Экстремумы функций независимых переменных

Экстремумы функций независимых переменных 573 Электрическая индукция, поток 31, 51 [c.784]

Так как постоянные величины не влияют на положение экстремума, то при расчете функции цели можно ограничиться лишь частью выражения (5.10), являющейся функцией независимых переменных [c.181]

Если разыскивается экстремум функции нескольких переменных, которые не являются независимыми, но связаны между собой одним или несколькими уравнениями (число уравнений меньше числа переменных), то говорят об относительном (или условном) экстремуме. При решении задачи пользуются методом неопределенных множителей (методом Лагранжа). [c.148]

Формальный смысл введения электрохимических и других полных потенциалов — исключение из фундаментальных уравнений зависимых переменных. В сложных системах целесообразнее, однако, пользоваться более общим методом решения, сводя расчет равновесия, как и ранее (см. 16), к задаче на условный экстремум какой-либо характеристической функции, а любые соотношения (уравнения и неравенства), существующие между термодинамическими величинами, рассматривать как дополнительные условия и ограничения, которым должны удовлетворять условно независимые переменные. Покажем еще раз возможности этого подхода на примере расчета электрохимических равновесий, хотя в данном случае он не является кратчайшим путем к решению задачи. [c.148]

Замечание 8.11.1. Система уравнений Эйлера в приведенном виде совпадает по форме с системой уравнений Лагранжа второго рода. Однако по смыслу в уравнениях Лагранжа функция Лагранжа должна удовлетворять обязательному условию невырожденности по обобщенным скоростям. Вместе с тем в уравнениях Эйлера, применяемых для решения задач на экстремум функционера, аналогичное условие невырожденности подынтегральной функции относительно первых производных может не выполняться. Кроме того, в уравнениях Эйлера под t следует понимать любую независимую переменную (не только время). [c.601]

Такого типа задачи называют задачами на условный экстремум. Условия (11.5) уменьшают число независимых переменных до (я—от). Поэтому исключив лишние переменные с помощью соотношений (II.5), исследуемую функцию можно выразить через оставшиеся (п—т) независимых переменных и свести задачу определения необходимых условий экстремума к рассмотренной выше задаче. Но такой путь решения не всегда удобен и возможен. [c.304]

При поиске экстремума функции (5.6а) на независимые переменные накладываются линейные ограничения (пределы изменения этих переменных) [c.187]

На рис. 2 дуга MN — проекция дна оврага на плоскость независимых переменных, О — точка, в которой функция имеет экстремум (для определенности — минимум). Пусть — начальная точка, из которой делаются пробные шаги в направлении одной из координатных осей до тех пор, пока происходит уменьшение значения / (Х , Х ). Как только уменьшение функции прекращается (это говорит о том, что пересечено дно оврага), движение прекраш,ается и фиксируется точка В- . Из точки производятся шаги в направлении второй координатной оси, пока не будет пересечено дно оврага и не произойдет останов в точке Aj. Затем строятся новые координатные оси, одна из которых проходит через точки Ai и А2, а вторая — ей перпендикулярно. Движение вдоль новых координатных осей производится так же, как и вдоль старых, пока не произойдет останов в точке Ад. Затем строятся новые координатные оси и т. д. [c.31]

Разность 6д 1) = д 1) — д 1), как известно, называется вариацией функции д 1) и играет в вариационном исчислении роль, аналогичную роли приращения независимого переменного АЬ = (И в задачах дифференциального исчисления и исследования экстремумов функций д г). [c.180]

Как уже отмечалось, применение ПЭВМ предопределяется разработанным для них программным обеспечением. В соответствии, с назначением тех или иных моделей на передний план выходят то игровые программы, то автоматизированные учебные курсы. Персональные ЭВМ, предназначенные для инженеров, наряду со средствами мащинной графики, обработки текстов, сервисными программами должны содержать программы решения повседневных научных и технических задач. В этот набор, как правило, входят программы решения систем линейных, нелинейных, дифференциальных уравнений, вычисления определенных интегралов, интерполяции функций, нахождения корней многочленов, определения экстремумов функций одной и нескольких переменных, спектрального анализа, статистической обработки данных и т. п. Обычно такие программы оформляются в виде библиотек или пакетов и размещаются на внешних носителях. Напомним, что основное различие между пакетом и библиотекой программ заключается в следующем пакеты построены по модульному принципу (одни и те же фрагменты используются в различных программах), в то время как программы библиотек работают независимо друг от друга. Применение пакетов позволяет более экономно использовать машинные ресурсы с библиотеками в ряде случаев проще ра тать, особенно неподготовленному пользователю. На русском языке тексты прикладных программ публикуются довольно давно - в 60-е, 70-е годы в основном на Алголе и Фортране, в последнее время все чаще на Бейсике и некоторых других языках. [c.91]

