Плоское напряженное состояние уравнения равновесия

Для плоского напряженного состояния уравнения равновесия в полярных координатах имеют вид [c.12]

При плоском напряженном состоянии уравнения теории упругости имеют тот же вид, что и при плоской деформации, лишь в уравнения обобщенного закона Гука входят другие коэффициенты. Вследствие этого уравнения равновесия в перемещениях (в декартовой системе координат) будут иметь вид (1.6.9) при следующих значениях коэффициентов [c.72]

ДЛЯ ПЛОСКОГО напряженного и плоского деформированного состояний. Уравнения равновесия в комплексной форме будут иметь вид [c.207]

Ниже в полярных координатах приводятся уравнения равновесия и соотношения, связывающие деформации и перемещения при плоском напряженном состоянии. Уравнения состояния идентичны соотношениям, записанным в прямо- [c.123]

Таким образом, на простейшем примере показано, что в теории плоского напряженного состояния пластическое равновесие может описываться как гиперболическими, так и эллиптическими уравнениями. [c.377]

Рассмотрим теперь постановку плоских задач в напряжениях. Для определенности рассмотрим случай плоской деформации случай обобщенного плоского напряженного состояния исследуется совершенно аналогично. Соответствующая краевая задача содержит уравнения равновесия (2.67), граничные условия (2.70) и условия сов.местности Сен-Венана (2.61), которые с учетом выражения для [c.59]

Таким образом, из изложенного следует, что уравнения равновесия, уравнения совместности деформаций в напряжениях для плоской деформации и обобщенного плоского напряженного состояния совпадают между собой (в последнем случае понимаются усредненные значения напряжений). Такую же структуру (отличающуюся лишь постоянными) имеют и соотношения, связывающие деформации и напряжения. Следовательно, эти задачи в математическом отношении аналогичны друг другу. [c.277]

Таким образом, решение задачи для физически нелинейной упругой среды сводится к решению уравнений равновесия (4.4) гл. III и уравнений совместности деформаций (4.6) гл. III с учетом соотношений (4). Очевидно, что рассмотрение задач плоской деформации и плоского напряженного состояния (как и для линейной среды) можно проводить единым образом, поскольку различие сказывается лишь на значениях постоянных. [c.668]

При этих предположениях основные уравнения плоской деформации дифференциальные уравнения равновесия (5.2), условия на поверхности (5.3), формулы Коши (5.4) и уравнение сплошности (5.5) сохранят такой же вид и в задаче об обобщенном плоском напряженном состоянии, а формулы закона Гука (4.5) примут следующий вид [c.54]

Прямоугольная пластина, подверженная действию сил в ее плоскости, находится в плоском напряженном состоянии. При этом в пластине имеются в общем случае внутренние усилия Nj , N у и Л/д,,, а нормальное перемещение w равно нулю. Предположим, что при некотором сочетании значений внутренних усилий наряду с плоской формой равновесия становится возможной сколь угодно близкая к ней искривленная форма равновесия. При этом уравнение равновесия (16.63) в направлении нормали к срединной плоскости примет вид [c.414]

Соотношения Коши (19.2), уравнения равновесия (19.3) и условия совместности деформаций (19.4) для плоского напряженного состояния сохраняют свой вид таким же, как и в случае плоской деформации. [c.443]

Используя зависимость между напряжениями и деформациями и уравнения (а) из 15 вместе с уравнениями равновесия (18), показать, что при отсутствии объемных сил в задачах о плоском напряженном состоянии перемещения должны удовлетворять уравнениям [c.52]

Как записываются уравнения равновесия в случае обобщенного плоского напряженного состояния [c.86]

Выделим из напряженного тела в окрестности точки, испытывающей плоское напряженное состояние, элементарную призму (рис. 5.7, г). Нормаль v к площадке аЬ составляет с осью х угол а. Уравнения равновесия этой призмы легко получаются из уравнений равновесия тетраэдра (5.4) если учесть, что в рассматриваемом случае [c.393]

Основные уравнения обобщенного плоского напряженного состояния. Дифференциальные уравнения равновесия и условия равновесия на поверхности— те же, что и в случае плоской деформации, т. е. (9.87) и (9.88). Из шести соотношений Коши сохраним лишь интересующие нас три уравнения (9.89). Три других нас не интересуют, так как величины е , Уг/г и у х не рассматриваются. [c.661]

