Топологическая структура состояния равновесия

Если в точке, являющейся состоянием равновесия, существует локальная топологическая структура, то мы будем называть ее топологической структурой состояния равновесия. [c.132]

Мы увидим, что в первых трех случаях топологическая структура состояния равновесия определяется линейными членами системы (4). При этом топологическая структура состояний равновесия такая же, как и у линейной системы [c.145]

Случаи 1) — 3) можно выделить как случаи, когда характеристические корни имеют не равные нулю действительные части ). Кроме того, мы увидим, что топологическая структура состояния равновесия в первых двух случаях одинакова. Эти случаи иногда объединяют в один, называя его случаем, когда действительные части характеристических корней не равны нулю и имеют одинаковые знаки. [c.145]

Случай 4) — чисто мнимых характеристических корней — является более сложным. Топологическая структура состояния равновесия в этом случае не определяется характеристическими корнями, т. е. не определяется линейными членами. Она зависит от членов более высоких степеней и в зависимости от них может быть различной. Этот случай рассматривается в 8. [c.145]

Топологическая структура состояния равновесия в этом случае устанавливается совсем другим методом, чем в предыдущих двух случаях. Согласно этому методу в окрестности точки О, II (О), не содержащей отличных от О состояний равновесия, выделяются отрезки без контакта, позволяющие судить о поведении траекторий в окрестности состояния равновесия О. [c.153]

Кроме того, в настоящей главе дается описание топологической структуры состояния равновесия, т. е. вводится схема состояния равновесия. [c.316]

Из замечания 1, очевидно, следует, что в случае конечного числа особых траекторий всякое состояние равновесия имеет определенную топологическую структуру в смысле определения, данного в 5, и что локальная схема описывает топологическую структуру состояния равновесия. При этом очевидно (см. лемму 7 18), что когда схемы двух состояний равновесия различны, то различны и их топологические структуры. [c.356]

Упрощение исследования. Примеры. Покажем прежде всего, как можно упростить исследование топологической структуры состояния равновесия О (О, 0) системы (5) [c.404]

Для исследования топологической структуры состояния равновесия [c.406]

Отметим, что рис. 238—239, 245, 246 иллюстрируют рассмотрение траекторий в окрестности состояния равновесия О (О, 0) в том случае, когда направлениями, по которым траектории стремятся к состоянию равновесия, являются направления осей координат. В случае, когда это не так, рисунок, очевидно, будет несколько иной, хотя топологически структура состояния равновесия при этом, конечно, остается той же самой. [c.406]

Таким образом, топологическая структура состояния равновесия определена. Для того чтобы представить себе расположение траекторий в окрестности состояния равновесия более полно, отметим некоторые дополнительные факты для системы (36). Ось у состоит из траекторий системы (36), а все остальные траектории, стремящиеся к точке О, подходят к ней в направлениях [c.407]

Следовательно, к = 2т + 1 = 3, т = 1, а = —3 <0, и = 1, = = —1 <0 и А = + 4 (ш + 1) а2т+1 = 25 > 0. Так как здесь к — нечетное число, а < О, то = и, Х > О и к — нечетное число, то в силу теоремы 66 состояние равновесия О системы (40) является состоянием равновесия с эллиптической областью. Топологическая структура состояния равновесия таким образом установлена. Легко видеть, что ось х является интегральной кривой системы [c.409]

Качественная (топологическая) структура состояния равновесия в случае конечного числа особых траекторий. Схема динамической системы. Внося точный смысл в интуитивно ясное понятие качественной. (топологической) структуры состояния равновесия, прежде всего нужно отчетливо сформулировать различие между собственной, или локальной, окрестностью состояния равновесия и областью, которая уже не является собственной окрестностью состояния равновесия. На рис. 30, а область внутри окружности, содержащая одно только состояние равновесия, очевидно, не является его собственной окрестностью, в то время как на рис. 30, б соответствующая область является собственной окрестностью состояния равновесия. [c.57]

