Амплитуда нелинейные соотношения

Скорость волны малой амплитуды найдена выше в результате применения двух аппроксимаций, которые обычно называют линеаризациями, так как они состоят в отбрасывании квадратичных по 5 и сохранении линейных по з членов. Одна из аппроксимаций связана с кинематикой движения это — линеаризация соотношения между сжатием и скоростью частиц, полученного из закона сохранения массы. Она заключается в замене нелинейного соотношения [c.29]

Наиболее существенным членом является со а к) да /дх, поскольку он содержит производную от а и приводит к поправке О (а) к характеристическим скоростям. Другой новый член всего лишь подправляет коэффициент существовавшего ранее члена с дк/дх и, следовательно, дает вклад только на уровне О (а ). Аналогичным образом для малых амплитуд нелинейные добавки в (14.15) имеют порядок и приводят к поправкам порядка к коэффициентам существовавших ранее членов с да дх и дк/дх. Следовательно, в первом приближении нелинейные эффекты можно учесть очень просто, используя только новое дисперсионное соотношение и уравнения [c.470]

Величина определяемая этим соотношением, носит название длины самофокусировки. Она пропорциональна начальному радиусу пучка и обратно пропорциональна амплитуде поля на его оси. Поскольку освещенность пропорциональна то можно сказать, что 4ф обратно пропорциональна квадратному корню из максимальной освещенности в сечении пучка. Кроме того, уменьшается с ростом коэффициента нелинейности 2- Все перечисленные закономерности физически вполне прозрачны чем меньше и чем больше Ап = 2 4о, тем резче изменяется показатель преломления в пределах сечения пучка и тем сильнее отклонение от прямолинейного распространения света. [c.822]

До сих пор не принималась во внимание ограниченность поперечных размеров реальных пучков, и тем самым предполагалось, что на интересующих нас толщинах среды I > /ф з ни самофокусировка, ни дифракция еще не проявляются. Если самофокусировка и дифракция точно компенсируют друг друга, то поперечное распределение амплитуды импульса не изменяется по мере его распространения в среде, т. е. собственно к этому случаю и относятся сделанные выше выводы. Если значение мощности превышает пороговое, даваемое соотношением (232.4), то поперечное сечение пучка уменьшается благодаря самофокусировке, и уширение спектра будет протекать более сложным образом. Качественно ясно, что увеличение амплитуды поля, сопровождающее самофокусировку, вызовет еще большее уширение спектра. Следует иметь в виду, однако, что при огромной концентрации энергии, имеющей место в случае сильно развитой самофокусировки, эффективно протекает и ряд других нелинейных процессов — вынужденное рассеяние. Мандельштама—Бриллюэна, вынужденное комбинационное рассеяние и др. [c.832]

Полученное соотношение для г выражает закон уменьшения квадрата амплитуды колебаний в исследуемом нелинейном контуре, начиная от исходного значения г = го. Этот закон переходит в обычный экспоненциальный при у = 0, т. е. при переходе к линейному случаю (линейному осциллятору с постоянным затуханием). На рис. 2.25 в условном масштабе показано спадание квадрата амплитуды г для некоторого значения у. На том же рисунке приведен закон убывания г, соответствующий у==0. [c.79]

Как видно из формулы (3.5.11) при 6 = 0, мы приходим к соотношению, аналогичному (3.3.15) и связывающему частоту воздействия и амплитуду вынужденного колебания в консервативной нелинейной колебательной системе р = (хР Р/А. В соответствии с этим и семейство резонансных кривых рис. 3.25 при б->-0 переходит в семейство изолированных кривых, разделенных скелетной кривой аР А). [c.117]

Очевидно, что при достаточно малой амплитуде внешнего воздействия и других соотношениях между параметрами у и многозначности может и не быть, и тогда возникает ли нь некоторая несимметрия резонансной кривой за счет нелинейных свойств системы, что уже было показано в 3.5 (см. рис. 3.25). [c.128]

Выше уже упоминалось, что для нелинейных систем не представляется возможным провести четкое разграничение между силовым и параметрическим воздействиями. При силовом воздействии вынужденный колебательный процесс, вызванный внешней силой, будет за счет нелинейных свойств системы приводить к периодическому изменению соответствующих параметров. Поэтому в конечном счете результирующий вынужденный процесс может иметь некоторое сходство с параметрически возбуждаемым колебательным процессом может нарушаться монотонность изменения амплитуды при изменении соотношения частот и могут наблюдаться интенсивные колебания при частотных соотношениях, типичных для параметрических резона (сов. [c.160]