Численное или графическое интегрирование уравнений равновесия в декартовых координатах. Этот метод основан на интегрировании дифференциальных уравнений равновесия [1], которые для случая плоского напряженного состояния при отсутствии объемных сил записываются в виде [c.208]

Уравнения равновесия в полярных координатах для плоского напряженного состояния записываются в виде [c.423]

Уравнения теории упругости неоднородного тела в перемещениях с учетом температурного поля применительно к условиям плоской деформации получаются из (4.6), при W — 0. При плоском напряженном состоянии их можно вывести обычным методом с использованием уравнений равновесия (4.1) и закона Гука (4,4). [c.134]

Решение плоской задачи в напряжениях сводится к отысканию трех неизвестных функций Од, (j , у), (л, у) и т i/)- Д-чя этого имеются два дифференциальных уравнения равновесия (6,2). К ним следует добавить уравнение неразрывности деформаций (6,5), заменив в нем деформации на напряжения посредством формул закона Гука (6.8) для обобщенного плоского напряженного состояния. После упрощения ПОЛ ЧИ.М [c.60]

Покажем, что при постоянных объемных нагрузках X = pg и F — PSv решение задачи о плоском деформированном состоянии в напряжениях сводится к решению того же бигармонического уравнения (2.8), к которому была сведена задача о плоском напряженном состоянии. Действительно, уравнения равновесия и зависимости, связывающие компоненты деформаций Р у, Уху с перемещениями и и v, в этих двух задачах полностью совпадают различие между ними заключается только в зависимостях закона Гука, связывающих компоненты деформаций с компонентами напряжений. Преобразуем формулы (2.11) и (2.12), введя новые обозначения [c.39]

При плоском напряженном состоянии с осевой симметрией окружное Оф и радиальное щ напряжения связаны уравнением сг + о ф — <5 гО ф = о2(г). Если добавить к этому уравнению дифференциальное уравнение равновесия, то получаем замкнутую систему двух уравнений с двумя неизвестными, которую легко решить методом конечных разностей. [c.89]

Уравнения равновесия для плоского напряженного состояния в перемещениях имеют вид [24] [c.26]

В задаче о плоском напряженном состоянии, для которого уравнения равновесия имеют вид [c.29]

Рассмотрим плоское напряженное состояние пластины, расположенной в плоскости X, у. Уравнения равновесия элемента срединной плоскости пластины имеют вид [c.128]

Традиционная теория упругости для плоского напряженного состояния. Как можно легко проверить, уравнения равновесия (3.14а), не содержащие членов с объемными силами, будут удовлетворяться, если принять что [c.149]

Следовательно, в случае плоского напряженного состояния тензор напряжений имеет три независимые компоненты Оуу, ух = ху А уравнения равновесия (2.2.4) дают для этих трех неизвестных два уравнения. [c.19]

Уравнения равновесия, граничные условия и кинематические соотношения для плоского напряженного состояния записываются так же, как и для плоской деформации. Поэтому и комплексное представление этих соотношений будет тем же — это формулы (VI.32), (VI.33), (VI.35) соответственно (по-прежнему используется обозначение w = щ - - iu2 для комплексного представления вектора перемещений, хотя в данном случае г з 7 0). [c.252]

В данной книге метод сингулярных интегральных уравнений применяется при решении плоских задач математической теории трещин, т. е, задач об упругом равновесии тонких пластин с трещинами при плоском напряженном состоянии или цилиндрических тел с туннельными разрезами, находящихся в условиях плоской деформации. Конструктивные элементы таких тел часто используются в технике. [c.3]

Во всех уравнениях равновесия для плоского напряженного состояния при листовой штамповке имеются два неизвестных напряжения 0р и Og. Для нахождения их необходимо иметь второе уравнение, которое восполняется условием пластичности. [c.109]

Как известно, уравнения плоской задачи теории упругости применяются к двум случаям равновесия упругого тела, а именно к случаю плоской деформации и к случаю плоского напряженного состояния, которое может иметь место при деформации тонкой пластинки силами, приложенными к ограничивающему ее контуру и действующими в ее плоскости [13]. [c.8]