Итак, если известны все состояния равновесия, предельные циклы и их характер, а также расположение сепаратрис, то это позволяет полностью установить топологическую структуру всех ячеек и их взаимное расположение, т. е. полностью выяснить структуру разбиения фазовой плоскости на траектории. [c.43]

Локальная топологическая структура может существовать также в точке, являющейся состоянием равновесия. Нетрудно показать, что это имеет место во всех примерах, рассмотренных в п. 14 1. [c.132]

В настоящей книге в основном рассматриваются динамические системы, имеющие локальную топологическую структуру во всех точках. Так как в точках, отличных от состояний равновесия, локальная топологическая структура всегда существует, причем одна н та же, то, очевидно, системами, имеющими локальную топологическую структуру, являются системы, у которых состояния равновесия имеют локальную топологическую структуру. [c.132]

Первый аспект — это выяснение того, каковы вообще возможные свойства разбиения на траектории (при тех или других ограничениях на правые части). Как по своему характеру, так и по своим методам круг вопросов, который при этом возникает, непосредственно примыкает к содержанию главы И, т. е. к исследованию возможных типов отдельной траектории, а также к рассмотрению простейших основных свойств разбиения на траектории в целом, которое дается предложениями 4. Дальнейшее исследование свойств разбиения на траектории, естественно, поднимает целый ряд новых вопросов. Простейшие примеры разбиений на траектории ( 1) показывают, что не все траектории равноправны, что среди траекторий существуют некоторые исключительные траектории, которые естественно назвать особыми . Такими траекториями являются, например, состояния равновесия и замкнутые траектории. Естественно поставить вопрос о внесении точного смысла в понятие особой траектории, о выделении вообще всех возможных типов особых траекторий, об их роли в разбиении и т. д. Наконец, возникает вопрос, каковы сведения о траекториях, в частности об особых траекториях, необходимые для определения топологической структуры разбиения на траектории, хотя бы в случае некоторых сравнительно узких классов динамических систем. Последний вопрос непосредственно и органически связан с вопросом, затронутым в п. 2, [c.133]

Таким образом, логически последовательный путь изучения разбиения на траектории, казалось, должен был бы заключаться сначала в исчерпывающем решении вопросов первого круга, т. е. вопросов о том, каковы вообще свойства разбиения на траектории, чем определяется его топологическая структура и т. д., а затем уже в нахождении эффективных приемов исследования разбиения в целом. Однако порядок изложения, принятый в настоящей книге, не следует этому, если так мояшо выразиться, формально последовательно-му порядку мы сначала излагаем (в следующих трех главах) основные классические приемы эффективного исследования, которые позволяют рассмотреть ряд примеров и накопить некоторый наглядный материал, а затем уже переходим к более детальному исследованию свойств разбиения на траектории в целом. Отметим, что фактическое развитие качественной теории динамических систем не шло указанным формально последовательным путем. Такими классическими приемами эффективного исследования являются прежде всего методы исследования простейших состояний равновесия, излагаемые в следующей главе. [c.134]

Глава IV состоит из пяти параграфов ( 6—10). Главным ее содержанием является исследование топологической структуры простых состояний равновесия. [c.135]

При исследовании топологической структуры простых состояний равновесия основную роль играет так называемое характеристическое уравиение и его корни — характеристические корни (числа) — состояния равновесия. В случае простого состояния равновесия характеристические корни не равны нулю. В зависимости от корней характеристического уравнения (в зависимости от того, являются ли они действительными или комплексными, а также от того — различны оии или равны) система (I) может быть надлежащей линейной заменой переменных приведена в окрестности состояния равновесия к особенно простому, так называемому каноническому виду . Приведение к каноническому виду излагается в 6. [c.135]

Некоторые предварительные замечания относительно возможной топологической структуры простых состояний равновесия. Рассмотрим систему (1), предполагая, как и выше, что состояние равновесия О (О, 0) является простым (т. е. Д О, так что ни один из корней и Яг не равен нулю). [c.145]

