Сектор гиперболический

Седловая дуга без контакта 339, 350 Седловой сектор (область) 316 Сектор гиперболический 329 [c.578]

Под сепаратрисой положения равновесия типа седло-узел подразумевается здесь часть центрального многообразия, не принадлежащая двумерному устойчивому или неустойчивому множеству другими словами, общая граница двух гиперболических секторов. [c.101]

Другое представление аргумента д —удвоенная площадь сектора АОМ (ср. геометрическое определение гиперболических функций, стр. 135). [c.130]

В случае гиперболической орбиты можно эксцентрическую аномалию 7 представить в виде I = Н и числу Н тоже можно дать геометрическое истолкование, а именно рассматривать его как площадь некоторого гиперболического сектора. Но мы на этой интерпретации останавливаться не будем, ибо она мало полезна. [c.107]

Аргумент ср гиперболических функций геометрически представляет собой удвоенную площадь гиперболического сектора ОАМ подобно тому, как аргумент а тригонометрических функций может быть истолкован как удвоенная площадь кругового сектора ОАМ (см. фиг. 71). [c.125]

В случае, когда полутраектории и Ь — сепаратрисы, являющиеся продолжением одна другой, и через сколь угодно близкие к О точки сектора проходят траектории, при возрастании и при убывании t выходящие из сектора g, этот сектор называется гиперболическим или седло-вым сектором. [c.324]

Рассмотрим множество Н, состоящее из точек всех правильных параболических областей (выделенных в параболических секторах всех правильных гиперболических областей (выделенных в гиперболических секторах д) и всех эллиптических областей gaJ внутри петель, образованных траекториями всех полутраекторий ( ), за исключением точек Рк и, кроме того, из точки О. [c.351]

В силу 1) II 2) очевидно, что между полутраекториями п ле /кит гиперболическая область (сектор), а между L и L , L и Lt и т. д.— [c.352]

В 21 изучаются состояния равновесия (указанного типа), имеющие одно отличное от нуля характеристическое число (б =/= 0). В этом случае состояние равновесия может иметь либо характер седла, либо уз.ла, либо это — так называемое седло — узел (состояние равновесия с одним параболическим и двумя гиперболическими секторами). [c.362]

Лемма 2. Предположим, что состояние равновесия Оу (О, ку) является простым седлом системы (13). Тогда 1) если состояние равновесия 0-1 (О, /сг) есть узел, то каноническая окрестность состояния равновесия О (О, 0) состоит из двух гиперболических секторов и двух параболических секторов 2) если 0- (О, /сг) есть седло, две сепаратрисы которого расположены по разные стороны оси т], то эта окрестность состоит из шести гиперболических секторов 3) если 0 (О, кг) есть седло — узел, обе седловые области которого расположены по одну сторону от оси т], то каноническая окрестность точки О состоит из четырех гиперболических секторов и одного параболического сектора. [c.392]

О и 0 = л (см. п. 2 21). Полагая а = О во втором из уравнений (36), убеждаемся в том, что полуоси оси у являются положительными полутраекториями. Полагаем у — О в уравнениях (36), убеждаемся в том, что сепаратриса гиперболических секторов расположена выше оси х. Из всего сказанного получаем расположение [c.407]

Элементарные дуги и свободные циклы без контакта. Предположим, что выбрана некоторая правильная система канонических окрестностей. Всюду в дальнейшем будем обозначать канонические окрестности через (у) и g), канонические кривые зтой правильной системы канонических окрестностей — через (С), (а) и через (I) — параболические дуги канонических кривых (а). Кроме того, в согласии с введенным выше обозначением будем через (Г) обозначать граничные простые замкнутые кривые и через (к) — граничные дуги без контакта, и через (Хс) — седловые дуги, т. е. дуги без контакта, входящие в границы гиперболических секторов (см. 18, п. 3). При этом, как и выше, (см. 19, п. 2) седловую дугу будем называть со-седловой, если в точках этой дуги, отличных от концов, траектории входят внутрь седловой области, и а-седловой дугой, если в точках этой дуги, отличных от концов, траектории выходят из этой области. Очевидно, каждая седловая область g имеет одну граничную со-седловую дугу и одну а-седловую дугу без контакта. Так как выбранная система канонических окрестностей правильная, то только один конец всякой седловой дуги принадлежит особой полутраектории. Конец а-седловой дуги, граничной для седловой области g , одновременно является и концом а-сепаратрисы, входящей в границу области g , а конец ы-седловой дуги — концом ы-сепаратрисы, входящей в границу этой области. [c.458]