Рассмотрим обобщенное плоское напряженное состояние ортотропной пластинки, главные линии анизотропии которой коллинеарны осям координат. Решение краевых задач для такой пластинки может быть сведено к интегрированию уравнений равновесия плоской ортотропной среды в [c.55]

Подставляя (4.2.15) в уравнения (4.2.13) и заменяя величины Е1, VI, ап величинами Е, V, а -, получаем уравнения равновесия в перемещениях для плоского напряженного состояния. [c.96]

Первое из них вытекает из равенства (30.15), если в нем положить 0 = О, второе же является уравнением равновесия. Заметим, что плоское напряженное состояние диска можно определить из этих двух уравнений, не прибегая к рассмотрению пластических деформаций. Уравнение (33.1) в переменных и представляет эллипс пластичности, в котором большая и малая полуоси равны il о и ]/2/3 о ,, а главные оси делят прямой угол между осями о и пополам. Поэтому здесь вновь удобно ввести в рассмотрение два переменных напряжения о и о и вспомогательную переменную — угол 0, положив [c.530]

При исследовании общего случая пластического плоского напряженного состояния В. В. Соколовский 2) обнаружил, что уравнения равновесия (37,1) вместе с уравнением (37.70а) можно преобразовать подобно тому, как были преобразованы соответствующие уравнения для плоского деформированного состояния в п. 7 настоящей главы. Он нашел, что при плоском напряженном состоянии могут встретиться такие случаи, когда в различных областях одного и того же диска дифференциальные уравнения принадлежат к гиперболическому и эллиптическому типам, в результате чего действительные характеристики будут существовать только в зонах, соответствующих первому типу уравнений ). [c.627]

Две его статьи в ДАН СССР, 51, A-o 3, стр. 975, 175—178 № 6 (1946), 421—424 см. также Уравнения пластического равновесия при плоском напряженном состоянии, Прикл. матем. и мех., 9 (1945), 111—128. [c.627]

Таким образом, при замене компонент тензора напряжений а,] их средними значениями сг , отличными от нуля и независимыми от ж будут только три компоненты otj i — 1,2 / = 1, 2), т. е. при осред нении компонент тензора напряжений рассматриваемая пластина при" ближенно будет находиться в плоском напряженном состоянии, которое принято называть обобщенным плоским напряженным состоянием-Поскольку Озз = = О, уравнения равновесия при ис- [c.230]

Итак, на этом этапе имеем десять неиэвестных (два перемещения, четыре деформации и четыре напряжения) и девять уравнений (четыре физических соотношения, два уравнения равновесия и три геометрических соотношения, связывающие деформации с перемещениями), т. е. одно лишнее неизвестное. Учитывая аналогию в записи разрешающих уравнений для плоского напряженного состояния и плоской деформации, естественно предположить, что [c.47]

Общие уравнения равновесия (1.32) в случае плоского напряженного состояния сводятся к двум уравнениям (1.33), где X и F в данном случае — объемные нагрузки, равномерно распределенные по координате г (объемная нагрузка Z = 0). Все входящие в уравнения (1.33) величины постоянны по координате г, поэтому толщ,ина h олоя, в котором [c.34]

Приближенное общее решёние для плоского напряженного состояния. Для исследования напряжений в балке прямоугольного поперейого сечения, которая нагружена по верхней и нижней, поверхностям или торцам, но имеет свободные от нагрузок боковые поверз ности или грани, необходимо получить решение для плоского напряженного состояния, а большинство представляющих интерес случаев не охва[тывается точными решениями (3.12а) — (3.12в). Для того чтобы получить п риближе нное (но более, точное, чем в рамках классической теории балок) общее решение для плоского напряженного состояния, начнем с предположения, что Oz = Oxz Oyz = 0. Тогда при равных нулю объемных силах в направлении оси z третье уравнение равновесия системы [c.147]

Компоненты напряжений плоского напряженного состояния при отсутствии объемных сил удовлетворяют двум дифференщ1альным уравнениям равновесия [c.82]

