Система каноническая эллиптического

Как бы то ни было, для астрономов эллиптические элементы являются более привычными и в большинстве работ, посвященных разложению возмущающей функции, использованы именно эллиптические элементы. Может быть, было бы нетрудно получить разложения, пользуясь каноническими элементами с самого начала. Но тогда нужно было бы заново выполнить уже сделанную работу, а поэтому лучше использовать результаты, уже полученные нашими предшественниками. К счастью, как мы уже говорили, легко перейти от разложения, в котором использованы эллиптические элементы, к разложению, в котором использована какая-либо система канонических элементов. [c.316]

В этих новых координатах решение дисперсионного уравнения с граничными условиями (43) эквивалентно решению канонической эллиптической системы [c.208]

Первая часть теоремы является лишь простым обобщением теоремы Гамильтона, который требует, чтобы произвольные постоянные были начальными и конечными значениями координат и чтобы функция V удовлетворяла еще второму уравнению в частных производных. Вторая часть теоремы, относящаяся к варьированию произвольных постоянных, совершенно новая. Я изложил здесь, ради простоты, только случай свободного движения, но я легко распространил эту теорему на движение системы, подчиненной некоторым условиям. При помощи этой теоремы можно найти путем вычисления элементы, производные которых для возмущенного движения принимают ту простую форму, которую они имеют в теореме, форму, которую я в своей статье называю канонической. Это легко подтверждается в эллиптическом движении, где интегрирование уравнения в частных производных [c.292]

Рис. 72. Фазовый портрет линейной канонической системы эллиптического типа

I) 2 лежит внутри параболы (я<0). Система образует алгебраическое поле, обратный элемент существует у любого элемента, отличного от нуля, и следовательно, допустимо деление на любой отличный от нуля вектор. Такие системы векторов мы будем называть эллиптическими комплексными числами. Простейшей из них является обычная система комплексных чисел, для которой Р — —1 (т. е. а — —1, р = 0) и которую мы будем называть канонической. Можно показать, что любая эллиптическая система алгебраически изоморфна канонической системе (т. е. между этими системами существует взаимно однозначное соответствие, которое сумму векторов переводит в сумму, а произведение — в произведение). [c.53]

В дальнейшем основную роль будут играть эллиптические и гиперболические системы комплексных чисел случай параболических систем является промежуточным. Для простоты письма мы будем рассматривать только канонические системы, для которых соответственно — 1 и Р = 1. [c.55]

Исследование динамических контактных задач для многослойных сред с расположенными в них дефектами (полостями или упругими включениями) связано с многочисленными трудностями как чисто теоретического, так и практического характера. Это обусловлено тем, что исследуемая область характеризуется большим количеством параметров, которые определяют соотношения упругих и геометрических характеристик слоев, положение полости по отношению к границам раздела сред и поверхности, форму границы неоднородности (полости или включения). Кроме того различные части границ области (границы слоев и неоднородности) описываются в различных системах координат, даже в случае полости (включения) канонической (крз -овой или эллиптический цилиндр, сфера, эллипсоид) формы. Еш,е сложнее комплекс проблем в случае неоднородности сложной формы. Указанные факты, по-видимому, определяют весьма ограниченное количество публикаций, посвяш,енных данной проблематике как в отечественной, так и в зарубежной литературе. [c.311]

Основу принципа максимума для данных задач составляют функции zг Ь, х), играющие здесь роль вектора "ф и удовлетворяющие системе уравнений в частных производных, канонически сопряженной с исходной системой. Аналогичные результаты получены и для управляемых процессов, описываемых краевыми задачами для уравнений эллиптического типа, задачей Гурса для системы гиперболических уравнений, а также подобными задачами для уравнений первого порядка. Здесь минимизируемыми функционалами также являлись в большинстве случаев интегральные выражения. [c.238]

Следует иметь в виду, что для нелинейного вырождающегося эллиптического уравнения этот результат, вообще говоря, не справедлив. Так, система (31) имеет решение с прямой звуковой линией (г = О при г < О при (р < при этом ди/д(р = О при г = О (гл.2, 5). Парадокс раскрывается тем, что приведение системы (31) к каноническому виду (32) неизбежно связано с переходом в плоскость годографа, в которой указанное решение определено так, что прямая звуковая линия изображается точкой излома границы дозвуковой области, т. е. условие теоремы Жиро о гладкости границы не выполнено. [c.50]

Исторический комментарий. Для уравнений динамики в форме (2.10), (2.11) Н. Г. Четаев [181] также развивал теорию интегрирования, аналогичную методу Гамильтона-Якоби. Однако, если в каноническом случае успех в разделении переменных связан с особо замечательными системами координат на конфигурационном пространстве (типа эллиптических или сфероконических), то для алгебраической формы записи (2.10), (2.11) таким путем удается исследовать только тривиальные симметрии (имеющиеся, например, в случае Лагранжа (см. гл. 2)). [c.36]

