Уравнения движения стержня в плоскости

Уравнения движения стержня в плоскости [c.166]

Уравнения колебаний стержня в плоскости. При стационарном движении стержня в плоскости чертежа (рис. 8.11) возможны его колебания в ней и относительно плоскости. Рассмотрим малые свободные колебания стержня, движущегося в плоскости с постоянной скоростью W. Из уравнений (8.143)—(8.151) получаем (Oi = 1, Л33 == 1) [c.201]

Рассмотрим частный случай, когда стержень в естественном состоянии имеет осевую линию, лежащую в плоскости, а одна из главных осей сечения перпендикулярна этой плоскости. При движении стержня в плоскости ряд компонент векторов, входящих в уравнения (8.30)—(8.36), обращается в нуль [c.339]

Задача 1096. Однородный стержень длиной I п массой т движется в плоскости хОу. На стержень действуют постоянный момент М и сила F, приложенная в его середине, величина которой пропорциональна угловой скорости стержня (коэффициент пропорциональности k), а направление параллельно оси Ох. Найти уравнения движения стержня, если его середина С находилась в начальный момент в начале координат и имела скорость направленную по оси Оу. Начальная угловая скорость стержня равна нулю. [c.380]

Задача 1097. Однородный стержень длиной I и массой т движется в плоскости хОу. На стержень действует постоянная сила F, параллельная оси Ох и приложенная в его середине, и момент, пропорциональный абсциссе середины стержня (коэффициент пропорциональности равен k). Найти уравнения движения стержня, если в начальный момент стержень находился в покое и был расположен вдоль оси Ох так, что его середина совпадала с началом координат. [c.380]

Исходные нелинейные уравнения движения стержня, балки или узкой пластинки, происходящего в плоскости г/, z в рамках обобщенных гипотез Кирхгофа — Лява, имеют вид [86, 90, 179] [c.54]

Три точки одинаковой массы т жестко скреплены с прямым стержнем исчезающей массы и длины I первая и третья на концах стержня, а вторая — посередине (рис. 8.3). Все точки обладают одинаковым по величине электрическим зарядом первая и третья — положительным, а вторая — отрицательным. Эта молекула движется в неподвижной плоскости, параллельной напряженности < постоянного однородного электрического поля. Найти уравнение движения молекулы в независимых координатах и реакции стержня. [c.345]

Однородный гладкий тяжелый стержень длины 21 (см. рисунок), помещенный на неподвижный гладкий цилиндр радиуса R, может совершать движение в вертикальной плоскости. Составить уравнения движения стержня (до момента его отрыва от цилиндра) в форме Лагранжа. [c.117]

Этот результат можно получить, ие используя уравнений Лагранжа. Предположим, что система тел (подобная стержням в п. 176), соединенных друг с другом шарнирно, в некоторой точке А ударяется о гладкую преграду, и пусть движение происходит в плоскости. Пусть R есть ударный импульс в точке А, измеряемый от начала соударения до некоторого момента времени t, меньшего, чем продолжительность соударения, и пусть его направление остается неизменным в течение всего удара. Пусть и , Кц, и, v суть составляющие скорости центра тяжести какого-либо одного тела, а Мц, м — угловые скорости соответственно в начале соударения и в момент времени t. Как известно, динамические уравнения, связывающие взятые по всей системе эффективные силы т (и — Uq), т (v — Vq) и пары сил с моментом mk (ш — сОо) с ударным импульсом R, являются линейными, п. 169. Уравнения, которые выражают равенство скоростей точек, шарнирно связанных друг с другом, также линейны относительно скоростей и, v, ш. Если предположить, что отсутствуют щарниры, размыкающиеся в результате удара, то уравнения будут такими же относительно разностей и — щ, v — Кц, м — щ. Таким образом, необходимо решать только линейные уравнения отсюда для каждого тела находим и — и = aR, V — Vq — bR,. .., где а, 6,. .. зависят от геометрических характеристик системы. Следовательно, если о, г. 2 суть значения какой-либо из компонент движения в начале удара, в момент наибольшего сжатия и в конце удара, то имеем 2 — Щ— ( 1 — о) ( + в)- [c.347]