Упругое равновесие твердых тел описывается уравнениями плоской задачи теории упругости в случае плоской деформации цилии-дрических тел постоянного поперечного сечения, когда на тело действуют внешние силы, нормальные к его оси и одинаковые для всех поперечных сечений указанного тела, либо в случае обобщенного плоского напряженного состояния, т. е. при деформации тонкой пластины силами, действующими в ее плоскости. При этом для определения напряженно-деформированного состояния в произвольной точке деформируемого упругого изотропного тела необходимо найти три компоненты тензора напряжений —Оу, х у (рис. 1) и две составляющие вектора перемещений — и, v. Если система декартовых координат выбрана так, что плоскость xOi/ совпадает или с поперечным сечением стержня, или со срединной плоскостью пластины, указанные компоненты в условиях плоской задачи теории упругости являются функциями двух переменных (х и i/). [c.7]

Локальные поля в окрестности клиновидного надреза/трещины. Решение Уильямса. Приведем классическое ре-гиение двумерной задачи теории упругости методом разложения в степенные ряды [64]. Рассмотрим задачу о пластине, ограниченной двумя пересекающимися плоскими гранями, так что исследуемая область представляет собой бесконечный двугранный угол 2а (рис. 2.3). Пластина находится в условиях плоского напряженного состояния или плоской деформации. При отсутствии объемных внегиних сил уравнения равновесия тождественно удовлетворяются с помощью со-отногиений [c.85]

В первой части курса излагается общ ая теория напряженного и деформированного состояния. Выводятся дифференциальные уравнения равновесия в напряжениях и перемещениях для трехмерной изотропной среды. Принцип возможных перемещений применяется для изотропного зшру-гого тела. При помощи методов, применяемых в курсе сопротивления материалов, исследуются растяжение, кручение и изгиб стержней. Как частный случай общей теории приводятся общие соотношения для плоской деформации и плоского напряженного состояния. Дано решение дифференциальных уравнений плоской задачи в целых полиномах, а также в гиперболотригонометрических функциях применительно к изгибу тонкой полосы. Разбирается случай полярных координат. Описано применение энергетического метода к плоской задаче. [c.5]

Рэнкиновское распределение напряжений в сыпучем грунте, находящемся под действием собственного веса. Рассмотрим теперь в качестве одного из простейших примеров неоднородного плоского напряженного состояния распределение давления в сыпучем грунте, нагруженном собственным весом и заполняющем область больших размеров, ограниченную горизонтальной или наклоненной под малым углом o плоскостью. Распределение напряжений под свободной плоской поверхностью, наклоненной под малым углом, было рассмотрено Рэнкином ) еще в 1856 г. Здесь поверхности скольжения являются двумя семействами параллельных плоскостей, которые на плоскости X, у представляются в виде их следов — двух семейств параллельных прямых скольжения (начало координат плоскости д , у расположено на плоской свободной поверхности, ось л направлена горизонтально, ось у—вертикально вниз). Поскольку в этом случае угол а (направление наибольшего главного давления ai) не зависит от х и у, мы можем положить в уравнениях (15.11) a = onst. После подстановки выражений для Ох, Оу и Тху в два уравнения равновесия [c.538]

Ж- Добавление. Довольно близкие соображения привели проф. Яки из Технического института в Будапеште ) к установлению ортогональных семейств линий скольжения для тех тел, которые он назвал типами вполне пластичного грунта Он отождествляет их с идеально пластичным телом, в котором течение происходит при постоянном значении максимального касательного напряжения Ттах= = onst, но с учетом силы тяжести у в уравнениях равновесия. Он определил форму изобар и кривых скольжения для полубесконечного тела и для плоского напряженного состояния клина О ф Р, прямолинейные края которого нагружены заданными значениями тангенциальных нормальных напряжений Ot=f] r) при ф=0 и at=h r) при ф=р и равномерно распределенными касательными напряжениями Tri= onst. Он сообщил также о том, что найдено поле скольжения, в котором одно из семейств линий скольжения состоит из множества неконцентрических окружностей. Среди исследованных им случаев — картина линий скольжения вокруг туннеля кругового сечения с горизонтальной осью, пробуренного на определенной глубине под горизонтальной поверхностью тяжелого пластичного грунта в предположении, что на стенках цилиндрического отверстия действует давление, возрастающее пропорционально глубине у. [c.580]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...