Тела Перемещение граничных точек

Воздействие одного тела на другое заменим давлениями, распределенными по некоторой площадке oj с плотностью p(xi,x2). Согласно предположению о малости относительных размеров площадки контакта J вертикальные перемещения граничных точек контактирующих тел будем рассчитывать, при помощи решение задачи Буссинеска, т. е. [c.75]

Если нагрузки, действующие в направлении оси Oxi, распределены на границе полупространства по площадке ш с плотностью ti x, x2), то перемещения граничных точек упругого тела выражаются следующ 1м образом [c.82]

Заметим, что величина Jo равна сближению твердых тел, а величины Si и 2 определяют сдвиг тела относительно Введем еще относительные упругие перемещения граничных точек твердых тел [c.91]

Таким образом, согласно формулам (7.3) - (7.5) относительные упругие перемещения граничных точек твердых тел выражаются в виде [c.91]

Для всех точек ж Е —а,Ь) нормальные перемещения граничных точек цилиндра VI, упругой полуплоскости г 2 и слоя г з (считающиеся положительными для каждого тела) удовлетворяют условию контактирования (5). [c.291]

ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ГРАНИЧНЫХ ТОЧЕК СОПРИКАСАЮЩИХСЯ ТЕЛ [c.382]

Перемещения граничных точек соприкасающихся тел 382, 383, 385— 388 [c.456]

Допустим, что граничные условия на всей поверхности тела заданы в перемещениях. Очевидно, что распределение деформаций и перемещений в упругом теле зависит только от одной упругой постоянной — коэффициента Пуассона. Следовательно, деформированное состояние вязкоупругого тела в любой момент времени t совпадает с деформированным состоянием упругого тела. Если граничные условия во времени остаются постоянными, то и деформированное состояние вязкоупругого тела остается неизменным. Компоненты тензора напряжений меняются во времени. Их значения легко найти из физических соотношений, а графики изменения напряжений во времени оказываются подобными кривым релаксации, которые строятся по результатам испытаний образцов при фиксированных во времени деформациях. Итак, в рассматриваемом случае решается задача о релаксации вязкоупругого тела. [c.352]

При исследовании местных напряжений, возникающих при сжатии упругих тел, используется решение задачи о нахождении напряжений и перемещений в точках упругого полупространства, подверженного действию сосредоточенной силы, приложенной перпендикулярно граничной плоскости (рис. 2.42). Если начало координат поместить в точку приложения сосредоточенной силы, то для данного вида нагрузки можно записать х, у, 0)=0 и у, 0)=0. [c.174]

Когда на часть 5] граничной поверхности тела действуют заданные поверхностные силы (напр., силы контактного взаимодействия), проекции к-рых, отнесённые к единице площади, равны Г , Fy, F,, а для части S2 этой поверхности заданы перемещения её точек <ру, ф , граничные условия имеют вид [c.234]

При решении статических задач задаются форма и размеры тела, его положение в пространстве, постоянные упругости, плотность, массовые силы. Задаются либо кинематические граничные условия (перемещение каждой точки поверхности тела), либо статические граничные условия (поверхностные напряжения в каждой точке поверхности тела), либо смешанные граничные условия (на части поверхности тела задаются перемещения, а на остальной части поверхности — напряжения). [c.186]

Л ) = 3/<Ге N) rxi N), N S силами [181. В однородном теле с постоянными и теплофизическими и механическими характеристиками материала при отсутствии объемных источников тепла, объемных и поверхностных распределенных и сосредоточенных нагрузок, а также связей, ограничивающих перемещения поверхностных точек тела, напряжения не возникают, если процесс теплопроводности установившийся, т. е. Т,ц М) =0, и распределение температуры линейно зависит от прямоугольных декартовых координат [5]. Аналитическое решение пространственной задачи термоупругости затруднительно для тел сложной формы при произвольных граничных условиях и функциях (М) и (М). Среди численных методов решения рассмотрим МКЭ и МГЭ. [c.248]

Если поверхность рассматриваемого тела содержит участки S ", лежащие в плоскостях симметрии или примыкающие к жесткой преграде, запрещающей перемещения поверхностных точек в направлении нормали к 5 ", но не накладывающей связей в тангенциальных направлениях, то в (6.50) по аналогии с плоской задачей (см. 6.2) необходимо включить дополнительные соотношения для граничных узлов S ". После решения (6.50) во всех граничных узлах будут известны значения Ui)m и р,)т, = 1, 2, 3, m = = 1,2,..., Ns- Это позволяет из (1. 107) найти компоненты перемещений % (Мо), k = 1, 2, 3 в любой внутренней точке Mq V, т. е. [c.255]

