Конечно-разностные уравнения и закон сохранения

При выводе численного приближения к уравнению переноса очень полезен принцип, состоящий в том, что конечно-разностное уравнение для элемента фазового пространства должно удовлетворять закону сохранения нейтронов в этом элементе. Каждый член в уравнении должен представлять физическую компо енту, входящую в закон сохранения, такую, как поглощение в элементе или ток нейтронов через поверхность. Когда конечно-разностные уравнения составляются с учетом закона сохранения, то они всегда более наглядно интерпретируются и обычно более точны по сравнению со случаем, когда производные просто заменяются конечными разностями. Кроме того, в отсутствие такого принципа возможные конечно-разностные уравнения оказываются настолько многочисленными, что сделать хороший выбор иначе, чем методом проб и ошибок, очень трудно. Именно по этой причине уравнение переноса в разд. 1.3.2 выражено в дивергентной форме. [c.179]

Для криволинейных геометрий, отличных от сферической, также необходимо ввести две угловые переменные. Это справедливо даже для бесконечно длинного цилиндра, в котором поток нейтронов зависит только от одной пространственной переменной г (см. табл. 1.1). Интегрирование по угловым переменным можно проводить в этом случае так же, как в прямоугольной геометрии. Кроме того, необходимо аппроксимировать производные по угловым переменным. Как и для сферической геометрии, конечно-разностные уравнения могут быть основаны на законах сохранения нейтронов. По-прежнему уравнение переноса можно сначала решить в выделенных направлениях, вдоль которых угловые координаты не меняются при прохождении нейтронов через среду полученные результаты можно затем использовать в качестве граничных условий для основной системы уравнений. [c.186]

Точный расчет малых концентраций не имеет важного значения в тех задачах газовой динамики реагирующих сред, где определяются интегральные характеристики. Например, погрешность расчета малых концентраций при определении потерь удельного импульса па химическую неравновесность для течения многокомпонентной смеси в сопле реактивного двигателя пе дает существенной погрешности в результатах исследований. В задачах н<е исследования процессов токсичных компонентов в энергетических установках необходимо с достаточной точностью определять концентрации токсичных веществ. Поэтому становится очевидной необходимость разработки таких итерационных схем решения конечно-разностных уравнений химической кинетики, в которых обеспечивается точное выполнение законов сохранения на каждой итерации и, следовательно, малые концентрации вычисляются с заданной относительной точностью. Напомним, что законы сохранения являются точными интегралами уравнений кинетики. [c.66]

В то же время отметим, что применение итерационной схемы Ньютона для решения конечно-разностных уравнений (3.22) не обеспечивает выполнения законов сохранения на промежуточных итерациях. В работе [8] показано, что выполнение законов сохранения с заданной относительной точностью еще далеко не гарантирует того, что концентрации при этом будут находиться с такой же относительной точностью. Особенно не точно при этом могут находиться концентрации веществ, содержание которых в смеси мало. Но именно к таким веществам относятся, как правило, токсичные компоненты СО, N0 и др. Поэтому, чтобы гарантировать заданную относительную точность расчета всех концентраций (в том числе и токсичных) надо следить за тем, чтобы удовлетворялись в первую очередь те уравнения (3.22), которые соответствуют наименьшим компонентам. Кроме того, в работе [8] отмечено, что сходимость итерационных методов, применяемых для решения [c.109]

Конечно-разностный метод для уравнений движения в дивергентной форме обеспечивает выполнение разностных аналогов интегральных законов сохранения. Контроль работы алгоритма расчетов обеспечивается точностью выполнения законов сохранения массы, энергии и импульса в проекциях на оси координат для объема газа, содержащего всю возмущенную область между поверхностью тела и ударной волной до плоскости г=гш- Для выбранной контрольной поверхности законы сохранения массы, энергии и импульса в проекции на ось 02 запишутся в виде [c.225]

В качестве расчетного метода, сочетающего в себе возможности описания расчетных областей, в том числе и трехмерных, со сложными границами и достаточно простого перехода к конечноразностным уравнениям, можно рассматривать метод контрольных объемов (МКО). Данный метод впервые был предложен в работе [1] и является конечно-разностным методом с использованием кусочно-линейной аппроксимации, в котором конечно-разностные уравнения получаются на основе интегральных законов сохранения для контрольных объемов (КО), определяемых в результате разбивки расчетной области. Применительно к расчету процессов тепло- и массообмена в цилиндре двигателя внутреннего сгорания указанный метод рассматривается в работе [2], где, однако, применяется регулярная сетка для разбивки пространства цилиндра на КО. [c.4]