Зависимость частоты свободных колебаний от амплитуды колебаний в любом месте системы. Конструктору ГТД часто необходимо знать зависимость частоты свободных колебаний от амплитуды колебаний корпуса ГТД в месте стандартного крепления датчиков, регистрирующих величину виброперегрузки двигателей. После того, как изложенным выше способом найдена зависимость между частотой У А и амплитудой колебаний 6 нелинейного элемента, можно определить и соотношение между амплитудой колебаний интересующей нас массы системы ротор — корпус и амплитудой колебаний нелинейного элемента. [c.200]

Уравнение (IX. 3) приводит к следующему соотношению (записанному в цепной скорме) между приведенной амплитудой упругой реакции нелинейного участка fи приведенной амплитудой колебания деформации этого участка Bk,k+i- [c.228]

В формулы для вычисления эквивалентных коэффициентов (VI.23) входит частота изменения входной для реле координаты Q. Величина Q приближенно может быть вычислена как частота основного тона колебаний линеаризованной системы — частота выделенной по методу эффективных полюсов и нулей первой (основной) составляюш,ей процесса. Для этого выполняется эквивалентная линеаризация нелинейности для ряда фиксированных значений амплитуды и вычисляется серия значений эквивалентного коэффициента усиления k. Учитывая, что уравнение основной составляющей может иметь первый или второй порядок, по соотношениям (VI.9) вычисляются три последних коэффициента эквивалентного уравнения (VI.10). Порядок уравнения выделяемой первой составляющей процесса определяется по параметру р (см. п. 8). Формула для вычисления параметра pi в данном случае имеет вид [c.233]

При определенных соотношениях амплитуд продольных и крутильных колебаний возможны нелинейные эффекты, проявляющиеся в возбуждении резонансных колебаний с частотой, вдвое большей или меньшей, чем частота пульсации [73, 80J. [c.283]

В результате проведенного анализа можно сформулировать методику (правило) построения резонансных стационарных амплитуд в зависимости от частоты внешней силы. Для нелинейной системы, находящейся под воздействием внешней гармонической силы с частотой V, близкой к собственной частоте системы со, найдем значения амплитуды и фазы синхронного стационарного колебания. Для этого линеаризуем данную колебательную систему в свободном состоянии (т. е. не принимая во внимание внешней силы еЕ sin vt) и определяем функции амплитуды — эквивалентный декремент и эквивалентную частоту собственных колебаний. Подставив найденные значения в классические соотношения линейной теории колебаний, получим уравнения для определения искомых амплитуды и фазы. [c.81]

Амплитуда стационарных автоколебаний а и угловая спорость вращения двигателя Q определяются из соотношений, получающихся после применения к уравнениям (14) одного из указанных в п. 2 методов нелинейной механики [c.201]

Ha физическом языке это соотношение означает, что увеличение энергии колебаний неизбежно сопровождается увеличением частоты и расширением спектра колебаний. В результате возникают резкие фронты бегущих волн u(t х с) при неизменной амплитуде. Производные же u(t х с и (t х/с) приобретают форму импульсов, длительность которых уменьшается, а амплитуда и энергия растут. В пределе, при / о, производная от любого начального возмущения локализуется в импульс, длительность которого должна стремиться к нулю. Однако наличие дисперсии, потерь и нелинейности всегда приводят к ограничению его амплитуды и длительности. [c.142]

Соотношения амплитуд для отраженной и свободной волн в нелинейной оптике [c.23]

Состояние вопроса. В настоящее время можно считать, что физические основы лазеров на динамических решетках развиты достаточно хорошо. Установлены основные закономерности и построена теория стационарной генерации для различных нелинейных сред и различных резонаторов. В большинстве случаев на основании строгого решения укороченных уравнений для комплексных амплитуд взаимодействующих волн (без использования приближения заданного поля) получены соотношения, свя- [c.38]

Соотношения (8.6а) и (8.66) называют условиями фазового синхронизма. При выполнении этих условий волновые числа нелинейной поляризации и электрического поля на частоте ш одинаковы. В результате по всей длине пути распространения волн фазовые соотношения между этими величинами сохраняются и амплитуда одной из волн при распространении в нелинейной среде монотонно растет или падает. Подробнее на этом явлении мы остановимся при описании процесса генерации второй гармонической составляющей. [c.276]