При рассмотрении вопроса о том, какую топологическую структуру может иметь простое состояние равновесия, естественным является, как мы увидим, разделение на следующие случаи 1) характеристические числа Я-1 и 2 действительны и имеют одинаковые знаки (состояние равновесия называется узлом), 2) характеристические числа комплексно-сопряженные и действительные части их не равны нулю (состояние равновесия называется фокусом), 3) характеристические числа действительны, но разных знаков (состояние равновесия называется седлом), 4) характеристические числа чисто мнимые. [c.145]

Как уже было сказано во введении, вопрос о том, стремятся ли траектории системы к состоянию равновесия в определенных направлениях и в каких именно, выходит за рамки чисто топологических рассмотрений динамической системы. Однако знание указанных направлений позволяет представить более конкретно характер расположения траекторий вблизи состояния равновесия. Кроме того, как мы увидим в дальнейшем (см. главу IX), нахождение направлений, в которых траектории могут стремиться к состоянию равновесия в случае сложного состояния равновесия (для которого А = 0), является одной из составных частей метода исследования его топологической структуры. [c.183]

Рассмотрение частных примеров разбиений на траектории (например, разбиений в случае систем (9) и (11) 1, п. 14) приводит к заключению, что не все траектории равноправны, что во всяком разбиении есть такие траектории, которые естественно назвать особыми , в отличие от остальных неособых траекторий. В рассмотренных выше примерах такими особыми траекториями являлись состояния равновесия, предельные циклы и сепаратрисы седел. Непосредственно представляется очевидным, что при установлении топологической структуры разбиения на траектории знание числа и расположения таких особых траекторий играет фундаментальную роль. [c.256]

Естественно полагать, что знание характера (топологической структуры) всех состояний равновесия, знание взаимного расположения особых траекторий, а также указание среди особых траекторий тех, которые входят в предельные континуумы, также дает исчерпывающие сведения [c.315]

В таком аспекте проводится в следующих главах рассмотрение вопроса о полном определении топологической структуры разбиения на траектории. Такой аспект, когда основными элементами, которыми непосредственно определяется качественная структура, являются характер состояний равновесия и знание предельных континуумов (а не расположение и характер ячеек), представляется естественным также с точки зрения фактического качественного исследования конкретных примеров (см. исследование примеров главы ХП). [c.315]

Сейчас мы будем выделять их, т. е. мы будем выде.лять все особые полутраектории, стремящиеся к состоянию равиовесия О, как являющиеся его - и а-сепаратрисами, так и не являющиеся. Для того чтобы описать расположение этих особых полутраекторий по отношению к сепаратрисам состояния равновесия О, а также по отношению друг к другу, мы введем понятие полной (глобальной) схемы состояния равновесия. Это понятие играет основную роль при установлении топологической структуры разбиения на траектории в целом (а не только в окрестности данного состояния равновесия ). [c.356]

Заметим, что этим методом можно исс.ледовать топологическую структуру не только указанных выше, но и любых состояний равновесия аналитических систем. [c.362]

Топологическая структура сложного состояния равновесия в случае ст = Р (О, 0) (О, 0) =54= О [c.372]

Возможные топологические структуры сложного состояния равновесия в случае а Ф 0. В этом пункте мы будем считать, что точка [c.377]

Возможные топологические структуры сложного состояния равновесия в случае о = 0. Мы переходим теперь к рассмотрению исходной системы (9) [c.397]

Настоящая глава непосредственно примыкает по своему содержанию к главе VHI. Она посвящена исследованию свойств со- и а-предельных континуумов, а также континуумов, являющихся граничными для ячеек, заполненных замкнутыми траекториями, и затем описанию схем таких континуумов. Кроме того, в настоящей главе рассматривается также схема границы области G в предположении, что эта граница нормальна. Полные схемы предельных континуумов и схема границы области являются наряду с полными схемами состояний равновесия основными элементами того описания расположения особых траекторий (с указанием среди них предельных) — схемы динамической системы , которое, как мы увидим в следующей главе, полностью определяет топологическую структуру разбиения на траектории. [c.411]