Материальная точка А массы mi движется в вертикальной плоскости по внутренней гладкой поверхности неподвижного цилиндра радиуса /. Материальная точка В массы m2, присоединенная к точке А посредством стержня АВ длины /, может колебаться вокруг оси А, перпендикулярной плоскости рисунка. Положения точек А п В определены с помощью углов а и ф, отсчитываемых от вертикали. Составить дифференциальные уравнения движения системы. Написать дифференциальные уравнения малых колебаний системы. Массой стержня АВ пренебречь. [c.365]

Пример. 22.4. Эллиптическим маятником называется система, состоящая из двух тел, одно из которых Mr веса Р скользит без трения по горизонтальным направляющим, а другое Л/а ве-са Рз соединено с пим невесомым стержнем длины I и совершает колебания в вертикальной плоскости (рис. 22.10). Составить уравнение движения п определить период малых колебаний эллиптического маятника. [c.405]

Следует заметить, что при замене уравнения движения первым интегралом возможно привнести в рассмотрение побочное решение, обусловленное математическим способом нахождения первого интеграла. Например, рассмотрим математический маятник, т. е. точку массы т, движущуюся в плоскости и связанную с неподвижной точкой О невесомым нерастяжимым и несжимаемым стержнем От длины I (рис. 80). Пусть на точку действует сила тяжести mg и реакция стержня R, направленная по стержню. [c.97]

Пример 11.2. Стержень ОА (рис. 11.4) вращается в плоскости чертежа вокруг неподвижной точки О по закону ф = / . По стержню равноускоренно движется ползун М, удаляясь от точки О. Движение ползуна определяется уравнением [c.114]

Сложность точного анализа этой задачи вызвала появление различного рода приближенных теорий, которые обычно строятся следующим образом. Делается некоторое кинематическое предположение о характере распределения перемещений, составляется функционал действия по Гамильтону, варьированием этого функционала получается дифференциальное уравнение или система дифференциальных уравнений задачи (идея чрезвычайно близкая к той, которая лежит в основе построения технической теории изгиба балок и пластин). Простейшая теория, которая будет изложена ниже, основывается на уравнении, выведенном еще Рэлеем. Это уравнение содержит предположение элементарной теории о сохранении плоских сечений, но принимает во внимание инерцию поперечного движения элементов стержня. Направим ось Xi по центральной оси стержня произвольного поперечного сечения, тогда оси и Хз будут лежать в плоскости поперечного сечения. Полагая деформацию = независящей от Хг х , найдем вгг = зз = —vmi, i, следовательно, перемещения равны [c.449]

Шесть произвольных постоянных можно определить из условий на опорном сечении. Опирание должно быть таким, чтобы воспрепятствовать любому движению стержня как абсолютно твердого тела. Чтобы воспрепятствовать поступательному движению стержня, закрепим центр тяжести верхнего конца А так, чтобы при х у = 0, г = 1 выполнялось u = v = w=0. Чтобы исключить вращение стержня относительно осей, проходящих через точку А и параллельных осям хну, закрепим элемент оси 2 в точке Л. Тогда в этой точке ди/дг = dv/dz = 0. Возможность вращения относительно оси z исключается в силу закрепления элементарной площадки, проходящей через точку А и параллельной плоскости ZX. Тогда dv/dx = 0 в точке А. Используя уравнения (м), придаем шести условиям в точке А вид [c.291]

Две материальные точки в плоскости соединены, стержнем постоянной длины I и могут двигаться только так, чтобы скорость середины стержня выла направлена вдоль стержня (движение конька по плоскости). Уравнения связей записываются следующим образом [c.14]

Пример 2. Найдем дифференциальное уравнение движения плоского математического маятника. Маятник будем для простоты представлять в виде точечной массы т, прикрепленной при помощи невесомого стержня длиной I к точке А, вокруг которой стержень может вращаться без трения в вертикальной плоскости. Направляя оси Ах и Ау декартовой системы координат, как показано на рис. 55, получаем [c.105]