В течение последних 20 лет известные успехи были достигнуты в численном моделировании волн конечной амплитуды (нелинейная теория). Линейная теория способна ответить только на вопрос о границе устойчивого и неустойчивого состояний и не может предсказать реальную форму волн и их эволюцию во времени. Экспоненциальный рост амплитуды волн при возникновении неустойчивости, предсказываемый линейной теорией, сам по себе предполагает, что эта теория выходит за пределы своих возможностей, как только такой рост начинается. В реальном процессе восстанавливающие силы (поверхностного натяжения, инерции, массовые) быстро нарастают с увеличением амплитуды волн, которая всегда остается конечной в гравитационных пленках. На основании численных исследований в рамках нелинейной теории были получены некоторые практически полезные результаты [43], однако они, как правило, не могут быть представлены в виде прость(х аналитических соотношений основные тенденции, следующие из численных решений, описываются обычно качественно. В частности, важный качественный вывод делается Холпановым и Шкадовым [43] в отношении влияния трения со стороны газового потока (т " ) на форму волновой поверхности жидкой пленки. Оказывается, начиная с некоторого значения т" (при заданном расходе жидкости Fq), увеличение касательного напряжения приводит к уменьшению амплитуды волн, чего никак нельзя было бы предположить на основе анализа в рамках линейной теории Кельвина—Гельмгольца. [c.171]

Нелинейность деформационных свойств резин проявляется и в области резонансных частот гармонического нагружения, близких к собственной частоте колебаний системы. Нелинейность выражается в аномальной (со скачком) зависимости амплитуды перемещения вынужденных колебаний от частоты со (рис. 3.3.8), наблюдаемой вместо симметричных относительно максимума кривых для линейных систем (см. рис. 1.3.5). Обычно нелинейные соотношения сг — 8 выражены кривыми, вогнутыми к оси напряжений а. При увеличении частоты со амплитуда постепенно возрастает по АВ (см. рис. 3.3.8), достигая максимума <7 при соДалее наб.тю-дается скачок амплитуды, и при увеличении со экспериментальные данные попадают на кривую EF. При уменьшении частоты со ход кривой не совпадает с полученным при увеличении со, а именно кривая проходит по FED до точки D при Wj, а с дальнейшим умень-гаепие>[ со происходит скачок амплитуды из D в 5 и последующее [c.162]

Рис. 116 показывает, что оно недостаточно мало, чтобы можно было пренебречь нелинейными эффектами. Таким образом, волны за прыжком должны быть кноидальными. Фактически наблюдается, что они имеют кноидальные волновые профили и их длина, скорость волны и амплитуда подчиняются соотношениям для кноидальных волн. [c.561]

Выполнение этого условия требует наложения определенных ограничений (например, требование положительности температуры или других ограничений). Анализ соотношения (1.11) позволяет выявить различие в поведении линейных и нелинейных систем. В нелинейных системах небольшое увеличение Л может привести к сильным эффектам, несоизмеримым по амплитуде с исходным воздействием. Это приводит к скачкам параметров системы при изменении к вблизи критических значений. В случае линейного поведения системы сохраняется принцип суперпозиции, т.е. результатом совместного действия, например, двух различных факторов, являе1 ся простая суперпозиция. Это различие в линейно.м и нелинейном поведении системы иллюстрирует рисунок 1.4. [c.16]

Е — амплитуда волны, v — скорость ее распространения в среде, 2 — координата, вдоль которой распространяется волна) в выражение для нелинейной квадратичной поляризации хЕ . Воспользовавшись известным тригонометрическим соотношением os P=(l+ os2P)/2, мы обнаружим в получившемся выражении для нелинейной поляризации среды слагаемое xEl/2) os[2a t—z/v)]. Это означает, что в среде распространяется волна поляризации с частотой 2(0, причем в таком же направлении и с такой же скоростью, что и исходная световая волна. Волну поляризации можно рассматривать как своеобразную излучающую антенну , бегущую по среде со скоростью v. При определенных условиях эта антенна может переизлучать новую световую [c.218]

Для других типов нелинейностей мы, естественно, получили бы другие выражения для частоты свободных колебаний нелинейной системы при конечных амплитудах колебаний. Эти соотношения, характеризующие зависимость частоты свободных колебаний от их амплитуды, дают нам приближенное математическое выражение свойства неизохронности данной системы. Разобранные примеры с нелинейной емкостью показывают, что с ростом амплитуды колебаний возрастает действующее значение ее жесткости , т. е. уменьшается действующее значение емкости. Подобная жесткая система в согласии с полученными выражениями характеризуется возрастанием частоты колебаний с ростом их амплитуды, т. е. с увеличением сообщенного системе запаса колебательной энергии. [c.104]