Для функции от двух независимых переменных г = / (х, у) наличие относительного экстремума для значений Хт и Ут означает, что f [х , больше или соответственно меньше всех г в известной нам окрестности х Ут т), Причем необходимо существование непрерывных частных производных первого и второго порядка. Тогда необходимыми и достаточными условиями будут [c.238]

ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ или НЕСКОЛЬКИХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ [c.573]

Чтобы решение уравнений газовой динамики имело физический смысл, оно должно быть однозначным. Каждому значению независимой переменной должны соответствовать единственные значения F и Z. Это значит, что функции от F и от Z или, что все равно, 1п от F и 1п от Z, не должны иметь экстремумов. Производные d 1п HdV = A/Ai и d 1п HdZ = А/А3 в области изменения переменной 1 С <оо, [c.623]

Если решается задача об экстремуме данной функции, то все сводится к определению тех значений независимых переменных, при которых эта функция получает максимум или минимум. В случае функции одной переменной для этого необходимо решить уравнение [c.155]

Зависимость периода стойкости от геометрических параметров инструмента во многих случаях экстремальна, а максимум периода стойкости и соответствующая ему величина одного из параметров зависят от значений других геометрических параметров. Например, на рис. 201 показано принципиальное влияние заднего и переднего углов на период стойкости, из которого видно, что значение оптимального заднего угла для различных величин передних углов также различно. Применение однофакторного эксперимента для нахождения оптимального значения какого-либо из геометрических параметров в этом случае связано с очень большим числом опытов, так как зависимость периода стойкости от одного параметра нужно повторять столько раз, сколько имеется других геометрических параметров, влияющих на стойкость. Кроме того, в рассматриваемом примере для каждого значения переднего угла связь между величиной заднего угла и периодом стойкости будет выражаться отдельной зависимостью. Для решения подобных задач целесообразнее применять планирование эксперимента. Сущность этого метода состоит в том, что опыты ставят по определенной заранее подготовленной схеме и одновременно варьируют все независимые переменные 157]. Функцию у == f Xj, Xg, Хд. .. Xf ), характеризующую любой процесс, называют функцией отклика, а независимые переменные Xi, Х2, Xg,. .. л — ее аргументы — факторами. В многофакторном пространстве функции отклика соответствует геометрический образ — поверхность отклика. При решении задач оптимизации необходимо отыскать экстремум поверхности отклика. [c.255]

Математическая формулировка задачи принятия решения часто эквивалентна задаче отыскания экстремума функции одной или многих переменных. Поэтому для решения подобных задач могут быть использованы различные методы исследования функций классического анализа, в частности, методы поиска экстремума. Эти методы применяют в тех случаях, когда известен аналитический вид зависимости оптимизируемой функции Q от независимых переменных иг. [c.14]

Условия экстремума функции, которые рассмотрены выше, позволяют пайти, так называемый, безусловный экстремум. Однако, в большинстве практических задач принятия решения требуется принять решение - определить экстремум критерия оптимальности при условии, что на независимые переменные наложены ограничения, имеющие вид равенств. Типичными примерами подобных задач служат задачи, в которых требуется оптимальным образом распределить заданное количество ресурсов, чтобы принятая оценка эффективности процесса имела при этом максимальное или минимальное значение. [c.18]

Поскольку заранее число экстремумов функции Q и) неизвестно, то для нахождения глобального экстремума необходимо, вообще говоря, найти и проверить все без исключения локальные экстремумы, имеющиеся у целевой функции решаемой задачи. С этой целью осуществляется поиск из различных начальных точек, для чего область изменения независимых переменных щ покрывается сеткой и начальная точка м/о выбирается из областей, полученных в результате проведенного сканирования. [c.37]

В последнее время значительное внимание уделяется вопросам синтеза СВЧ устройств, в том числе и фильтров, с помощью ЭВМ [47, 64, 115, 129]. Больщинство методов машинного синтеза сводится к задаче отыскания экстремума целевой функции, характеризующей степень отклонения реальной частотной характеристики коэффициента отражения (передачи) от идеализированной характеристики. В качестве независимых переменных целевой функции фигурируют физические параметры устройства. Задача синтеза в такой постановке состоит в нахождении вектора, компоненты (параметры) которого обеспечивают экстремум целевой функции. В случае волноводно-диэлектрических фильтров с запредельными связями рельеф целевой функции в пространстве независимых параметров оказывается обычно очень сложным. Наличие оврагов , локальных впадин сильно осложняет поиск глобального экстремума. Опыт показал, что в этих условиях целесообразно машинный синтез разбить на два этапа. [c.72]

