Колебания системы с бесконечным числом

Более сложные колебания совершают системы с бесконечным числом степеней свободы, как например, различные типы сплошных сред. В некоторых случаях нх можно с достаточной точностью заменить системой с конечным числом степеней свободы. [c.446]

Рассматривая поперечные колебания балки, можно постепенно увеличивать число степеней свободы, присоединяя к балке сосредоточенные массы. В пределе получается балка с распределенной по всей длине массой (рис. 538, б) — система с бесконечным числом степеней свободы. При этом прогиб в любой точке балки меняется по особому закону. С одной стороны, прогиб балки при колебаниях является функцией абсциссы х, а с. другой — непрерывной функцией времени t. [c.589]

Линейные колебания системы с бесконечно большим числом степеней свободы [c.177]

Исследование свободных колебаний системы с жидким наполнением [53] сводится к хорошо изученной задаче о свободных колебаниях системы с бесконечным или конечным числом степеней свободы. [c.38]

Рассмотрим алгоритм решения этих задач по МГЭ. Следует отметить, что проблема определения частот собственных колебаний упругих систем продолжает оставаться актуальной задачей. Связано это с недостатками существующих методов. Так, методы сил и перемещений позволяют определять точный спектр частот собственных колебаний (в рамках допущений, принятых при выводе дифференциальных уравнений колебаний), но частотные уравнения этих методов содержат точки разрывов 2-го рода [307]. Возможно также появление фиктивных и пропуск действительных частот вследствие замены заданной расчетной схемы на основную схему [26]. В МКЭ частоты определяются из векового уравнения [184], где спектр частот во-первых ограничен, во-вторых неточен из-за замены системы с бесконечным числом степеней свободы на систему с конечным числом степеней свободы. Аналогичные недостатки имеются и у других методов. [c.124]

Модель системы с п степенями свободы не всегда оказывается приемлемой при кручении колебаний реальных упругих конструкций. В таких случаях следует учитывать, что масса системы распределяется непрерывно, т.е. рассматривать модель системы с бесконечным числом степеней свободы. [c.364]

В настоящей статье мы рассмотрим вопрос о вынужденных колебаниях призматических стержней, пользуясь общей методой ), основанной на применении второй формы лагранжевых уравнений к системам с бесконечным числом степеней свободы. [c.139]

В фундаментальной работе Пуассона 1829 г. содержится, помимо указанного выше, немало других важных результатов из общих уравнений теории упругости вновь выведено уравнение для продольных колебаний тонких стержней, раньше полученное Навье (1824 г.), и для их поперечных (изгибных) колебаний, а также впервые дано уравнение для их крутильных колебаний. Там же решена задача о свободных радиальных колебаниях упругой сферы. Эти результаты стали отправными для многочисленных работ, сколько-ни-будь подробное освещение которых возможно лишь в специальном исследовании по истории теории упругости. Здесь достаточно сказать, что этими работами был подготовлен новый этап в развитии теории колебаний, обобщение основных положений, относящихся к линейным колебательным системам с конечным числом степеней свободы, на линейные колебательные системы с бесконечно большим числом степеней свободы. Один из общих результатов такого рода был установлен Стоксом в работе О динамической теории дифракции название которой напоминает о том, что в эту эпоху — эпоху торжества теории упругого светоносного эфира Юнга — Френеля оптика снова содействовала развитию теории колебаний, как и во времена Гюйгенса. Для свободных колебаний системы с конечным числом степеней свободы, вводя нормальные координаты , для изменения каждой из них, получают уравнение вида [c.277]

Для полного определения деформаций, возникающих в таких сложных системах при колебаниях, необходимо знать перемещения всех точек системы. Иначе говоря, необходимо найти бесконечное число функций координат и времени, определяющих состояние движения системы. Другими словами, мы имеем системы с бесконечным числом степеней свободы. [c.28]

Из приведенных решений видно, что колебания. жидкости в резервуаре с механической точки зрения аналогичны колебанию системы с бесконечно большим числом степеней свободы. [c.96]

Интересным примером системы с бесконечным числом степеней свободы является поле. В качестве примеров полей можно назвать звуковые волны, колебания мембран, свет и т. д. Рассмотрим действительное скалярное поле ф(х), движение которого описывается лагранжианом [c.187]