Пример 2 (Движение стержня, опирающегося на горизонтальную плоскость и ВЕРТИКАЛЬНУЮ ось). Пусть в однородном поле тяжести движется бесконечно тонкий однородный стержень длиной 21 и массой т. Нижний конец стержня перемещается по гладкой горизонтальной плоскости, а верхний его конец на рассматриваемой стадии движения опирается на гладкую вертикальную ось 0Z (рис. 143). Найдем полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби в этой задаче. [c.366]

С момента отрыва от вертикальной стенки стержень будет иметь не одну, а две степени свободы (по предположению движение происходит в вертикальной плоскости), для определения движений его в новых условиях нужно составить уже два дифференциальных уравнения. В качестве упражнения предла- гаем читателю определить угловую скорость и положение конца А стержня в момент его падения на горизонтальную плоскость. [c.445]

Пример 1. Получить уравнения движения в форме Гамильтона для консервативной механической системы с одной степенью свободы. Система состоит из невесомого стержня АВ длиной 2а и однородного цилиндра массой т радиусом К. Под действием вертикальной силы Р стержень скользит по гладкой горизонтальной плоскости, вращая цилиндр. Между стержнем и цилиндром проскальзывание отсутствует. Сила Р приложена к центру стержня, весом стержня пренебречь (рис. 169). [c.327]

Если считать, что каждое плоское поперечное сечение стержня во время движения остается плоским, а напряжение распределено по нему равномерно, то уравнение движения можно получить непосредственно. Рассмотрим малый элемент стержня PQ длины 8л с площадью поперечного сечения, равной А (фиг. 10). Пусть напряжение в плоскости, проходящей через Р, равно 0 . ., тогда на другом конце элемента напряжение равно второму закону [c.47]

Таким образом, уравнения (3.73) описывают поперечное движение изгибного типа, совершающееся в плоскости, от которой отсчитывается 9 это движение будет определено, если будут найдены выражения для V и так, чтобы были удовлетворены уравнения движения (3.35), (3.36) и (3.37) и граничные условия на поверхности стержня. [c.70]

Две точки массы Шх и с зарядами вх и в2 соединены стержнем исчезающей массы и длины I. Эта гантель движется в постоянном однородном электрическом поле напряженности 6. Начальные условия выбраны так, что движение молекулы происходит в неподвижной плоскости, параллельной напряженности поля. Найти уравнения движения молекулы — гантели и реакции стержня на материальные точки как функции обобщенных координат и скорости. [c.343]

Гладкая плоскость вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг неподвижной горизонтальной оси, лежащей в этой плоскости. В плоскости движется однородный стержень массы т и длины I. Составить уравнение Гамильтона-Якоби для относительного движения стержня и найти его полный интеграл. [c.263]

Известно, что уравнение (12.2) в некоторых областях на плоскости параметров имеет решение, неограниченно возрастающее во времени. Этим областям соответствует неустойчивость невозмущенной формы движения — установившихся продольных колебаний стержня. При малых Хд области неустойчивости лежат вблизи частот [c.353]

Пример 7. Один конец однородного стержня скользит по гладкой наклонной плоскости с углом наклона а другой соединен с небольшим штифтом, который скользит в гладком горизонтальном желобе, расположенном в вертикальной плоскости, перпендикулярной к наклонной плоскости Движение стержня начинается из положения покоя, в котором стержень расположен выше желоба в одной вертикальной плоскости с ним и составляет угол с горизонтом. Показать, что если sin = tg а П + 3 tg а), то стержень при прохождении горизонтального положения оторвется от наклонной плоскости Предполагается, что наклонная плоскость расположена достаточно круто, чтобы значение , определяемое указанным уравнением, было действительным, положительным и меньшим чем а. [c.312]

В качестве объекта для исследования и сравнения между собой точных и приближенных решений уравнений динамики стержней рассмотрим наиболее простую для математического исследования нестационарную задачу, когда плоское движение безграничной пластины вызывается сосредоточенными на плоскости объемными силами, изменяющимися по закону [c.233]