Преимущества МКО заключаются в том, что он основан на физических законах для макроскопических систем, а не на использовании математического аппарата непрерывных функций, что в конечном итоге позволяет применять конечно-разностные уравнения при произвольной, в том числе и нерегулярной, разбивке расчетной области, характерной для МКЭ. Использование МКО позволяет обеспечить в каждом КО соблюдение интегральных законов сохранения массы, количества движения и энергии. Произвольно взятый КО в рабочем объеме цилиндра характеризуется массой [c.4]

Разностно-интегральные уравнения (11.28) — (11.32) называют законами сохранения для конечных объемов пространства, и опн [c.168]

Конечно-разностная аппроксимация уравнений распространения тепла. Приступим к построению разностной схемы для уравнения энергии и соотношений для потоков теплопроводности и излучения. Для этого предварительно преобразуем тождественно закон сохранения энергии (VI. 1). Используем значения и / из уравнений состояния (VI. 13) и производную от потока поглощаемой энергии из закона Бугера— Ламберта (VI.2). В результате получим [c.172]

Конечно-разностный метод является консервативным, если он обеспечивает выполнение определенных интегральных законов сохранения, справедливых для исходных дифференциаль-иых уравнений. [c.51]

Если традиционные дифференциальные уравнения преобразованы таким образом, что основными искомыми переменными становятся консервативные величины р, ри, pv и Es (величина, которая будет определена ниже), то применение к таким уравнениям консервативных конечно-разностных схем обеспечивает сохранение массы, количества движения и энергии. Соотношения Рэнкина — Гюгонио для прямого скачка ) основаны только на этих законах сохранения и не зависят от деталей внутренней структуры скачка. Отсюда следует, что все устойчивые аппроксимирующие консервативные разностные схемы, примененные [c.317]

Эта схема ) была опубликована Лаксом [1954] в его фундаментальной работе, посвященной консервативным уравнениям. Лаке в первую очередь интересовался законами сохранения и лишь во вторую очередь — конечно-разностными схемами. Для устойчивости расчета одномерного течения невязкого газа по уравнениям (4.66) при помощи схемы с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственным переменным типа [c.362]

Использование уравнений движения в строго консервативной форме позволяет построить консервативные разностные схемы, т. е. такие, для которых выполняются интегральные законы сохранения, справедливые для исходных уравнений. При этом важно, чтобы выполнялись законы сохранения не только полной энергии, но и дополнительные балансы по отдельным видам энергии [7]. Если уравнения движения в дифференциальной форме преобразовать таким образом, что искомыми переменными становятся консервативные величины р, ри р , то применение к этим уравнениям конечно-разностных схем, обладающих свойствами консервативности, обеспечивает в разностной форме сохранение массы, количества движения и энергии. [c.77]

Численное моделирование. Задача о неавтомодельной дифракции ударной волны моделировалась путем решения уравнений Эйлера методом Годунова второго порядка точности. Разностная схема основывалась на интегральной форме законов сохранения и строилась по методу конечных объемов. Граничные условия выбирались в соответствии с геометрией с учетом частичного перекрытия канала и установления преграды на определенном расстоянии от торца трубы. [c.195]

Следует отметить, что для решения на ЦВМ следует использовать именно динамические соотношения. Как было показано выше, при решении на ЦВМ статические соотношения (в данном случае итерационные уравнения) обладают меньшей информацией. Неполную информацию о происходящих в двигателе процессах итерационные представления сообщают и проектировщику. Если удается с помощью физических соображений выделенные переменные связать с основными законами (законом Ньютона, законом сохранения массы, энергии и импульса, законом перераспределения теп- та и энтальпии), то мы получаем возможность аналитически выбрать параметры конечно-разностных уравнений, описывающих динамику ГТД при различных параметрах математической модели, <оторые изменяются в зависимости от эксплуатационных режимов двигателя. Это значительно упрощает выполнение второго этапа Построения математической модели. [c.225]

Отметим, что вычислительные схемы для уравнений Сен-Венана плановой задачи должны обладать, как известно [255], свойствами аппроксимации и сходимости, и, кроме того, как показано в [239] должны удовлетворять условию дивергентности, заключающемуся в том, что законы сохранения, выполняющиеся в исходных уравнениях Сен-Венана (в дивергентной форме), должны выполняться и в конечно-разностных уравнениях, иначе будут накапливаться ошибки при большом времени счета и в зонах больших градиентов или скачков. [c.303]