Основная особенность процесса свободных колебаний систем с бесконечным числом степеней свободы выражается в бесконечности числа собственных частот и форм колебаний. С этим связаны и особенности математического характера вместо обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих колебания систем с конечным числом степеней свободы, здесь приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями в частных производных. Кроме начальных условий, определяющих начальные смещения и скорости, необходимо учитывать и граничные условия, характеризующие закрепление системы. [c.184]

НЫМИ упругими системами. Это балки и стержни постоянного переменного сечений прямые (ступенчатые) валы с насаженным на них дисками коленчатые валы двигателей внутреннего сгорания лопатки, диски турбин и т. п. Для полного определения да формаций, возникающих в таких системах при колебаниях, нео ходимо знать перемещения всех точек системы иначе говоря, нужно найти в виде некоторых функций времени и положения точек бесконечное число величин (координат), определяющих эти перемещения в любой момент времени. Упругие системы являют ся, таким образом, системами с бесконечным числом степеней свободы. [c.100]

При определении основной (наименьшей) частоты крутильных колебаний диска, прикрепленного к концу В круглого стержня АВ (рис. 24), другой конец которого закреплен неподвижно в точке А, можно пренебречь моментом инерции стержня, если он достаточно мал по сравнению с моментом инерции диска. Тогда заданная система с бесконечным числом степеней свободы приведется к простой системе с одной степенью свободы. [c.101]

Распределенные системы --это системы с бесконечным числом степеней свободы, описываемые дифференциальными (или, может быть, интегро-дифференциальными) уравнениями в частных производных. Соответствующими примерами могут служить процессы, изучаемые математической физикой колебания струны и мембраны, диффузия, распространение тепла и др. [c.12]

Необходимо четко представлять себе, что в этом определении речь идет не о реальной системе, а об идеализированной модели реальной системы. Практически любая реальная система обладает бесконечным числом степеней свободы, если учесть все возможные в ней движения. Например, грузик, подвешенный на пружине, может рассматриваться как система с одной степенью свободы, если он совершает колебания только вдоль оси пружины. Но эта же система обладает тремя степенями свободы, если учесть еще и маятникообразные колебания груза в двух плоскостях. Если же принять во внимание возможность колебаний, связанных с изгибом пружины, то число степеней свободы становится бесконечным. А ведь можно еще учесть и упругие колебания самого груза и даже колебания молекул, из которых состоит груз. [c.238]

Шарнирные фермы как пространственные, так и плоские представляют собой системы с бесконечно большим числом степеней свободы. Положение этих систем при колебании определяется бесконечно большим числом обобщенных координат, а следовательно, число главных колебаний и частот ферм бесконечно велико. Для определения низших частот и соответствующих им форм главных колебаний можно ферму заменить системой с конечным числом степеней свободы. Весьма точные результаты можно получить при замене фермы системой материальных точек, расположенных в узлах фермы. [c.163]

Любая конструкция является системой с бесконечно большим числом степеней свободы, так как силы ее веса распределены по ее объему. Однако приближенный расчет конструкции даже в том случае, когда нельзя пренебречь ее весом, можно выполнить как расчет системы с одной степенью свободы. Для этого вес Q конструкции заменяют весом Q, сосредоточенным в некоторой точке. При вынужденных колебаниях эта точка принимается совпадающей с местом приложения возмущающей нагрузки. [c.534]

Исследуем удлиненную прямоугольную полосу из дуралюмина, защемленную по короткому краю (рис. 72). В этих условиях полосу можно рассматривать как широкую балку, с одним заделанным и другим свободным концом. Уравнение поперечных колебаний такой балки-полосы, как системы с бесконечно большим числом степеней свободы, получается из уравнения упругой линии, имеющего вид [c.115]

Резюме о свободных и вынужденных колебаниях. Повторим ввиду их важности некоторые ранее полученные результаты, относящиеся как к системам с конечным, так и с бесконечным числом степеней свободы. [c.218]

