Гармоническое колебание его полная энергия

При гармонических колебаниях полная энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды смещений или амплитуды скоростей. [c.596]

Добротность осциллятора. Правильность полученного результата вызывает некоторое сомнение. Дело в том, что в основе нашей модели излучения лежит тот факт, что колебание осциллятора является незатухающим, происходящим по закону косинуса с постоянной амплитудой. Так как при этом осциллятор непрерывно излучал бы энергию согласно формуле (2.40), то принятая модель гармонического осциллятора не может быть верной, если потеря энергии за счет излучения при большом числе колебаний не составляет ничтожную часть средней энергии осциллятора. С целью выяснения, имеет ли это место в данном случае, определим полную энергию осциллятора [c.33]

Итак, результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты зависит от соотношения между их фазами. При сложении большого числа N колебаний одинаковой частоты с произвольными фазами результат будет, конечно, зависеть от закона распределения фаз. Предполагая для простоты, что все колебания имеют одинаковые амплитуды, равные а, найдем, что результирующая интенсивность может заключаться между и нулем. Как показал Рэлей ), при распределении фаз, которые подвергаются вполне случайным изменениям, средняя энергия суммы таких колебаний за время, охватывающее достаточно большое число изменений фаз, равна т. е. в данном общем случае имеет место сложение интенсивностей. Этот вывод имеет самое непосредственное отношение к реальным источникам света. Результирующее колебание от отдельных испускающих центров (атомов), составляющих источник, создает освещенность, величина которой в данный момент и в дайной точке зависит от соотношения фаз между колебаниями отдельных центров. Но наш глаз воспринимает лишь среднюю освещенность за некоторый достаточный для восприятия интервал времени и на некоторой достаточной по величине освещенной площадке. Это обстоятельство приводит к полному усреднению фазовых соотношений, в результате чего воспринимаемая освещенность окажется просто суммой освещенностей, создаваемых каждым светящимся центром нашего источника. Поэтому мы вправе сказать, что две одинаковые свечи дают освещенность вдвое большую, чем одна. [c.65]

Полная энергия колебаний кристалла равна сумме энергий колебаний ЗгМ не взаимодействующих между собой гармонических осцилляторов. Снова, как и в одномерном случае, легко провести квантово-механическое обобщение, тогда каждому осциллятору, колеблющемуся с частотой со (к, s), нужно приписать энергию [c.161]

Так как каждый осциллятор в случае гармонического приближения колеблется независимо от других, то полная энергия колебаний кристалла (тепловая энергия), в общем случае при температуре Т, равна сумме энергий ЪгЫ не взаимодействующих между собой гармонических осцилляторов [отдельных мод колебаний, формула (5.71)] [c.169]

Но энергия, которой обладает колеблющаяся гантель, конечно, не исчерпывается только энергией ее поступательного движения. Как мы видели ( 137), при гармонических колебаниях происходит переход потенциальной энергии в кинетическую, так что с колебаниями в системе связано определенное количество энергии. Эту энергию мы должны учесть, подсчитывая полную энергию колеблющейся гантели. Проще всего ее подсчитать для того момента, когда скорость колебаний достигает наибольшего значения. Так как в этот момент скорость каждого шара гантели равна v l2, то кинетическая энергия обоих шаров в этот момент равна [c.646]

Третьей легко обнаруживаемой особенностью демпфированных гармонических колебаний является конечность значения энергии, которая затрачивается в каждом цикле для поддержания движения. Если действующая на конструкцию сила описывается функцией f (t)= F sin (i)t, то динамические перемещения будут представляться выражением ш( ) = + е). При полном отсутствии демпфирования величина е изменяется при переходе через резонанс от 0° до 180° скачкообразно (рис. 2.2). Когда в конструкции имеется демпфирование, то независимо от физической природы его механизма величина е будет отклоняться (порою значительно) от этих величин. Работа, выполняемая за один цикл колебаний, равна [c.64]

