Расслоение когомологий

Предположим, что база — комплексное многообразие и что комплексные размерности базы и слоя расслоения когомологий одинаковы. Отображение периодов называется невырожденным, если его производные вдоль любых С-независимых векторов в каждой точке линейно независимы. Иными словами, отображение пе- [c.432]

Таким образом, производная невырожденного отображения периодов изоморфно отображает касательное расслоение базы на расслоение когомологий. Двойственный изоморфизм отображает расслоение гомологий на кокасательное расслоение базы. Этот изоморфизм и переносит имеющиеся в группе гомологий дополнительные структуры на базу. [c.433]

Определение. Канонически определенная связность V в расслоении когомологий называется связностью Гаусса—Манина (см. [101], [102], [295]). [c.92]

Существование связности V означает, что в расслоении когомологий определен параллельный перенос слоев над кривыми в базе, причем отображение слоя над начальной точкой пути в слой над конечной точкой является линейным изоморфизмом слоев. [c.93]

Сечения расслоения когомологий [c.93]

Определение. Сечение расслоения когомологий над открытым односвязным подмножеством V базы называется ко-вариантно постоянным (горизонтальным), если его значения инвариантны относительно параллельных переносов вдоль путей в и. [c.93]

Задание горизонтального сечения над одной точкой базы однозначно определяет его над любым односвязным подмножеством базы, содержащем эту точку. В случае, когда база не односвязна, распространение горизонтального сечения вдоль путей из разных гомотопических классов может приводить к различным значениям сечения над одной точкой базы. В этом случае мы будем говорить о многозначном ковариантно постоянном сечении расслоения когомологий. [c.93]

Замечание. Пусть В — универсальная накрывающая базы В. Естественное отображение В- -В индуцирует расслоение 3 - В из расслоения когомологий над В. Связность V в расслоении когомологий индуцирует связность в расслоении над В. Тогда многозначные ковариантно постоянные сечения расслоения когомологий—это в точности образы горизонтальных сечений индуцированного расслоения [c.93]

Определение. Сечение расслоения когомологий называется голоморфным, если его координаты в произвольном репере локально постоянных сечений являются голоморфными функциями на базе. [c.93]

Это определение является корректным, так как функции перехода между ковариантно-постоянными реперами локально постоянны. Тем самым, расслоение когомологий снабжается канонической структурой голоморфного векторного расслоения, согласованной со связностью V. [c.93]

Теорема ([155], [269]). Отображение периодов голоморфной формы является голоморфным сечением расслоения когомологий. [c.95]

Описание связности Гаусса—Манина в расслоении когомологий 3/ёр - А. см. в [222]. [c.100]

Дифференциальные уравнения и асимптотика интегралов. В этом пункте будет показано, что сингулярный оператор Vt, определенный связностью Гаусса—Манина в расслоении когомологий имеет регулярную особенность. Это поз- [c.100]

Это отображение сопоставляет каждому касательному вектору к точке базы элемент слоя расслоения когомологий над этой точкой — ковариантную производную сечения по направлению этого вектора. [c.103]

Пусть ю — голоморфная (л. — 1)-форма на С хС , [оа]—ее отображение периодов (п. 3.4). Ковариантная производная отображения периодов [ю] вдоль векторного поля в базе версальной деформации Л также является сечением расслоения когомологий Зё р- Ь . Рассмотрим производные отображения периодов [ю] вдоль векторного поля д д. [c.104]

ЗЛО. Устойчивость отображения периодов. Определим отношение эквивалентности на множестве всех сечений расслоения когомологий [c.105]

Соединим его гладким однопараметрическим семейством диффеоморфизмов с тождественным отображением А- А. Интегрируя связность вдоль этого однопараметрического семейства, мы получим поднятие исходного диффеоморфизма до диффеоморфизма расслоения когомологий Зёг - А [. Этот диффеоморфизм расслоения однозначно определяется исходным диффеоморфизмом базы и гомотопическим классом однопараметрического семейства в силу интегрируемости связности Гаусса—Манина. [c.105]

Невырожденное сечение 5 расслоения когомологий Жр- К определяет изоморфизм и переносит форму [c.106]

Пусть — расслоение когомологий неособых слоев [c.114]

Определение. Отображением периодов называется сечение ассоциированного расслоения когомологий. [c.95]

Определение. Допустимым отображением расслоения когомологий в себя называется конечная точка поднятой изотопии, индуцированной изотопией базы. [c.101]

Пусть теперь на пространстве гладкого расслоения дана дифференциальная форма, замкнутая на слоях. Отображение периодов этой формы сопоставляет точке базы класс когомологий формы в слое над этой точкой. [c.432]

Для произвольного стягиваемого открытого подмножества / базы, его прообраз я ( /) гомеоморфен прямому произведению и на слой исходного расслоения. Вложение произвольного слоя (где Ьеи), определяет изоморфизм когомологий // ( >, (я" ( 7), С). Такие изоморфизмы определяют три- [c.92]

Определение. Расслоение п Зёп- В называется рас-слоением А-мерных когомологий,, ассоциированным с расслоением я. [c.92]

Расслоения -мерных когомологий и гомологий, ассоциированные с расслоением я, двойственны. Пусть 5 и б — соответственно сечения этих расслоений, определенные на некотором подмножестве и базы. Спаривание этих сечений 5 5, определенное послойным спариванием в группах когомологий и гомологий, является комплекснозначной функцией на С/. Эта двойственность согласуется с голоморфной структурой и связностью имеющимися в каждом расслоении. [c.94]