Метод приведения масс. Метод приведения масс состоит в замене системы с некоторым числом степеней свободы (бесконечным или конечным) системой с одной или несколькими (но меньшим по количеству, чем заданная) степенями свободы при соблюдении равенства кинетических энергий заданной и заменяющей ее систем в момент времени, когда отклонения равны нулю, а скорости максимальны. Заметим, что потенциальная энергия деформации в этот момент времени в обеих сопоставляемых системах равна нулю. Метод отличается простотой, однако, в отличие от энергетического метода, нет возможности априорно судить о том, получаются ли искомые частоты с недостатком или с избытком. Все зависит от выбора точек приведения масс. Впервые этот метод был применен Рэлеем, который в заменяющей системе использовал одну массу и требовал, чтобы центр тяжести этой массы совершал такие же колебания (с теми же частотой и амплитудой), как и соответствующая точка заменяемой системы. Разумеется, такое совпадение не означает, что и все остальные точки заменяющей и заменяемой систем колеблются одинаково. В этом и состоит приближенность решения. [c.241]

Отметим одну характерную особенность, отличающую вынужденные колебания в рассматриваемой линейной системе с периодически изменяющимися параметрами от колебаний в линейных системах с постоянными параметрами. В нашем случае из-за пульсации параметров каждая гармоника j возмущающей силы способна вызвать колебания с бесконечным числом гармоник, в то время как в линейных системах с постоянными параметрами при этом возбуждается только одноименная гармоника /. Это обстоятельство в известном смысле приближает рассматриваемый класс задач к классу нелинейных. Однако, как показывает анализ, отмеченная связь с чужими гармониками оказывается существенной только непосредственно в резонансных зонах, причем лишь для тех гармоник решения, которым соответствует слабая гармоника возмущающей силы. В остальных случаях указанная особенность обычно слабо проявляется на результатах расчета. Приведенные выше, соображения позволяют записать следующую приближенную зависимость для инженерной оценки амплитуд соответствующих сильных гармоник [c.272]

Постановка задачи. Рассматриваются крутильные колебания системы приведенной к динамической модели вала с бесконечным числом элементарных дисков, каждый из которых имеет бесконечно [c.319]

В предыдущем разделе была рассмотрена дискретная система (система с конечным числом степеней свободы). Такие системы являются удобными моделями, позволяющими наиболее просто исследовать их динамику. Любая упругая система (стержни, пластинки, оболочки и их сочетание) является системой с бесконечно большим числом степеней свободы (системы с распределенными параметрами) и ее движение описывается уравнениями в частных производных, что несколько затрудняет их исследование. Собственно, если решение ищется в виде разложения по главным формам колебаний, то все осложнения заключаются в определении форм собственных колебаний и если частоты собственных колебаний близки между собой, а для упругих систем типа пластин и оболочек они могут оказаться близкими в учете взаимной корреляции между формами колебаний. [c.79]

Рассмотрим теперь колебания п-массовой системы с жидким заполнением как системы с бесконечно большим числом степеней свободы. Предполагаем, что жидкость идеальная, каждая масса ти имеет по одной полости, силы определяются формулой (3.129). В этом случае можно найти стационарное решение уравнения (3.126) (нижний предел интеграла (3.126) необходимо положить равным —оо). Тогда [c.133]

Колебания системы с одной степенью свободы рассмотрены в курсе сопротивления материалов [50]. Здесь исследуются колебания упругих и неупругих элементов конструкций с бесконечным числом степеней свободы. [c.267]

На основе общего метода динамического расчета конкретные случаи нагружения кранов представляют как частные. При этом колебания металлической конструкции, представляющей собой упругую систему с бесконечным числом степеней свободы, рассматривают как колебания упругой системы с конечным числом степеней свободы, распределенную массу конструкции заменяют необходимым числом приведенных сосредоточенных масс, жесткость и силы неупругого сопротивления передач привода не учитывают. [c.100]

Вариационное уравнение Галеркина можно обосновать и независимо от принципа Остроградского — Гамильтона, именно как выражение общего уравнения динамики в применении к поперечным колебаниям системы с бесконечным числом степейей свободы. Для систем с конечным числом п степеней свободы это уравнение в обобщенных координатах имеет, как известно, вид [c.328]

По замыслу здесь не предполагалось также рассматривать распространение волн и колебания в сплошных средах, колебательные процессы в системах с последействием и в системах с бесконечным числом степеней свободы, а также проблемы оптимизации. В связи с этим вопросы, касаю- [c.115]