В результате деформации граничные точки упругого полупространства получают вертикальное перемещение w xi,x2) = из х1,х2,0), определяемое формулой (2.4). При этом упругим телом запасается потенциальная энергия деформации, равная [c.30]

Таким образом, граничные точки упругого полубесконечного тела, сцепленные с подошвой штампа с номером j, т. е. при 13 = О и (xi,x2) в предположении, что система штампов получает жесткое перемещение v(x) = (S + /3 X X, приобретает следующее перемещение [c.147]

Согласно рассмотренным краевым условиям, на части границы области Q номинально, т.е. без учета ее сопротивления внешней наг ° грузке, заданы перемещения u°(r Su) в соответствии с выбранной программой деформирования. На другом участке поверхности также номинально, в данном случае без учета деформации тела П и, соответственно, перемещений его граничных точек, заданы внешние усилия 5f(r 5) определяемые выбранной программой нагружения., [c.118]

Приращение работы внешних сил связано с перемещениями < и точек границы деформируемого тела, обусловленными уменьшением его жесткости в процессе разрушения. Выражение для вычисления par боты внешних сил на основе рассмотренных в шестой главе граничных условий контактного типа можно представить в виде [c.206]

Смешанные условия в точках поверхности тела часть граничных условий формулируется в перемещениях, а часть - в напряжениях. К условиям смешанного типа относятся условия упругого сопряжения (контакта) тел из одного или из различных материалов. Условия контакта формулируются в перемещениях (компонентах деформации) и напряжениях. [c.33]

Лля решения задач теории упругости метод блоков был предложен в [30] и основан на построении матрицы влияния, которая позволяет по значениям в выбранных граничных точках поверхностных сил, действующих на упругое тело, найти перемещения в этих же точках. Зная такую матрицу для некоторой области (элемента), можно легко решать задачи для сложных областей, составленных из таких элементов. [c.309]

Если тело находится в условиях плоской деформации, т. е. вектор перемещения его точек параллелен плоскости (хь Хг) и не зависит от Xz, то в случае установившихся движений решение задачи находится из решения уравнений (1.12). Следовательно, для этой задачи имеем два волновых уравнения. На краях полостей необходимо задавать два граничных условия. Поступая далее так же, как и в 2 третьей главы, после удовлетворения граничным условиям приходим к бесконечной системе [c.149]

При формулы (1.13) и (1.15) ((1.14) и (1.18)) дают представление полей перемещений и напряжений внутри тела через граничные интегралы, определяемые плотностями распределения граничных перемещений и поверхностных сил на Г, и через объемный интеграл, определяемый распределением заданных объемных сил в Q. Ядра этих интегралов выражаются с помощью формул (1.12), (1.16) и (1.17) через матрицу фундаментальных решений. Тем самым, если известна матрица фундаментальных решений, то основные краевые задачи упругой статики сводятся к нахождению в каждой точке границы неизвестных перемещений или поверхностных сил. Таким образом, понижается на единицу размерность исходной задачи. [c.32]

Если по всей поверхности тела заданы усилия, то константы интегрирования определяются из граничных условий типа (1.23). Но если заданы перемещения точек поверхности, то сформулировать граничные условия в напряжениях в общем виде невозможно. Иногда, например, в плоской задаче теории упругости, это удается сделать. [c.36]

Пусть тело находится в равновесии под действием заданных сил и перемещений. Сообщим точкам тела бесконечно малые смещения Ьи, Ь о, бш, совместимые с граничными условиями (кинематически возможные смещения). [c.256]

Справедлива и обратная теорема, гласящая, что если потенциальная энергия достигает абсолютного минимума для некоторого поля перемещений, удовлетворяющего граничным условиям в перемещениях, то это поле должно удовлетворять уравнениям равновесия внутри тела и граничным условиям в [c.75]

Формулы (11) и (12) позволяют определить перемещения щ в точке У в зависимости от распределения температуры 0 внутри тела и граничных условий на поверхности А. [c.728]