Расслоения исчезающих когомологий. Пусть / (С", 0)->-(С, 0) — росток с изолированной критической точкой кратности А в нуле. С особенностью / связаны два расслоения расслоение неособых слоев / над проколотым диском и расслоение [c.94]

Пусть — голоморфная п—1 форма, определенная в окрестности нуля в "X Ограничение юх формы на неособый слой Ух является замкнутой формой, т. к. на (л—1)-мерном комплексном многообразии Ух, нет отличных от нуля голоморфных л-форм. Поэтому, форма юх определяет класс когомологий [ю]хбЯ (Ух, С) для всех ЯеЛ, т. е. сечение, расслоения исчезающих когомологий [c.95]

Отображение периодов определяется следующей конструкцией. Пусть дано локально тривиальное расслоение. С таким расслоением связаны расслоения гомологий и когомологий слоев с комплексными коэффициентами (база та же). Эти расслоения не только локально тривиальны, но и канонически локально тривиализованы (целочисленный цикл в слое перетаскивается в соседний слой гомологически однозначно). Отображением периодов называется сечение расслоения когомологий. [c.432]

Если на базе расслоения дано векторное поле, то любое (гладкое) отображение периодов можно дифференцировать вдоль этого поля, и производная также есть отображение периодов. Действительно, близкие слои расслоения когомологий канонически отождествляются друг с другом целочисленной локальной тривиа-лизацией, после чего сечение становится (локально) отображением в один слой и дифференцируется, как обычная функция. [c.432]

С произвольным локально тривиальным расслоением ассоциируются векторные расслоения (ко) гомологий слоя. В (ко) гомологическом расслоении имеется канонически определенная связность — связность Гаусса—Манииа. В случае расслоения Милнора соответствующее расслоение когомологий с комплексными коэффициентами естественно снабжается структурой голоморфного расслоения. Сечения когомологического расслоения Милнора задаются голоморфными формами, янтегралы от голоморфных форм по циклам, непрерывно за- [c.91]

Расслоение когомологий является не только локально тривиальным, но и локально тривиализованным. Функции перехода построенных тривиализаций локально постоянны решетка целочисленных коциклов, имеющаяся в каждом слое, канонически переносится в соседние слои. Такая тривиалнзация определяет в расслоении когомологий интегрируемую связность V,, непрерывно зависящие от точки базы целочисленные коциклы являются горизонтальными сечениями этой связности. [c.92]

Вещественное и целочисленное подрасслоения в расслоении когомологий инвариантны относительно параллельного переноса, определенного связностью. [c.93]

Действительно, близлежащие слои расслоения когомологий могут быть отождествлены с помощью топологической тривиализации. После этого отождествления, сечения расслоения когомологий (локально) становятся отображениями в слой и могут быть дифференцируемы как обычные функции. [c.96]

Т. расслоений играет важную вспомогат. роль во многих топологич. вычислениях её задачи имеют также и самостоятельную (в т, ч. прикладную) ценность. Интуитивно, расслоение с базой В и слоем F есть семейство одинаковых слоёв непрерывно зависящих от точки л базы В (F, В—нек-рые пространства, напр, многообразия) объединение Е всех слоёв F наз. пространством расслоения, а отображение р Е- В, переводящее каждую точку слоя F в — проекцией расслоения. Простейшим примером служит прямое произведение E=F> В, где F состоит из пар вида (J, x),f—точка из F. Более сложный пример—лист Мёбиуса (расслоение с базой окружность и слоем отрезок). Если слой F является дискретным множеством, то расслоение наз. накрытием. Напр., отображение задаёт накрытие прямой над окружностью U = l, слоем является совокупность целых чисел. Накрытия—осн. инструмент при вычислении фундам, групп. Более сложные расслоения используются для вычисления гомотопич, групп. Для вычисления гомологий и когомологий расслоений используется техника спектральных последовательностей [3], [11]. [c.147]

В главе 2 рассмотрены топологические и алгебро-геометри-ческие аспекты теории критических точек функций. Здесь изложены основные понятия локальной теории Пикара—Лефшеца, то есть учения о ветвлении циклов и интегралов, зависящих от параметров. Подробно исследован основной объект этой теории — расслоение исчезающих когомологий (то есть ветвящихся контуров интегрирования), связанное с критической точкой, и, в частности, множество определения этого расслоения — дополнение к дискриминанту особенности. Мы также рассматриваем связь простых особенностей функций с классификацией [c.9]

Когомологическое расслоеше и связность Гаусса— Манина. Пусть я Е->-В—произвольное локально трии альное расслоение с гладкой базой. Для любого к>-0 определим комплексное векторное расслоение -мерных когомологий с базой В. Его слоем над точкой Ь В базы является пространство // Е С) УЬ-мерных комплексных когомологий слоя Е = я (Ь). Тотальное [c.92]

Отображение периодов. Неособый слой Уу. милноров-ского расслоения Ул - -Л является многообразием Штейна [229]. Поэтому Их когомологии можно вычислять с ПОМОЩЬЮ голоморфных форм [116], [326]. Это позволяет получить аналитическое описание связности Гаусса—Манина в расслоениях исчезающих когомологий (см. п. 3.7). [c.95]

Определение. Глобальное сечение [ю] расслоения исчезающих когомологий называется отображением периодо формы га. [c.95]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...