При гармонических колебаниях средняя кинетическая энергия равна средней потенциальной энергии. Отсюда для средней полной энергии имеем [c.206]

Найдем выражение для полной энергии (кинетическая плюс потенциальная) каждого маятника. Будем считать амплитуду Л од(/) практически постоянной в течение одного цикла быстрых колебаний и пренебрежем энергией, передаваемой пружиной маятнику. (Если пружина очень слабая, в ней никогда не будет запасено значительное количество энергии.) Мы считаем, что в течение одного цикла быстрых колебаний маятник а — гармонический осциллятор с частотой (о р и постоянной амплитудой Л од. Кинетическая энергия маятника а будет равна [c.48]

Максимумы для плотности электрической энергии н плотности магнитной энергии сдвинуты во времени на V4 периода и в пространстве па V4 длины волны. Покажите сами (задача 7.36), что в любой области длиной полная энергия постоянна. Энергия электрического поля совершает гармонические колебания относительно среднего значения с частотой 2м, достигая предельных значений — пуля и двойного среднего значения. То же происходит с энергией магнитного поля. Таким образом, энергия колеблется от чисто электрической, имеющей максимум плотности з одном месте, до чисто магнитной с максимумом плотности энергии, смещенным на Это напоминает поведение гармонического осциллятора (колебательного контура). Полная энергия осциллятора постоянна, но колеблется, переходя из чисто потенциальной энергии в одном положении массы в чисто кинетическую энергию в другом положении массы. Как потенциальная, так и кинетическая энергии гармонически колеблются относительно их среднего значения с частотой 2со. Двойка появляется потому, что потенциальная энергия дважды (за период) положительна и дважды достигает максимального зна-че[П1Я (то же справедливо и для кинетической энергии). Электрическое поле Ех в стоячей волне аналогично смещению массы гармонического осциллятора от положения равновесия, в то время как магнитное поле Ву аналогично скорости этой массы. [c.324]

При вычислении спектра колебаний системы N атомов мы ввели ЗМ независимых гармонических осцилляторов, соответствующих ЗN модам колебаний системы. При конечных значениях температуры эти моды возбуждаются термически и полная энергия колебаний совпадает с тепловой энергией. Если система подчиняется классическим законам, то следует ожидать, что на каждую степень свободы приходится в среднем энергия КТ. Поэтому теплоемкость, равная производной тепловой энергии по температуре, не зависит от частот осцилляторов и равна [c.422]

Полная энергия гармонических колебаний пропорциональна квадрату амплитуды. [c.150]

Таким образом, энергия выражается рядом членов, каждый из которых зависит только от одной гармоники это выражение подобно полученному ранее выражению (6.6). Различные гармоники являются различными нормальными модами колебания струны, а величины —амплитудами колебания по п-011 нормальной координате системы. Мы можем сказать, чю энергия колебания струны равна полней энергии бесконечного числа эквивалентных гармонических осцилляторов, масса каждого из которых равна половине общей массы струны (/г/2), причём первый имеет частоту и амплитуду 4 , второй имеет частоту и амплитуду и т. д. [c.111]

Превращения энергии при колебаниях пружинного маятника происходят в соответствии с законом сохранения механической энергии в консервативной системе (1.5.4. Г), При движении маятника вниз или вверх от положения равновесия его потенциальная энергия увеличивается, а кинетическая — уменьшается. Когда маятник проходит положение равновесия (х=0), его потенциальная энергия равна нулю и кинетическая энергия маятника имеет наибольшее значение, равное его полной энергии. FH . IV.1.S 3° Полная энергия гармонических [c.294]

Задача. Пружинный маятник совершает гармонические колебания с амплитудой смещения 0,04 м. При смещении 0,03 м сила упругости равна 9-10 Н. Определить потенциальную и кинетическую энергии, соответствующие данному смещению, и полную энергию маятника. [c.295]