Задача 19.2. Тонкий однородный стержень длиной I имеет на концах пол зуны А и В, которые скользят под действием силы тяжести стержня по направляющим 0D и ОЕ. Направляющие образуют прямой угол DOE, расположенный в вертикальной плоскости (рис. 19.2). Пренебрегая массой ползунов и силами трения, составить дифференциальное уравнение движения стержня и найти его угловую скорость, если направляющая ОЕ горизонтальна. [c.436]

По неподвижной призме А, расположенной под углом а к горизонту, скользит призма В массы тг. К призме В, посредством цилиндрического шарнира О и спиральной пружины с коэффициентом жесткости с, присоединен тонкий однородный стержень OD массы mi и длины I. Стержень совершает колебания вокруг осп О, перпендикулярной плоскости рисунка. Положения Призмы В н стержня OD определены посредстпом координат s п ф. Написать дифференциальные уравнения движения материальной [c.364]

В уравнение (б) подставляем это значение в уравнение (в) подставляем значение момента нперции стер кня J = mP/l2 относительно оси перпендикулярной к плоскости движения стержня хОу [c.237]

Варианты 11-15 (рис. 126). Груз D, массой ш укреплен на конце невесомого стержня, который может вращаться в горизонтальной плоскости вокруг оси Е. Груз соединен с пружиной или с системой пружин положение покоя стержня, показанное иа чертеже, соответствует недефор-мированным пружинам. Считая, что груз D, принимаемый за ма1срналь-ную точку, движется по прямой, определить уравнение движения этого груза (трепием скольжения груза по плоскости пренебречь). [c.141]

Пример 1. Составить диффе])енц[1алыше уравнения движения системы, состоящей из груза Л массой mi, надетого на однородный стержень ОВ длиной I и массой т . Груз связан с неподвижной точкой О пружиной жесткостью с (длина пружины в напряженном состоянии равна а) и может скользить вдоль стержня, а стержень может качаться в вертикальной плоскости вокруг оси О (рис. 278). Массой пружины и трением пренебречь (см. пример определения обобщенных сил в 2). [c.305]

Два одинаковых маятиика длины I качаются в вертикальной плоскости, будучи подвешены к двум точкам жесткого горизонтального стержня, не закрепленного наглухо и при качании маятников перемещающегося в горизонтальном направлении на длину р/(0 + ), где в и у суть углы наклона маятников (отсчитываемые в одном направлении) к вертикали, а р представляет малую величину. Составить уравнения движения и рещить их, определив постоянные таким образом, чтобы в начальный момент один маятник находился в покое в его среднем положении, а другой начал двигаться из его среднего положения с заданною незначительною скоростью. [c.307]

Начнем с простого примера. Пусть система состоит из двух материальных точек Pi и 2, соединенных легким стержнем длиной а, причем а есть заданная функция времени, функция а (t) принадлежит клаёсу j. Для упрощения формул примем, что система совершает движение в плоскости z = О, так что мы будем иметь дело с пространством двух измерений. Пусть массы частиц равны ту и тпг, а заданные силы равны (Xi, Yi) и (Х2, Y y, кроме того, на частицы действует реакция стержня. Координаты частиц удовлетворяют уравнению связи [c.34]

Пример 153. Две материальные частицы mi и j равных масс связаны нейзменя мым стержнем длины I и движутся в плоскости поступательно, равномерно и прямолинейно со скоростью k. Рассмотрим удар этой системы о прямую, составляющую угол а со стержнем и перпендикулярную к направлению движеиия Примем эту прямую за ось Оде. Обозначим через а постояннук абсциссу частицы j и через —начальную ординату частицы/И]. Если считать, что ft>0 и что частица находится ближе к оси Ох, чем частица т , тс уравнения движения взятых частиц будут следующие [c.622]