Б. Применение к исследованшо колебаний сплошных сред. Приведенные выше общие соображения имеют многочисленные приложения при исследовании зависимости от параметров собственных частот разнообразных механических систем с конечным числом степеней свободы однако, вероятно, наиболее интересные их приложения относятся к системам с бесконечным числом степеней свободы, описывающим колебания сплошных сред. Эти приложения основаны на том, что коразмерности многообразий эллипсоидов с теми или иными кратностями осей определяются [c.398]

Сводка результатов. — Мы разбирали ряд деталей, изучая колебание струны может быть больше деталей, чем это казалось необходимым. Это было сделано потому, что струна является наиболее простым случаем системы с бесконечным числом собственных частот и легче изучать некоторые свойства, общие для нескольких систем на самой простой системе, чтобы математические выкладки не затемняли физического смысла. Действие трения, как на самую систему, так и через её опоры, и явление многократного резонанса также справедливы и для систем, более сложных, чем струна. Действие затухания, вызванного реакцией воздуха в системах более протяжённых, чем струна, имеет большее значение, но общий характер явлений будет такой же, как и в разобранном нами ьыше случае струны. Мы также разобрали ряд методов изучения проблемы колебаний, применяя их к задачам, в которых метод не слишком затемнён деталями. Эти методы будут очень полезны в дальнейшей работе. В частности, мы давали ряд примеров полезности изучения нормальных мод колебания системы. Раз вопрос о нормальных частотах и соответствующих фундаментальных функциях был разобран для системы с данным рядом граничных условий, мы можем определить движение системы для какого угодно ряда начальных условий и для любого вида действующей силы. Мы можем также обсуждать методом, подобным тому, который изложен в 12, влияние на форму колебаний небольших изменений параметров системы (например, некоторой неравномерности в распределении массы или натяжения). Выражая приложенную силу через фундаментальные функции, мы можем получить выражение для вынужденных колебаний. Мы можем показать, например, что когда частота силы, приводящей в движение систему, равна одной из допустимых частот, тогда система Принимает форму, определяемую соответствующей фундаментальной функцией, с амплитудой, равной бесконечности, если нет затухания вследствие трения (сравнить это с изложенным в последнем параграфе главы П). [c.169]

Полученные в разд. 4.3 выводы можно обобщить на системы с бесконечным числом степеней свободы. На прар тике часто встречаются задачи расчета изгибных колебани балки. Масса балки распределена по ее длине, поэтому така система является системой с бесконечным числом степеней свс боды. Чтобы определить положение каждой массы, необходим задать прогиб как функцию координаты х, отсчитываемо вдоль оси балки у=Цх). Для такой системы собственные ча( ТОТЫ составляют бесконечную последовательность ри р , рз, Их значения зависят от вида законов распределения по длин балки изгибной жесткости Е1 Е — модуль упругости I — м( мент инерции сечения) и погонной массы т (массы участка ба ки единичной длины), а также от вида граничных услови Граничными называются условия на концах балки, которы должны удовлетворять прогибы, углы поворота сечений, пош речные силы или моменты. Пусть конец балки при х=0 з щемлен — консольная заделка (рис. 4.15, а). В этом случае пр [c.62]

Одним из таких приемов, особенно широко используемым в машиностроении, является замена данной сложной системы другой, более простой, с другим распределением масс и жесткостей, ш близкой к данной в том смысле, что ее расчет приводит к значениям искомых величин, не слишком сильно отличающимся от действительных для данной системы. Такая упрощенная система носит название приведенной или эквивалентной приведенной с темы. Существуют специальные правила приведения сплошных упругих систем, которые рассматриваются в разделах, относящихся к частным случаям колебаний упругих тел. Сейчас ограничимся описанием только одного из возможных его результатов замены данной системы с бесконечным числом степеней свободы эквивалентной системой с конечным числом степеней свободы. Именда этот результат приведения или упрощения сложной системы кладется обычно в основу первоначальных исследований теории колебаний. На нем построена первая часть настоящей книги — о колебаниях систем с конечным числом степеней свободы. [c.100]