В рассматриваемой экстремальной задаче функционал является нелинейной функцией независимых переменных. Поэтому задача относится к задачам нелинейного программирования. Вышерассмотренные градиентные методы оптимизации оказались непригодными для поиска глобального экстремума, так как часть переменных (я, ан, и 2г) дискретна и, кроме того, имеются локальные экстремумы. Поскольку время расчета данносо функционала иа ЭВМ БЭСМ-4 составляет не более 1 с и число оптимизируемых переменных в данной задаче невелико, то эффективным при реализации на ЭВМ оказался метод последовательного обхода с полным перебором узлов многомерной сетки, получаемой путем деления интервала изменения каждой независимой переменной на дискретное число отрезков Д. В каждом узле рассчитывалось значение функционала, при этом отбрасывались из расчета узлы, не удовлетворявшие вышеприведенным ограничениям, налагаемым на зависимые и независимые переменные. Минимальное значение функционала соответствует тлобальному экстремуму в окрестности с точностью Д. [c.61]

Задача оптимизации парогенератора (4.55). .. (4.64) относится к классу задач нелинейного программирования. Анализ уравнений, используемых для расчета а также системы ограничений, формирующих область допустимых значений независимых переменных, показывает, что первые и вторые частные производные целевой функции могут иметь разрывы, а она сама — быть многоэкстремальной. Область допустимых значений оптимизируемых параметров может оказаться несвязной. В этих условиях в соответствии с рекомендациями [106] для решения задачи следует использовать методы прямого поиска, в которых процедура построения оптимизирующей последовательности основана только на информации о значениях целевой функции. Задача (4.55). .. (4.64), а также ряд других задач оптимизации отдельных агрегатов теплоэнергетического оборудования и ПТУ в целом, приведенных в последующих главах, решены методом прямого поиска с самообучением глобального экстремума функции многих переменных [81]. [c.82]

Таким образом, общие критерии равновесия термодинамических систем математически формулируются в виде задачи на условный экстремум той или иной характеристической функции. Экстремум ищется при этом в обобщенном пространстве дополнительных внутренних переменных (см. с. 37), а дополнительными условиями является постоянство естественных независимых переменных характеристической функции. Выбор характеристической функции и критерия равновесия связан только с набором термодинамических величин, равновесные значения которых известны и которые могут, следовательно, использоваться в качестве параметров при расчете равновесия, т. е. при нахождении других, неизвестных свойств. С этой точки зрения вариационная запись критерия равновесия также имеет определенные преимущества перед дифференциальной записью, так как не создает ощибочных представлений, что для применения того или иного общего условия типа (11.1) необходимо [c.110]

Сопоставим в заключение методы Гамильтона и Лагранжа. В гамильтоновом формализме основными величинами являются , р, и Н. Гамильтониан можно построить с помощью функции Лагранжа и q и р,. Отсюда непосредственно получаются канонические уравнения и динамические переменные. Однако в гамильтоновом формализме время все же играет особую роль по сравнению с пространственными координатами, являясь, по существу говоря, единственной независимой переменной. С одной стороны, это дает возможность провести далеко идущую аналогию с классической механикой, но, с другой стороны, именно поэтому теория оказывается релятивистски неинвариантной. Напротив, в лагранжевом формализме не вводят функции р,-, Н (хотя это и возможно). В лагранжевом методе исходят из вариационного принципа для лагранжиана системы. Из условий для его экстремума получают уравнения движения, а динамические переменные (энергия — импульс, заряд и т. п.) определяются как инварианты, соответствующие различным преобразованиям системы координат и, в случае теории полей, функций поля. В лагранжевом формализме время входит совершенно симметрично с пространством и теория с самого начала релятивистски ковариантна, но зато аналогия с механикой системы точек оказывается гораздо менее отчетливой. [c.878]

Возможность существования особых точек (седловых, типа гребней и оврагов и т. д.), разрывности функционала и изменений переменных условных экстремумов на границах допустимых областей, многосвязности, многоэкстремальности функционала, ограничений типа неравенств, дискретность переменных и т. д. — все это приводит к практической непригодности аналитических методов оптимизации теплоэнергетических установок. Применение ЭВМ. и численных методов нелинейного программирования позволяет в основном преодолеть эти затруднения. При малом числе оптимизируемых переменных и при узких пределах их изменения отыскание глобального экстремума практически обеспечивает метод сплошного перебора на ЭВМ вариантов путем обхода в определенном порядке узлов многомерной сетки в пространстве независимых переменных и вычисление в каждой точке значений функций ограничений и функционала. При этом отбрасываются те точки, в которых ограничения не выполняются, а среди точек, для которых ограничения справедливы, выбирается точка с наименьшим (или наибольшим) значением функционала. При оптимизации по большому числу параметров применяются методы направленного поиска оптимума градиентные, наискорейшего спуска, покоординатного спуска (Л. 21]. [c.57]