Уравнения (1.142) являются статическими граничными условиями. Если на какой-то части поверхности тела заданы перемещения, то такие граничные условия называются кинематическими, а если для граничных точек тела в какой-то момент времени заданы, например, скорости или ускорения, то граничные условия называются динамическими. [c.64]

Если полагать, что трение и сцепление между сжимаемыми телами отсутствуют, то тогда на участке контакта каждое из этих тел будет испытывать только нормальное давление р (х, t). Но обычно область контакта бывает мала по сравнению с размерами сжимаемых тел поэтому можно считать, что перемещения на участке контакта сжимаемых тел будут такими же, как у граничных точек двух полуплоскостей (верхней и нижней), находящихся под действием того же нормального давления р (х, f), что и рассматриваемые сжимаемые тела. [c.194]

Главная трудность задачи интегрирования, заключающаяся в нахождении решений, удовлетворяющих на поверхности тела определенным граничным условиям, отпадает в случае бесконечно протяженного тела, на которое действуют только массовые силы. Сперва примем, что на тело действует только единичная сила, в точке приложения которой выберем начало координат, направив ось X по линии действия силы. Действие этой единичной силы мы представляем себе так в области начала координат вырезан чрезвычайно малый ( бесконечно малый")-шар, на поверхности которого распределены силы, равнодействующая которых равна заданной силе сообразно этому будем искать частное решение, удовлетворяющее повсюду, кроме нулевой точки, основным ур-ниям (1) 31 (надо иметь в виду, что за исключением левой точки к телу нигде других сил не приложено) и имеющее в нулевой точке особенности, соответствующие данной силе. Чтобы решение было однозначным, нужно еще поставить условие, чтобы перемещения н их производные превращались в нуль на бесконечности. Для отыскания част- [c.84]

Согласно предположению о малости относительных размеров площадки контакта ш перемещение граничных точек упругих тел в окрестности зоны контакта будем расчитывать, используя решения задач Бус-синеска и Черрути, по формулам [c.88]

Такой же вид имеют граничные условия, если устройство нагружающей системы таково, что изменение прикладываемого внеошего усилия в любой точке границы определяется только вызванным деформацией тела перемещением указанной точки и не зависит (или почти не зависит) от перемещений всех других точек границы. В этом случае жесткость и податливость нагружающей системы определяются следующим образом [c.119]

Соотношение (1.46), связывающее перемещение граничных точек контактируюпщх тел vi(t) и V2(i), получено в предположении, что при сжатии эти тела совершают только поступательные перемещения 5i(i) и 62 t) в направлении оси у и что между ними происходит при этом сближение, равное 6(t) = ii( ) + 2(0 [c.238]

Например, для упругого тела перемещения его точек определяются как функции координат путем решения линейных уравнений в области недеформированного состояния с линеаризованными граничньпли условиями на недеформированной границе по найденным перемещениям можно вычислить малые деформации, а также в первом приближении определить вид деформированной границы. Например, рассматривая, в частности, задачу о малых деформациях упругого бруса с заделанным нижним основанием под действием распределенных сил, граничные условия можно писать на недеформированной поверхности So бруса (рис. 43). [c.348]

Капиллярные яаления. Потенциал капиллярных сил. Главный радиус кривизна, и Линии кривизны. Увеличение поверхности при бесконечно малых перемещениях ее точек. Дифференциальные уравнения поверхности соприкасания двух тя.же.гых жидкостей. Граничные условия. Величина силы, удерживающей в равновесии тело, способное двигаться только в одном направлении и соприкасающееся и двумя жидкостями. Примеры такой силы) [c.118]

Таким образом, при больших перемещениях необходимо учитывать изменение координат точек тела, а граничные условия удовлетворять на текущей поверхности тела. В относительно простых частньк случаях решение может быть получено в аналитическом виде. Для решения геометрически нелинейных задач необходимо использовать численные методы, например, МКЭ [33]. [c.125]

Если тело не ограничено, то должны еще быть заданы условия на бесконечности. Итак, изотермическая задача МДТТ заключается в решении трех уравнений (6.3) с граничными условиями (6.4) или (6.5) и начальными данными (6.6). В этом и состоит постановка динамической задачи МДТТ в перемещениях. Сюда, разумеется, следует добавить требование гладкости разыскиваемого решения, границы и входных данных pF,-, 5f, Ui и V<. [c.45]