Проблема интегрируемости. Переход от уравнений движения (1.1) и (2.7) к гамильтоновой системе со скобкой (1.10) и (2.17), описывающей эволюцию взаимного расположения вихрей, соответствует процессу редукции в алгебраической форме. Для реального понижения порядка необходимо, так же как и в случае плоскости, ввести некоторую систему координат (не обязательно канонических) на симплектических листах, которые и являются фазовым пространством приведенной системы. В дальнейшем ( 3) мы проделаем эту процедуру для частного случая при N = Ъ, при введении канонических (симплектических) координат, которые выражаются в очень частном случае через эллиптические функции. При К = 4 нам удалось построить соответствующие симплектические координаты только для случая плоскости, для случая сферы можно указать лишь общие соображения, позволяющие разобрать общий алгоритм, хотя и не являются каноническими, но также могут быть использованы для аналитических и численных исследований. [c.43]

Для ЭТОГО можно воспользоваться любой системой из четырех канонических элементов, определяющих эллиптическое движение. Для практических вычислений удобно выбрать такую систему, чтобы необходимые частные производные можно было вычислить, минуя деление на эксцентриситет, и именно так будет здесь сделано. [c.350]

Главы XI и XII относятся к плоскому напряженному состоянию. Проведено подробное исследование уравнений пластического равновесия и преобразование их к каноническим системам для двух видов условий текучести. Показано, что эти уравнения в зависимости от характера напряженного состояния могут быть не только гиперболическими, но и эллиптическими. [c.5]

Укажем ряд канонических представлений интегралов, с помощью которых формулируются разрешающие системы уравнений через эллиптические интегралы Лежандра [c.275]

Применение э.1липтических э.1ементов. В 58 мы определили четыре системы элементов, а именно, одну систему эллиптических элементов и три системы канонических элементов. [c.89]

Остановимся подробнее на получении системы интегро-функциональ-ных уравнений контактной задачи. Использование принципа суперпозиции предполагает возможность получения аналитического решения краевой задачи динамической теории упругости с однородными граничными условиями в напряжениях для составляющих многослойную область с каноническим включением элементов. Таковыми являются однородный упругий слой, однородное упругое полупространство, полость в безграничном пространстве и упругое включение, граница которого тождественна границе полости. Решение задач для однородного слоя (полупространства) строится методом интегральных преобразований с использованием принципа предельного поглощения и может быть получено в виде контурного несобственного интеграла [2,4,14]. В зависимости от постановки задачи (пространственная, плоская, осесимметричная) получаем контурные интегралы типа обращения преобразования Фурье или Ханкеля [16]. Решение задачи для пространства с полостью, описываемой координатной поверхностью в ортогональной криволинейной системе координат, получаем в виде рядов по специальным функциям (сферическим, цилиндрическим (Ханкеля), эллиптическим (Матье)) [17]. При этом важно корректно удовлетворить условиям излучения, для чего можно использовать принцип излучения. Исключение составляет случай горизонтальной цилиндрической полости при исследовании пространственной задачи. Здесь необходимо использовать метод интегральных преобразований Фурье [16] вдоль образующей цилиндра и принцип предельного поглощения [3] для корректного удовлетворения условиям излучения энергии вдоль образующей. [c.312]

Возможные топологические структуры состояния равновесия О (О, 0) системы (А) устанавливаются в следующих теоремах 66 и 67. Будем называть состояние равновесия, каноническая окрестность которого состоит из двух гиперболических секторов, вырожденным состоянием равновесия. Если же каноническая окрестность точки О состоит из одного гиперболического и одного эллиптического сектора, то мы будем называть точку О состоянием раеновесия с эллиптической областью. [c.397]

Эта общая теорема позволяет доказать, что в задаче о движении N планет существуют условно-периодические решения, если массы планет достаточно малы и их невозмущенные эллиптические движения происходят в кольцеобразных областях трехмерного пространства, не пересекающихся друг с другом. Последнее условие для всех больших планет (исключая Плутон) выполняется. Применение теоремы Арнольда в небесной механике возможно, если написать уравнения движения в канонических переменных Делоне (см. ч. IV, гл. 1) и воспользоваться теоремой Биркгофа [41] о приведении гамильтоновой системы к нормальной форме. Роль частот соо играют средние движения планет. [c.803]

Аналитическую теорию движения спутника с учетом величин второго порядка малости можно найти, например, в работах М. Д. Кислика [5] и А. Страбла [17]. В обшем подходе к описанию возмущенного движения спутника А. Страбл следует, по существу, идее Ганзена разложения движения, хотя вывод уравнений движения им получен новым пзггем и в иной форме. Он при интегрировании уравнений применяет методы теории нелинейных колебаний, в частности метод асимптотической теории Н. М. Крылова— Н. Н. Боголюбова — Ю. Д. Митропольского [1, 7 им получен ряд интересных результатов. А. Страбл в своей работе не придерживается общепринятых в небесной механике классических определений, что, как нам кажется, не является вполне оправданным. Совершенно иначе подошел к задаче М. Д. Кислик. Положение спутника относительно основной системы он определяет эллиптическими координатами, а уравнения движения записывает в канонической форме интегрирование уравнений он проводит классическим методом Гамильтона — Якоби. Известно, что в большинстве случаев в задачах небесной механики уравнение Гамильтона — Якоби не интегрируется в квадратурах М. Д. Кислик, оставаясь в пределах точности до второго порядка малости включительно, преобразовал выражение земного потенциала и разрешил уравнение Гамильтона Якоби в квадратурах. [c.10]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...