Но когда при колебаниях тела достаточно большое число атомов, заключенных в малом элементе объема, движется одинаково, можно рассматривать движение такого элемента объема как целого, не учитывая того, что он состоит из атомов. Вместе с тем и свойства тела — его плотность и упругость (которые вследствие атомной структуры должны резко изменяться от точки к точке) — внутри малого элемента объема следует считать постоянными, имеющими некоторые средние по элементу объема значения (койечно, если тело неоднородно, то от элемента к элементу свойства его могут постепенно изменяться). Так от дискретной системы с большим, но конечным числом степеней свободы мы переходим к сплошной колебательной системе с бесконечно большим числом степеней свободы. [c.693]

Любая упругая система независимо от числа и характера наложенных на нее связей представляет собой систему с бесконечным числом степеней свободы, но при переходе к расчетной схеме она может быть заменена системой с конечным числом степеней свободы (или даже с одной степенью свободы). Проиллюстрируем сказанное на примере консольной балки с грузом на свободном конце (рис. 13-17, а). Если допустить, что. масса груза значительно больше массы балки и груз имеет такую форму и размеры, что момент инерции его относительно осей, проходящих через центр тялсести, мал, а жесткость балки значительна (прогибы малы) и рассматриваются только колебания в вертикальной плоскости, то координата а перемещения конца балки полностью определяет положение системы в любой момент времени. Следовательно, система может рассматриваться как обладающая одной степенью свободы (рис. 13-17, б). Несоблюдение хотя бы одного из сделанных выше предполсжений о характере величин, определяющих колебания системы, привело бы улсе к другой расчетной схеме. Если существенными в задаче являются не только колебания в вертикальной плоскости, но и любые другие, так что конец балки описывает в общ,ем случае какую-то плоскую кривую, то, раскладывая движение груза на вертикальную и горизонтальную составляющие, получаем расчетную схему (рис. 13-17, в), соответствующую системе с двумя степенями свободы. [c.341]

Конкуренция мод — подавление одних мод другими в автоколебат. системах — связана с тем, что конкурирующие моды черпают энергию на покрытие диссипативных расходов из общего источника. В результате одни моды создают дополнит, нелинейное затухание для других. Благодаря эффектам конкуренции и взаимной синхронизации колебаний в автоколебат. системах с большим числом степенен свободы (или даже бесконечным числом — в случае распределённых систем) возможно установление из нач. шума (нарастающих в результате развития линейных неустойчивостей флуктуаций на разл. частотах) реж]1ла регулярных периодич. А. Эффекты конкуренции и синхронизации оказываются принципиальными и для появления высокоорганизованных структур в нелинейных неравновесных средах. [c.14]

Различают системы с конечным и бесконечным числом степеней свободы. В последнем случае множество степеней свободы может быть либо счетным, либо континуальным. Системы, обладающие континуальным множеством степеней свободы, называют распределенными (континуальными). Число степеней свободы зависит от характера идеализации реальной системы. Упругие системы с распределенной массой являются распределенными системами заменяя распределенную массу конечным числом сосредоточенных масс, получим систему с конечным числом степеней свободы. С математической точки зрения колебания систем с конечнььм числом степеней свободы описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями колебания распределенных систем — дифференциальными уравнениями в частных производных. Математическое описание весьма широкого и наиболее важного для приложений класса распределенных систем может быть сведено к бесконечным системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Этот класс распределенных систем эквивалентен, таким образом, системам с бесконечным счетным числом степеней свободы. Приближенная трактовка последних приводит к системам с конечным числом степеней свободы. [c.17]

Таким образом, расчет сооружения на вынужденные колебания, по существу, является его расчетом на жесткость, так как частота со собственных колебаний системы зависит от ее жесткости. Любое сооружение является системой с бесконечно большим числом степеней свободы, так как его распределенный вес представляет собой бесчисленное множество бесконечно малых сосредо- [c.622]

Здесь уместно вспомнить картину смешений в стоячей волне, возбуждаемой в закрепленном на концах натянутом шнуре (рис. 1.10). Такую стоячую волну можно рассматривать как одно из нормальных колебаний (мод) механической системы с распределенными параметрами, т. е. с бесконечным числом степеней свободы. Напомним, что при норма.пьном колебании в системе все ее элементы совершают чисто гармоническое движение с одной и той же характерной для данной моды частотой ы и с определенным соотношением амплитуд. Частоты нормальных мод закрепленного на концах шнура (или струны) образуют дискретный спектр и могут быть найдены из условия, что на длине шнура I укладывается целое число п полуволн / = пХ/2, откуда [c.26]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...