Если считать, что нам задана частота воздействия р = 2(о, и принять, что в изучаемом случае регулируемой величиной является о)д —собственная частота системы (для малых амплитуд), то полученные нами соотношения будут изображаться графически в координатах (Оо и Л так, как показано на рис. 4.7. Изображенные на нем области параметрического возбуждения для у>0 (кривые параметрического резонанса) для исследованного частотного соотношения, соответствующего первой области неустойчивости линейного уравнения Матьё, переходят при у->0 в соответствующую область, изображенную на рис. 4.4. Здесь, как и в случае резонанса при си.ловом воздействии, получается деформация резонансной кривой для линейной консервативной системы и ее наклон в сторону больших или меньших частот в зависимости от знака нелинейной поправки, т. е. в зависимости от типа неизохронной системы. [c.139]

В нелинейных системах, как было показано на отдельных примерах (см. рис. 4.6 и 4.7), даже в консервативном приближении неограниченного нарастания параметрически возбужденных колебаний не происходит, ибо присущая нелинейным системам неизохронность приводит с ростом амплитуды колебания к нарушению требуемых частотных и фазовых соотношений и к прекращению вложения энергии в систему со стороны механизма, изменяющего параметр, а следовательно, к установлению определенной амплитуды вынужденных колебаний. [c.143]

Перечисленными свойствами обладают только волны достаточно малой амплитуды (много люньшей как длины волны, так и глубины водоёма). Интенсипные нелинейные волны имеют существенно несинусоидальную форму, зависящую от амплитуды. Характер нелинейного процесса зависит от соотношения между длиной волны и глубиной водоёма. Короткие гравитац. волны на глубокой воде приобретают заострённые вершины, к-рые при определ. критич. значении их высоты обрушиваются с образованием капиллярной ряби или пенных барашков . Волны умеренной амплитуды могут иметь стационарную форму, не изменяющуюся при распространении. Согласно теории Герстнера, в нелинейной стационарно волне частицы по-прежнему движутся по окружности, поверхность же имеет форму трохоиды, к-рая при малой амплитуде совпадает с синусоидой, а при нек-рой макс. критич. амплитуде, равной Х/2л, превращается в циклоиду, имеющую на вершинах острия . Волее близкие к данным наблюдении результаты даёт теория Стокса, согласно к роя частицы в стационарной нелинейной волне движутся по незамкнутым траекториям, т. е. дрейфуют в направлении распространения волны, причём при критич. значении амплитуды (несколько меньше.м к/2л) на вершине волны появляется не остриё , а излом с углом 120 [c.332]

В случае КХД формулировать следствия из сохранения К. в терминах спиральностей кварков удобно лишь для расчётов в рамках теории возмущений. В общем случае, поскольку свободные кварки ненаблюдаемы, следует обратиться к феноменологич. лагранжианам, описывающим взаимодействия адронов, к-рые должны обладать той же группой симметрии, что и фундам. лагранжиан КХД. Если пренебрегать массами и-, d-, -кварков, то лагранжиан КХД обладает киральной. 5 /(3)-симметрией, что отвечает возможности наряду с чётностью состояния менять тип (аромат) кварка. Болес того, киральная симметрия реализуется для адронов нелинейным образом, и следствия из этой симметрии сводятся к соотношениям между амплитудами процессов с испусканием разного числа мягких (малой энергии) я- или К-мезонов. [c.367]

В параметрич. излучателе в одной случае — две ВЧ-волны (т. н, компоненты волны накачки), взаимодействуя друг с другом, порождают волну разностной частоты, излучаемую из области взаимодействия в другом — модулированная по амплитуде или частоте ВЧ-волна накачки в результате детектирования средой возбуждает НЧ-волну на частоте модуляции. Область нелинейного взаим )действия является своеобразной бестелесной антенной, размеры к-рой определяют характеристику направленности нз-лучателя. Поэтому даже при малых размерах излучателей волны накачки удаётся получить остронаправленное НЧ-излучение. Наряду с высокой направленностью достоинство параметрич. излучателя — отсутствие боковых лепестков диаграммы направленности и широко-полосность для существенного относительного изменения частоты излучения достаточно весьма незначительного изменения частоты накачки (в пределах ширины полосы резонансного излучателя волны накачки). Осн. недостаток параметрич. излучателя — его невысокая з ективность доля энергии накачки, идущая на НЧ-излучение, обычно невелика и зависит от соотношения частот получаемой волны со, и накачки (о . Для оптимального режима отношение мощности НЧ-излучения Wg к мощности накачки определяется ф-лой [c.535]