Г. Движение тела (частицы) под действием сил может происходить таким образом, что частица удерживается в определенной области пространства. Например, при гармонических колебаниях тела с массой т, подвешенного на пружине (IV. 1.3. Г), под действием сил упругости тело не может удалиться от положения равновесия более чем на расстояние, равное амплитуде смещения А. Значение амплитуды смещения определяется полной энергией Е (рис. 1.1.6). Потенциальная энергия тела П (дi)=йл V2=mi>)fл V2, где ( >1=к1т — собственная циклическая частота колебаний (IV. 1.3.3°), к — коэффициент квазиупругой силы. [c.424]

В классической механике Ньютона линейный гармонический осциллятор может иметь любое значение потенциальной энергии П (х), не превышающее значения Л (А)— =т(х>1А /2, в точках В и С (В и С ), где потенциальная энергия равна полной энергии. Скорость гармонических колебаний (IV. 1.2. Г) осциллятора также может принимать любые значения, ограниченные запасом полной энергии Е осциллятора. Никаких ограничений на характер возможных изменений полной энергии Е в классической меха- [c.425]

Коэффициент поглощения /, равный отношению поглощенной за один цикл энергии AW к полной энергии системы W, в первом приближении можно считать не зависящим от размеров и формы стержня, а также от интенсивности напряженного состояния. Когда последнее изменяется по гармоническому закону, коэффициент поглощения имеет постоянное значение. Это постоянное значение vj/ приблизительно равно удвоенному декременту свободных колебаний стержня, как это легко вывести из формулы (2.19). Предположим, что стержень совершает первое главное колебание. Все точки его оси одновременно достигают наибольших отклонений, и в этом амплитудном отклонении потенциальная энергия стержня равна его полной энергии W. [c.305]

Итак, полная тепловая энергия колебаний атомов в цепочке складывается из энергий нормальны.х колебаний, ведущих себя подобно линейным гармоническим осцилляторам с собственной частотой (йк. [c.151]

При линейной закономерности сил трения как внешних, так и внутренних, они выражаются через первую степень скорости перемещений q. Вынужденные колебания с линейными силами трения характеризуются полным соответствием гармонического состава сил возбуждения и движения. Другой важной характеристикой является рассеяние энергии за цикл АЛ, пропорциональное частоте со и квадрату амплитуд Q [c.82]

I ругая трактовка равновесного излу-иения, восходящая к Рэлею, состоит в том, чтобы само электромагнитное поле в полости рассматривать как набор осцилляторов. Можно говорить о собственных колебаниях этого поля и применить к ним методы статистической механики, а не вводить вспомогательный планковский осциллятор, взаимодействующий с излучением. Пусть для определенности полость имеет форму куба с ребром а ее стенки — зеркальные. Собственные нормальные колебания поля в таком объемном резонаторе представляют собой стоячие волны различных частот. Полное поле можно представить как суперпозицию таких стоячих волн, и в энергетическом отношении оно ведет себя как система невзаимодействующих гармонических осцилляторов. Для нахождения спектральной плотности энергии поля нужно подсчитать число независимых стоячих волн в полости с частотами в интервале от ы до о)-1-с]а). Как и в одномерном случае струны, закрепленной на концах, здесь для любого нормального колебания необходимо, чтобы вдоль каждого ребра укладывалось целое число полуволн. Пусть направление во ны (нормаль к плоскостям равных фаз) образует углы а, р и V с ребрами куба. Проекция любого ребра на это направление должна быть равна целому числу полуволн [c.435]

Свободные колебания линейного гармонического осциллятора, если они происходят в вязкой среде, постепенно затухают в результате действия со стороны среды диссипативных сил трения. Как было показано в 29, для полного описания движения механической системы, подверженной действию сил вязкого трения, необходимо наряду с лагранжианом ввести диссипативную функцию Рэлея (29.19), описывающую процесс рассеяния механической энергии. Для одномерной механической системы, совершающей малые колебания вблизи положения устойчивого равновесия, указанные функции имеют вид [c.223]

Колебания гармонического осциллятора могут быть рассмотрены и в фазовом пространстве q, р, описанном в 23. Для этого используем выражение для полной механической энергии системы [c.216]