У соответствующих друг другу в силу 1) канонических окрестностей и канонические области одинакового типа эллиптические, параболические и гиперболические) соответствуют друг другу и соответствуют друг другу также дуги канонических кривых и а, входящие в границы, этих секторов т. е. эллиптические и параболические дуги, седловые дуги траекторий и седловые дуги без контакта), а также концы этих дуг. При этом а) соответствующие друг другу концы соответствующих друг другу параболических дуг принадлежат либо соответствующим друг другу особым элементам траекториям или полутраекториям), либо соответствующим друг другу эллиптическим дугам б) концы соответствующих [c.486]

Таким образом, мы должны рассмотреть случай, когда состояние равновесия О не является ни центром, ни топологическим узлом, т. е. его окрестность содержит по крайней мере один эллиптический или гиперболический сектор. Обозначим через р число параболических секторов канонической окрестности состояния равновесия О, через п — число всех секторов (п = к е + р). [c.559]

В заключение заметим, что в силу формулы Бендиксона числа эллиптических и гиперболических секторов состояния равновесия О имеют одинаковые четности, т. е. е = й, (mod 2). Это утверждение, впрочем, легко доказать непосредственно, рассматривая направления на полутраекториях L , Ь ,. . ., входящих в границы секторов. [c.562]

Мы будем говорить, что сепаратрисы L и Li являются продолжением одна другой, если они ограничивают один и тот же гиперболический сектор. [c.61]

Для кругового кольцевого сектора (фиг. 89а) дано решение А. С. Локшиным ), определившим коэфициент жесткости К и ), а также В. П. Лысковым, который решал задачу в криволинейных координатах и получил форму ряда, отличающуюся от формы А. Н. Динника тем, что ряд представлен через тригонометрические и гиперболические функции. [c.109]

Мы видим из формулы (10), что с возрастанием i величина S убывает, а цотому отношение тоже убывает. Это согласно с вышеупомянутыми наблюдениями над самовра-щением секторов. Пользуясь таблицами гиперболических функций, легко по данному ji из формулы (11) определить h [c.702]

Площадь гиперболического сегмента AMN Р ху-аЫп(- + -1-). Площадь гиперболического сектора OMAN [c.86]

Одна из полутраекторий является ю-сепаратрисой, а другая — сс-сепаратрисой состояния равновесия О. В секторе g/,, т. е. между и не лежит ни одна сепаратриса, а в рассматриваемом случае не лежит также ни одна петля (так как всякая иетля, содержащаяся внутри окрун ности С, лежит в каком-нибудь эллиптическом секторе). Поэтому рассматриваемый сектор заведомо не является эллиптическим. А тогда нетрудно убедиться на основании леммы 4 17 и следствия из леммы 5 17, что все проходящие через точки сектора gk траектории и прп возрастании и при убывании t выходят из этого сектора и сепаратрисы и являются продолжением одна другой. Такой сектор мы назвали (см. п. 2 17) гиперболическим сектором (рис. 205, в). [c.349]

Выдо.пим в каждом гиперболическом секторе g правильную гиперболическую область, опирающуюся на дугн без контакта и с концами в точках P II Pj + i, лежащих на сепаратрисах, ограничивающих сектор g . Обозначим через 5 i дугу траектории, входящую в границу этой правильной седловой области, концами которой являются концы дуг л и Ки -Назовем дугу Si+i гиперболической дугой, а дуги без контакта A , /4 + i — седловыми дугами без контакта . Как и раньше, ту из дуг 7 , ч + ь конец которой лежит на а-сепаратрисе, будем называть а-седловой дугой без контакта, а ту из дуг, конец которой лежит на сс-сепаратрисе, — а-ссдло-вой дугой без контакта. [c.350]

Пусть, как и выше, С/ (О) — Бо-окрестность состояния равновесия О, кроме О не содержащая целиком ни одной особой траектории. Криволинейные секторы gi, на которые сепаратрисы и полутраектории петель разделяют окрестность Ugg (О), подразделяются особыми полутраекториями, не являющимися сепаратрисами точки О, на более мелкие криво.линей-ные секторы. Принимая во внимание лемму 5 17, нетрудно убедиться в том, что между двумя последовате.льными в циклическом порядке особыми полутраекториями лежит а) со-параболическии ссктор, если обе эти полутраектории положительны, и а-параболический, если обе полутраектории отрицательны б) эллиптическая или гиперболическая область, если одна из этих полутраекторий положительна, а другая отрицательна. Как и выше, мы можем вместо того, чтобы рассматривать полутраектории, выделенные из петель, рассматривать все различные эллиптические об.ласти состояния равновесия. [c.357]