Будем предполагать, что колебания со-вершаются в одной из главных плоскостей " стержня. В таком случае будем иметь дело с плоским изгибом. Плоскость изгиба примем за координатную плоскость ху (рис. 75). При составлении дифференциального уравнения движения будем исходить из предположения, что поперечные размеры стержня малы по сравнению с его длиной. В таком случае при изучении первых (наиболее низких) типов колебаний можно пользоваться приближенным уравнением для изогнутой оси балки [c.333]

Две материальные точки массами mi и Ш2 связаны между собой упругим стержнем жесткости с и номеш епы на гладкую горизонтальную плоскость стержень не работает на изгиб и на кручение и в нерастяпутом состоянии имеет длину /о массой стержня можно пренебречь. Составить канонические уравнения движения системы. [c.199]

Уравнения, связывающие различные точки системы, называются условиями связи. Статически определимая система должна иметь в пространстве 9 условий связи для каждого тела при движении параллельно плоскости—4 условия связи. Число недостающих уравнений для определения системы называется числом степеней свободы. Для определения положения стержня в пространстве необходимо 9 условий свази на плоскости 4). Если вместо 9 условий связи имеется только 8, то стержень в пространстве будет иметь 1 степень свободы при 7 условиях связи—2 степени свободы и т. д. [c.333]

Должна лежать в соприкасающейся плоскости той кривой, по которой располагается изогнутая ось, и когДа Бине (В1пе1) ввел уравнение моментов относительно касательной, то Пуассон на основании этого уравнения пришел к заключению,-что крутящий момент постоянен. Лишь постепенно возникло представление о двух изгибающих пара в двух главных плоскостях, и был найден способ определения меры закручивания. Когда эти элементы теории были получены, стало ясно, что, зная соотношения, связывающие, изгибающие и крутящие моменты с кривизной и степенью кручения и пользуясь обычными условиями равновесия, можно определить форму изогнутой оси, степень кручения стержня вокруг этой оси, а также растягивающую и Перерезы вающую силу в любом данном сечении. Изгибающие и крутящие. пары, а также растягивающая и перерезывающая силы, происходят от усилий, приложенных к, элементам поперечных сечений, и правильные выражения для этих пар и сил следует искать при помощи общей теории. Но здесь возникает затруднение, состоящее в том, Что общие уравнения применимы лишь тогда, когда смещения малы между тем для таких тел, как спиральные пружины, смещения ни в коем случае нельзя считать малыми. КирхГоф (КтеЬЬоК) первый преодолел Это затруднение. Он показал, что общие уравнения применимы со всей строгостью к малой части тонкого стержня, все линейные размеры которой того же порядка малости, что и диаметры, поперечного сечения. Он считал, что уравнения равновесия или движения такой части можно в первом приближении упростить, пренебрегая силами -инерции и массовыми силами. Исследования, содержащиеся в теории Кирхгофа, носят в значительной своей части кинематический, характер. Когда тонкий стержень подвергается изгибу и скручиванию, то каждый его элемент испытывает деформацию, аналогичную тем деформациям,. которые имеют место в призмах Сен-Венана но соседние элементы должны непрерывным образом переходить один в Другой. Для того чтобы выразить непрерывность этого рода, необходимы некоторые условия. Эти условия принимают форму диференциальных уравнений, которые связывают относительные смещения точек малой части стержня с относительными координатами этих точек и с величинами, которые определяют положение данной части относительно всего стержня в целом. Из этих диференциальных уравнений Кирхгоф получил картину деформации в элементе стерл я и нашел выражение для потенциальной энергии, отнесенной к единице -длины, через относительное удлинение, компоненты кривизны и степень кручения. Он получил уравнения равновесия и колебаний, варьируя функцию, Выражающую энергию. В случае, когда тонкий стержень подвергается действию внешних сил, приложенных лишь иа его концах, уравнения, которыми определяется форма изогнутой оси, идентичны, как показал Кирхгоф, с уравнениями движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Эта теорема носит название кинетической аналогии Кирхгофа . [c.36]

Колебания стержней. Тонкий однородный прямолинейный стержень находится в равновесии под действием сил, приложенных к его концам, при oo6wfiHuu возмущения совершает малые колебания в одной плоскости. Требуется составить уравнения движения. [c.503]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...