В качестве фиктивных нагрузок , как отмечалось выше, можно выбирать не только сосредоточенные силы, но и другие силовые особенности. Например, в [39] при рассмотрении задач о тонких включениях и трещинах используются наряду с сосредоточенными силами особен ности типа диполя. Описанный способ приводит, вообще говоря, к сингулярным ИУ. Метод особенностей позволяет получить и регулярные ИУ. Для этого можно поступить следующим образом. Рассмотрим со вокупность плоскостей, касающихся данного тела. Пусть Лм — та из них, которая касается тела в произвольной точке М. Поместим в точке М сосредоточенную силу Рм и вычислим напряжения и (или) смещения, возникающие при этом на месте границы 5 тела в полупространстве, ограниченном плоскостью Лл -. Проделав аналогичные вычисления при перемещении точки М по поверхности S и просуммировав вклады, соответствующие различным положениям касательной плоскости, придем, используя граничные условия, к регулярным ИУ по границе S тела относительно распределения сосредоточенных сил. Описанный прием применительно к задачам теории упругости предложен в [36]. Там же показано, что в двумерном случае возникают регулярные ИУ, эквивалентные ИУ Лаурйчеллы — Шермана [41], Подобный способ применяется при сведении к регулярным ИУ краевых задач для систем эллиптических дифференциальных уравнений общего вида и называется обычно методом полуплоскостей или методом замораживания. [c.191]

Решение трехмерной контактной задачи о вдавливании в пьезоэлектрическое полупространство плоского эллиптического штампа рассмотрено в работе [36] при условии, что вне области, занятой штампом, механические нагрузки отсутствуют, в области основания эллиптического штампа касательные напряжения нулевые, а нормальное напряжение неизвестно и должно быть определено при решении задачи. При таких условиях равновесие штампа возможно только при действии на него сжимаю-ш,ей силы и моментов, равнодействующие которых определяются из условий равновесия штампа. Краевое усилие для перемещения т точек площадки штампа определяется через перемещение штампа как жесткого тела и принимается в виде ш б-сОуХ+и у, где 6 поступательное, аш ,иу —вращательные движения штампа. При формулировке граничных условий для электрических полей рассмотрены два варианта их задания [c.596]

Пусть теперь при сжатии эти тела, кроме поступательных перемещений Si t) и 52 t) вдоль оси у, совершают еще повороты относительно начала координат соответственно на углы ai( ) и a2 t), положительным направлением которых будем считать направление против часовой стрелки. Тогда меИйду граничными точками контактирующих тел, имеюпшми абсциссу ж, произойдет дополнительное сближение, равное ao(i)i , где (Xo(t) = ai( )+a2(i)- Чтобы получить для этого случая условие, которому должны удовлетворять перемещения точек контакта тел vi t) и V2(t), надо в соотношении (1.46) заменить i(i) на 5q( ) 4- OLo t)x. Будем иметь [c.238]

Очевидно, что неразрушающие механические испытания могут быть только контактными с применением гладких штампов, поскольку наличие острых кромок неизбежно приведет к появлению необратимых деформаций и, возможно, разрушению. Если по постановке задачи необходимо контролировать (задавать) перемещения, то жесткость штампа должна намного превышать жесткость исследуемого тела. Следовательно, математические модели механических неразрушающих испытаний приводят к контактным задачам с жестким индентором (штампом) с неизвестной заранее областью контакта и неизвестными усилиями контактного взаимодействия. Эти модели, помимо обычных дифференциальных уравнений равновесия (или движения) в области, занимаемой деформируемым телом, и граничных условий в виде равенств, содержат условия в форме неравенств. Неравенства, которым подчиняются искомые функции, отражают требование непроникания граничных точек одного тела внутрь другого, а также условие неположительности нормального давления — отсутствия растягивающих усилий в области контакта. Следовательно, задача идентификации в указанной выше постановке в общем случае сводится к минимизации функции цели при ограничениях в форме неравенств. [c.477]

Если тело не ограничено, то следует постулировать, что составляющие массовых сил (grado, rot/) занимают ограниченную область. Только в этом случае напряжения и деформации на бесконечности будут обращаться в нуль. Граничные условия отпадают в полном смысле этого слова, и частные решения уравнений (5) и (6) являются окончательными решениями задачи. Зная функции Ф, ф, определим перемещение и из соотношения (3). Заметим еще, что в неограниченном упругом пространстве волны обоих типов распространяются независимо друг от друга. [c.561]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...