Как известно, причина теплового расширения твердых тел состоит в том, что с повышением температуры увеличивается амплитуда колебаний атомов в решетке. В теории твердого тела показано, что если эти колебания являются строго гармоническими, то 01ш не могут привести к тепловому расширению металла, ибо средние отклонения атомов от положения равновесия всегда будут равны нулю. Для объяснения теплового расширения необходимо предположить, что зависимость потенциальной энергии двух атомов в металле от расстояния между ними имеет асимметричный вид это и приводит к ангармоничности колебаний атомов, а следовательно, к некоторому результирующему изменению размеров решетки тела при повышении температуры. Полное изменение размеров кристалла пропорционально тепловой энергии отсюда, как естественное следствие, вытекает, что скорость расширения с повышением температуры (т. е. коэффициент объемного расширения ш) должна быть пропорциональна скорости [c.169]

Поэгому по закону сохранения энергии при гармонических колебаниях полная энергия остается постоянной, но кинетическая или потенциальная, каждая в отдельности, совершают колебания во времени. В момент, когда колеблющееся тело достигает крайнего положения и имеет скорость, равную нулю, вся энергия [c.428]

В этом случае в качестве модели можно выбрать твердое тело, атомы которого совершают малые колебания около положений равновесия в узлах кристаллической решетки. Каждый атом независимо от соседей колеблется в трех взаимно перпендикулярных направлениях, т. е. имеет три независимые колебательные степени свободы. Как мы видели в предыдущей главе, такой атом можно уподобить совокупности трех линейных гармонических осцилляторов. При колебаниях осциллятора происходит последовательное преобразование кинетической энергии в потенциальную и потенциальной в кинетическую. Поскольку средняя кинетическая энергия, составляющая квТ/2 на одну степень свободы, остается неизменной, а средняя потенциальная энергия точно равна средней кинетической, то средняя полная энергия осциллятора, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, составляет ksTi. [c.164]

Подставив эти значения со,- в аргументы (8.4.19) членов разложения в кратный ряд Фурье, получим, что все движение аналитически представляется в виде суперпозиции простых гармонических колебаний с основными частоталш V,-. Таким образом, частоты движения получаются из полной энергии, выраженной через переменные действия. Частные производные Е по У,- дают непосредственно частоты системы. [c.287]

ОРБИТА электронная — траектория движения электрона вокруг ядра в атоме или молекуле ОРБИТАЛЬ —волновая функция одного электрона, входящего в состав электронной оболочки атома или молекулы и находящегося в электрическом иоле, создаваемом одним или несколькими атомными ядрами, и в усредненном электрическом поле, создаваемом остальными электронами ОСЦИЛЛЯТОР как физическая система, совершающая колебания ангармонический дает колебания, отличающиеся от гармонических гармонический осуществляет гармонические колебания квантовый имеет дискретный спектр энергии классический является механической системой, совершающей колебания около положения устойчивого равновесия) ОТРАЖЕНИЕ [волн происходит от поверхности раздела двух сред, и дальнейшее распространение их идет в той же среде, в которой она первоначально распросгра-нялась диффузное характеризуется наличием нерегулярно расположенных неровностей на поверхности раздела двух сред и возникновением огражен1 ых волн, идущих во всех возможных направлениях зеркальное происходит от поверхности раздела двух сред в том случае, когда эта поверхность имеет неровности, размеры которых малы по сравнению с длиной падающей волны, а направление отраженной волны определяется законом отражения наружное полное сопровождается частичным поглощением световой волны в отражающей среде вследствие проникновения волны в Э1у среду на глубину порядка длины волны полное внутреннее происходит от поверхности раздела двух прозрачных сред, при котором преломленная волна полностью отсутствует] [c.257]