РЁЙНОЛЬДСА ЧИСЛб акустическое — безразмерный параметр, использующийся в акустике для Количественной характеристики соотношения нелинейных и диссипативных членов в ур-нии, описывающем распространение волны конечной амплитуды (см. Нелинейная акустика). В этом случае Р. ч. [c.319]

Количественные соотношения между экспериментальными характеристиками усилия трения при гармонических перемещениях. с различной частотой и принятым при расчетах коэффициентом гармонической линеаризации нелинейной характеристики сухого трения согласно рис. 3.5, в выявляются при сопоставлении величин их первых гармоник. На рис. 3.35 в увеличенном виде показаны совмещенные осциллограммы изменения усилия трения Т в направляющих каретки гидравлического следящего привода при синусоидальных перемещениях с низкой частотой со 12 25 padj eK и амплитудой а = 0,021 см (кривая I), а также при автоколебаниях того же привода вблизи границы устойчивости (кривая 2). Сравнение осциллограмм позволяет сделать следующие выводы [c.167]

В том случае, когда материал обладает свойством нелинейной ползучести, решение задачи выпучивания становится значительно сложнее. Для стержня, поперечное сечение которого является идеальным двутавром (площадь поперечного сечения сосредоточена в полках, а тонкая стенка воспринимает только сдвиговые деформании), а деформирование материала подчиняется степенной зависимости е = Ва, соотношение между безразмерной амплитудой прогиба и временем имеет вид [c.501]

Таким образом, все параметры волн конечной амплитуды, будучи замерены непосредственно, были получены без какой-либо априор-Н0Й ссылки на условия нелинейной теории волн, предсказываемые решением на основе теорий Тэйлора и фон Кармана. Оба профиля — конечная деформация — время и скорость частицы — время — были получены замерами в одной и той же точке, включая и замеры максимальных значений каждой из величин. То, что скорость частицы является однозначной функцией конечной деформации v(e), а скорость волны (е) постоянна для каждого значения деформации при прохождении волны в отожженных поликристаллах, было подтверждено измерением обеих величин в одной и той же точке в процессе распространения нелинейной волны. Два условия теории были даны выше в разделе 4.27 равенствами (4.38) и (4.37). После того как без предварительных допущений было показано, что теория применима, интегрирование уравнения (4.39) без дополнительных предположений давало определяющее соотношение напряжение — деформация. Было установлено, что для каждого из испытывавшихся отожженных материалов это — параболическое соотношение (4.25) при г =0 (см. выше раздел 4.21) ). [c.252]

Общим требованием к системам записи является обеспечение линейности записи, т. е. выполнения линейного соотношения между входным сигналом и амплитудой модуляции считывающего света. Нелинейные искажения могут приводить к неопределенности в результатах обработки информации в оптическом процессоре, их источником может быть как система записи, так и ПВМС. Указать в общем случае допустимый уровень нелинейных искажений невозможно, поскольку он определяется как типом обрабатываемых изображений, так и задачей, решаемой с помощью оптического процессора. [c.254]

Зависимость интенсивности второй гармоники от интенсивности основной волны, как видно из этого выражения, является квадратичной. При А = 0 величина /г с ростом длины пути света в кристалле увеличивается по квадратичному закону. (Такой закон преобразования, конечно, имеет место при условии, что коэффициент преобразования мал.) Условие kk = 0 означает, что нелинейные волны поляризации и напряженности поля с частотами 2 oi распространяются с одинаковыми фазовыми скоростями, так что на всем пути фазовые соотношения между поляризацией и напряженностью поля сохраняются. При интенсивность второй гармоники в зависимости от г совершает периодические колебания (рис. 8.2). На пути длиной Lk = = п/А , называемом длиной когерентности фаз, она нарастает до максимума. Вследствие изменившихся фазовых соотношений между поляризацией и напряженностью поля при дальнейшем увеличении пути знак производной амплитуды по г меняется, так что энергия второй гармоники перекачивается обратно в основную волну. На длине пути 2Lk интенсивность второй гармоники падает вновь до нуля. Для сравнения на рис. 8.2 показано нарастание интенсивности (2/i oi)/2 при А = 0 (кривая 1). Это монотонно нарастающая пропорциональна 2 функ- [c.279]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...