Прямая проверка предыдущих результатов. Результаты, относящиеся к характеристической функции Н, не зависящей от t, были выведены в предыдущем пункте как следствия из результатов, полученных в п. 35 при более общем предцоложении, что функция Н зависит явно от t мы пришли к правилу для определения общего решения канонической системы, вводя только полный интеграл W (с гессианом, не равным нулю) уравнения Н = Е, в которое t не входит. Представляет интерес найти снова эти результаты прямым путем, аналогичным тому, который был использован в п. 35 для общего случая, т. е. обращаясь к каноническому преобразованию, которое в этом случае не будет зависеть от f и потому будет вполне каноническим. [c.305]

Отметим, наконец, как из того же определения (16) следует, что вычисление S предполага.ет знание движения, о котором идет речь, и в общем случае требует одной квадратуры. Не лишено интереса замечание, что, если известен полный интеграл уравнения [c.404]

Можно сделать попытку обозреть основные этапы развития аналитической динамики до середины XIX в. Первым шагом явилось установление лагранжевой формы уравнений движения, затем лагранжева теория вариации произвольных постоянных, а также теория Пуассона. Следующим этапом явились во-первых, представление Гамильтоном интегральных уравнений посредством единственной характеристической функции, определяемой а posteriori посредством интегральных уравнений, предполагаемых известными, или посредством условия, что она одновременно удовлетворяет двум дифференциальным уравнениям в частных производных, и, во-вторых, установление канонических уравнений движения. Вслед за тем Якоби свел интегрирование дифференциальных уравнений к проблеме нахождения полного интеграла единственного уравнения в частных производных и дал общую теорию связи интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнения в частных производных первого порядка. Наконец, была разработана теория систем канонических интегралов. [c.910]

Итак, зная два интеграла, и ф, уравнений (41.12), мы можем дифференцированием получить третий, а именно, интеграл (41.15). Комбинируя этот последний с первыми двумя, выведем четвёртый, пятый и т. д. Может показаться, что для полного интегрирования системы канонических уравнений (41.12) достаточно, таким образом, найти только два ин.тегра-ла,—все остальные можно получить дифференцированием. Но дело в том, что указанный приём не всегда приводит к цели интеграл, происшедший от комбинаций двух данных, может оказаться не новым, а функцией уже известных интегралов или даже просто постоянною. Как справедливо заметил Якоби, только в том случае мы можем надеяться вывести из данного интеграла, комбинируя его с другими, всю цепь интегралов данной системы, если этот интеграл принадлежит специально взятой системе ин-теграчы же, общие нескольким системам уравнений, очевидно, в конце концов должны приводить к выше упомянутым иллюзорным резуль татам ). [c.443]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...