Еще одним преимуществом использования уравнений в консервативной форме является то, что в этом случае конечно-разностные уравнения можно интерпретировать как интегральные законы сохранения для контрольного объема, равного ячейке разностной сетки, как это обсуждалось в гл. 3 (разд. 3.1.3). При такой интерпретации нет необходимости в каких-либо предположениях о непрерывности функций. Поэтому интегральные формы предпочтительнее, и многие полагают, что все физические законы следует записывать в интегральной форме. Конечно-разностные аналоги уравнений Навье — Стокса в интегральной форме выведены в работах Аллена [1968] и Рубина и Прейзера [1968, 1970]. [c.318]

Конечно-разностное представление дифференциального уравнения Фурье и граничных условий сводит решение задачи теплопроводности к расчету температур в конечном числе точек — узлов сетки (рис. 1.11). Чтобы дискретизованная задача была близка к исходной, необходимо сделать сетку достаточно частой. Поэтому число неизвестных (т. е. значений температур в узлах) оказывается большим, и решение задачи требует использования ЭВМ. Конечно-разностную аппроксимацию уравнения теплопроводности можно получить, записывая закон сохранения энергии для контрольного объема, содержащего внутренний узел К, L (заштрихован на рис. 1.11). [c.31]

При выводе конечно-разностных соотношений наиболее удобной йвляется запись уравнений гидродинамики для идеальной, нетеплопроводной жидкости в виде интегральных законов сохранения массы, количества движения и энергии. В координатной системе, движущейся со скоростью и, они имеют вид [74. [c.86]

В работе Лакса, опубликованной в 1954 г., сама численная схема гораздо менее важна, чем использованная форма дифференциальных уравнений — консервативная форма. Лаке показал, что преобразованием обычных уравнений гидродинамики, в которых зависимыми переменными являются скорость, плотность и температура, можно получить систему уравнений, в которой в качестве зависимых переменных служат количество движения, плотность и удельная внутренняя энергия торможения. Эта новая система уравнений отражает сущность физических законов сохранения и позволяет сохранять интегральные характеристики течения в конечно-разностной схеме. Такая система уравнений широко используется в настоящее время для расчета распространения ударных волн независимо от применяемых конечно-разностных схем, поскольку скорость плоской ударной волны точно рассчитывается любой устойчивой схемой (см. Лонгли [1960] и Гари [1964]). [c.23]

Пути совершенствования методов конечно-разностного интегрирования уравнения эйконала намечены в работе Van Trier and Symes (1991). Для повышения устойчивости вычислений ими предложено использовать конечно-разностную аппроксимацию, учитывающую так называемый закон сохранения при имитации движения вязкой жидкости. Смысл этого приема аналогичен регуляризации по Тихонову в областях резкого (разрывного изменения градиента времени ищется не точное (подчас неустойчивое), а усредненное и потому устойчивое решение путем включения регулируемой вязкости , которая сглаживает разрывы градиента. Выражение закон сохранения пришло из флюидодинамики и описывает поведение поля времен в окрестностях каустик пс аналогии с законом нетурбулентного движения вязкой жидкости в окрестностях стоков. [c.25]

В рамках данного подхода уравнение Больцмана решается конечно-разностным методом на фиксированной пространственно-скоростной сетке. Для вычисления интеграла столкновений применяется проекционный метод [8,9], обеспечивающий строгое вьшолнение законов сохранения массы, импульса и энергии, а также обращение интеграла столкновений в ноль на локально-максвелловской функции распределения. Последнее свойство значительно повышает точность расчета при малых числах Кп. Для вычисления интеграла столкновений применяются многомерные сетки узлов интегрирования, метод Монте-Карло не используется. На каждом временном шаге сначала строится кубатурная сетка, которая затем применяется во всех узлах физического пространства для вычисления интегралов столкновений. В типичных примерах использование одной и той же сетки сокращает время счета почти на два порядка. [c.160]

При решении кинетического уравнения Больцмана конечно-разностными методами важен вопрос будет ли интеграл столкновений после аппроксимации стремиться к интегралу столкновений Больцмана, когда шаг сетки в пространстве скоростей стремится к нулю Основным критерием точности вычислений является вьшолнение законов сохранения. В методе [8] законы сохранения удовлетворяются приближению в пределах ошибки вычисления и используются как мера точности. В методе [11] выполняется закон сохранения массы, в [5] развит метод коррекции промежуточного решения, делающий метод консервативным. В консервативных методах [12-16] используется специальный выбор узлов кубатурной формулы, при котором скорости до и после столкновения принадлежат одной сетке дискретных ординат. Благодаря этому законы сохранения выполняются точно при каждом столкновении. [c.154]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...