В 22 рассматривается случай, когда оба характеристических числа равны нулю (б = 0). В этом с.лучае могут представиться семь возможностей — седло, узел, фокус, центр, седло — узел, а также выроячденное состояние равновесия (два гиперболических сектора) и состояние равновесия с эллиитическо областью (имеющее один эллиптический и один гиперболический сектор). Применяемый в этой главе метод исследования принад.лежит Бендиксону [33]. [c.362]

В случае, когда т четно и А <<0, векторное поле на кривой I/ — Ф (ж) имеет направление, указанное на рис. 228, в случае > О — противоположное направление. Тогда при А сО (А, >0) Рис. 228. внутри сектора OM M-i (OMzMi) не существует положительных полутраекторий, стремящихся к точке О — это устанавливается в точности так же, как при доказательстве утверждения 1), и, следовательно, этот ссктор является параболическим внутри же сектора ОМ2.М1 не может существовать двух полутраекторий, стремящихся к точке О — это устанавливается в точности так же, как при доказательстве утверждения 2), и, следовательно, этот сектор состоит из двух гиперболических. Теорема доказана полностью. [c.385]

Б) Предположим теперь, что и V2 — правильные гиперболические области. В этом случае Ьу и Ьу являются отрицательными, а 2 и 2 — положительными полутраекториями (рис. 231). Покажем, что если го — достаточно малая окрзстность точки О, то часть ее ги (лежащая выше полутраекторий Ьу и г) есть гиперболическая область. Действительно, если через точку области го проходит полутраектория, стремящаяся к О, то, начиная с некоторого значения 1, она лежит целиком в криволинейном секторе Пу, или целиком в Иг- Соответствующая ей полутраектория на плоскости х, т ) стремится к точке О и, начиная с некоторого значения I, це.чиком лежит в секторе Ьу или гГг. Но это противоречит условию. [c.390]

Возможные топологические структуры состояния равновесия О (О, 0) системы (А) устанавливаются в следующих теоремах 66 и 67. Будем называть состояние равновесия, каноническая окрестность которого состоит из двух гиперболических секторов, вырожденным состоянием равновесия. Если же каноническая окрестность точки О состоит из одного гиперболического и одного эллиптического сектора, то мы будем называть точку О состоянием раеновесия с эллиптической областью. [c.397]

Получаем т = 2 и А = —аР < 0. Согласно теореме 65 состояние равновесия системы (37), а следовательно, и системы (36) яв.чяется седло — узлом, внутрп гиперболических секторов которого заключен отрезок положительной полуоси X. [c.407]

Дополнительно заметим, что ось у состоит из траекторий спстемы (39), гиперболические секторы согласно теореме 65 расположены слева от оси у и сепаратриса, разделяющая эти секторы, лежит ниже оси х (зто нетрудно видеть, рассматривая направление поля на оси х). Далее, так же, как в примере 1, заключаем, что все траектории, стремящиеся к точке О (О, 0), кроме нолуосей оси у, стремятся в направлении 0 = О и 0 = я, т. е. касаются оси х в точке О (О, 0). [c.408]

На рис. 344, о представлен первый этап иостроения. Л1ежду сепаратрисой а эллиптической областью 0(, т. е. в заштрихованном секторе, больше уже ие строятся элл1штичоские области заштрихованный сектор в окончательном расположении траекторий является гиперболическим. Что же касается незаштрихованного сектора, то в нем на следующем этапе будут построены сепаратриса и эллиптическая область. Предположим, что точки п А[ на рис. 344, а являются диаметрально противоположными, II пусть диаметрально противоположные точки А2 и А делят соответственно полуокружности и A lAJ пополам. [c.558]

В заключение мы докажем теорему Бендиксона, устанавливающую связь между числом гиперболических и эллиптических секторов состояния равновесия и его индексом Пуанкаре. Пусть (I) — дипамическая система, О — ее изолированное состояние равновесия, к — число его гиперболических секторов (т. е. число гиперболических секторов достаточно малой окрестности точки О), е — число эллиптических секторов, 1 = /(О) — индекс Пуанкаре. [c.559]

Кроме того, ни при каких положениях точек М и М2 гиперболический сектор, выделяемый радиусами п, гг и дугой траектории М1М2, не будет содержать второго (непритягивающ его) фокуса Р2. Поэтому в случае гиперболической орбиты можег иметь место только сектор первого рода, когда гиперболический сегмент, ограниченный дугой траектории между точками М и М2, а также хордой М1М2, не содержит второго фокуса. [c.115]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...