Необходимо допустить наличие значительного затухания в этих резонаторах. В противном случае колебания резонатора продолжались бы и соответственное ощущение сохранялось бы заметное время и после прекращения внешней причины. Такой же интервал времени длилось бы и достижение полной интенсивности ощущения после начала действия звука. Это привело бы к тому, что достаточно быстрая последовательность отдельных нот не представлялась бы раздельной во времени. Исходя из соображений этого характера, Гельмгольц оценил, что затухание должно приводить к уменьшению интенсивности (энергии) колебаний в 10 раз по сравнению с исходным значением за время, реквное примерно длительности десяти периодов. Как было объяснено в 13, отсюда следует, что каждый резонатор будет приходить в колебание в известном диапазоне частот по обе стороны от частоты, дающей наибольший эффект. Далее, приходится предположить, что различие в частотах смежных резонаторов настолько мало, что одно и то же гармоническое колебание возбуждает целую группу резонаторов, причем интен- [c.360]

При гармонических колебаниях средняя кинетическая и средняя потенциальная энергии равны друг другу. Поэтому полная энергия может быть найдена как удвоенная средняя кинетическая энергия = 2 . Подставляя формулу (4.12) в находим [c.51]

Такие О. наз. гармоническими, их движение описывается линейным ур-нием тпх=—кх, решение к-рого имеет вид х=А sin ( ui-f9)j где т — масса О., (и=Уk m — частота, А — амплитуда колебаний, ф — нач. фаза, t — время. Полная энергия гармонич. О. m(oMV2 — это сумма периодически меняющихся в противофазе кинетич. (Г) и потенц. энергий, 6 = = и не зависит от времени. Когда отклонение х нельзя считать малым, в разложении U х) необходим учёт членов более высокого порядка — ур-ние движения становится нелинейным, а О. наз. ангармоническим. [c.505]

Для определения зависимости теплоемкости от температуры Т необходимо знать, как зависит от температуры тепловая энергия твердого тела. Задача, следовательно, сводится к тому, чтобы вычислить среднюю энергию колебаний атома по одному из трех взаимно перпендикулярных направлений. Помножив результат на число атомов и на 3 (соответственно трем слагающим движения), МЫ получим полную тепловую энергию. Формула для определения среднего значения энергии линейного гармонического осциллятора была выведена еще Планком, который считал, что в тепловом равновесии состояния с тем или иным значенпем энергии встречаются с относительной вероятностью, определяемой фактором Больцмана и в расчет долл ны приниматься не все энергии, а лишь дискретные значения энергии вида п (п — 0, 1, 2, 3,...,). [c.166]

Полная статистическая сумма клатрата вычислялась в при-блилчении гармонического осциллятора—жесткого ротатора, причем предполагалось, что вибрационные движения молекул, их внутренние возбуждения и заторможенные вращения (либрации) описываются нормальнми колебаниями около положений равновесия. Результаты расчета свободной энергии образования клатратов представлены на рис. 28 [281]. Как и ожидалось, расчетные точки не ложатся на гладкую кривую, а выявляют максимумы и минилгумы, характеризующие относительную стабильность клатратов разного размера. Сплошной кривой показана зависимость работы образования капли воды от ее размера согласно капиллярному приближению. Для температуры вблизи точки замерзания воды видно удовлетворительное согласие клатратных данных с результатами классической теории. [c.93]

При гармонических осесимметричных радиальных колебаниях упругого кольца энергия равномерных окружных деформаций может безопасно накапливаться до тех пор, пока не будет достигнута предельная деформация, при которой происходит разрушение материала. Однако неизбежные несовершенства приводят к динамической потере устойчиворти симметричных радиальных колебаний, которая проявляется Б преимущественном нарастании определенных изгибных форм движения. При передаче энергии изгибным формам движения начальные неоднородности окружных напряжений концентрируются на гребнях изгибных волн. Гудьер и Мак-айвор [1] показали, что в линейно-упругом кольце при отсутствии затухания может происходить почти полная передача энергии. В работе [1] найдено, что при полной передаче энергии одной форме колебаний максимальное изгибное напряжение больше равномерно распределенного окружного> [c.25]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...