Будем считать С — параметром. Тогда экстремум функции Ф Р, R, L) по двум независимым переменным может быть в точке, где [c.203]

Число условий тина неравенств может быть любым, т.е. меньше или больше числа независимых переменных. Если при решении такой задачи экстремум целевой функции будет находится внутри допустимой области изменения независимых неременных и х = 1,п, ограниченной неравенствами фДм1,м )>0, то в некоторых случаях эту задачу можно решить рассмотренными выше методами поиска без учета ограничений. Вести поиск подобным образом при наличии условий тина равенств обычно невозможно. Если же экстремум целевой функции будет расположен на границе допустимой области, то для его отыскания применяют специальные методы. [c.35]

Исследуемая функция может иметь несколько экстремумов. Если для всех значений независимых переменных выполняется условие Q (мопт) Q и), м е С/, то экстремум в точке Мопт называется глобальным, другие экстремумы называются локальными. [c.37]

Определение частот свободных колебаний балок переменного сечения представляет значительные трудности. Воспользуемся известным методом, который позволяет с достаточной степенью точности найти первую частоту свободных колебаний [5] и заключается в приведении вариационной задачи к задаче на разыскание экстремума функции многих независимых переменных. Такое приведение осуществляется путем отбора из всех возможных допустимых функций, на которых рассматриваются значения функционала, некоторого специального класса функций, зависящих от конечного числа неопределенных параметров для начального момента. Подстановка этих функций в выражение функционала превращает его в функцию этих параметров, экстремум которой может быть найден известными элементарными способами. По Ритцу значения функционала [5] рассматриваются на совокупности линейных выражений ряда [c.56]

МЕТОД РИТЦА. Сущность метода заключается в приведении вариационной задачи к задаче на разыскание экстремума функции многих независимых переменных. Такое приведение осуществляется путем отбора из всех возможных допустимых функций, на которых рассматриваются значения функционала, некоторого специального класса функций, зависящих от конечного числа сначала неопределенных параметров. Подстановка таких функций в выражение функционала превращает его в функцию этих параметров, экстремум которой может быть найден известными элементарными способами. [c.313]

Удобство использования этих параметров состоит в том, что в выражениях типа (25.51) исключаются передаточные отношения, а функция Ny оказывается зависящей только от величин Ri, R3, R, значения которых полностью определяют установочные мощности и, следовательно, размеры машин бесступенчатого привода. Параметры Aj, R3 являются независимыми переменными, изменение которых влечет за собой изменение вида кривых момента машин бесступенчатого привода в функции передаточного отношения, при этом максимуму момента в общем случае может соответствовать любое значение передаточного отношения в пределах [ min maxi-В общем случае максимум момента машины может достигаться при одном из трех значений i шах> э (некоторое значение i, лежащее в заданных пределах, которому соответствует экстремум функции м =/ (Г)). Это положение иллюстрируется на рис, 25,14, где показана качественная картина изменения функций ш = / ( ) и [c.481]

К. Г. Гудерлей и Дж. В. Армитедж предложили ) новый подход к решению вариационных задач газовой динамики, свободный от перечисленных ограничений. Этот подход, идея которого была также независимо высказана Т. К. Сиразетдиновым (1963), состоит в том, что экстремальная задача формулируется для интеграла от давлений, записанного непосредственно по контуру тела, при наличии связей между искомыми функциями в области влияния.контура в виде дифференциальных уравнений, описывающих движение газа. При составлении минимизируемого функционала эти связи учитываются введением соответствующих переменных множителей Лагранжа, так что функционал состоит из суммы интеграла, взятого вдоль искомого контура, и двойного интеграла, взятого по области влияния контура. Необходимые условия экстремума дают краевую задачу для системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с условиями на границе области влияния. [c.180]

В большинстве задач оптимизации критерий оптимальности является функцией нескольких независимых неременных - Q u, Ы2,. .., Ми)- Если он является непрерывной функцией, имеющей непрерывные частные производные первого и второго порядка по всем переменным иг (V = Тй), то необходимым условием экстремума в точке и является равенство нулю в этой точке первых производных но всем переменным, т.е. точки, в которой функция Q(ul, Ы2,. .., Ми) может достигать экстремума, определяются решением системы уравнений [c.16]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...