Первым вопросом, который здесь возникает, является вопрос отыскания эффективных методов исследования топологической структуры состояний равновесия, так как состояния равновесия, очевпдно, играют фундаментальную роль в разбиении на траектории. Кроме того, исследование характера состояний равновесия имеет также большой ннтсрсс для при.тюжений. [c.134]

Следующим чрезвычайно важным вопросом является вопрос нахождения методов или приемов, с помощью которых можно было бы установить наличие или отсутствие предельных циклов. Этот вопрос также имеет очень большой интерес для приложений. Он является значительно более трудным, чем вопрос определения топологической структуры состояний равновесия, и значительно менее изученным. Для того чтобы ставить дальнейшие вопросы об эффективных приемах качественного исследования заданной динамической системы, нужно иметь сведения о том, чти именно необходимо знать о траекториях для определения топологичсско структуры разбиения на траектории. Но это, очевидно, означает, что мы должны иметь полный ответ на вопросы, принадлежащие первому аспекту. [c.134]

В 8 рассмотрен значительно более сложный случаи, когда характеристические корни чисто мнимые. В этом случае характеристические корпи не определяют топологической структуры состояния равновесия, и необходимо дополнительное исследование. При Этом состояние равновесия может либо иметь характер фокуса, либо быть центром, а также быть так называемым цеитрофокусом. [c.136]

Здесь а = а- (1иА = ас — Ь(1 (А имеет тот же смысл, что и в (3)). Уравнение (14) называется характеристическим уравнением состояния равновесия О, а корни его характеристическими корнями или характеристическими числами состояния равновесия О. Характеристическое уравнение и его корни играют основную роль при исследовании топологической структуры состояния равновесия. Уравнение вида (14) встречается в целом ряде различных вопросов. Оно называется также иногда вековым . Числа и Кг, удовлетворяющие этому уравнению, являются характеристическими числами или собственными значепиями матрицы А. [c.140]

В настоящей главе не делается никаких конкретных предполон<ений относительно аналитической природы рассматриваемого состояния равновесия и не дается никаких методов установления характера состояния равновесия по его аналитическим характеристикам. Цель, которую мы сейчас себе ставим,— это установить, какая вообще возможна топологическая структура состояния равновесия системы (I) в случае, когда число особых траекторий конечно. [c.316]

Мы переход1Ш теперь к основной теореме данного параграфа, описывающей возможные топологические структуры состояния равновесия [c.379]

Возможные топологические структуры состояния равновесия О (О, 0) системы (А) устанавливаются в следующих теоремах 66 и 67. Будем называть состояние равновесия, каноническая окрестность которого состоит из двух гиперболических секторов, вырожденным состоянием равновесия. Если же каноническая окрестность точки О состоит из одного гиперболического и одного эллиптического сектора, то мы будем называть точку О состоянием раеновесия с эллиптической областью. [c.397]

Под разбиением фазового пространства понимается разбиение про-ютранства переменных Жз,. . х на фазовые траектории, т. е. на кривые х = х (1), Х2 = Х2 ( ),. . ., = х ( ), соответствующие -всевозможным решениям уравнений (1), Под изучением структуры этого разбиения имеется в виду в первую очередь выделение в этом пространстве особо важных движений — устойчивых состояний равновесия и устойчивых периодических и квазипериодических движений, затем отыскание их областей притяжения и выяснение их взаиморасположения. Под полным изучением структуры разбиения фазового пространства на траектории лонимается полное топологическое описание этого разбиения. [c.139]

Для иллюстрации понятия тождественности топологической структуры разбиения на траектории приведем простые, в основном геометрические, нрнмеры. Рассмотрим разбиение круга С радиуса единицы на траектории системы (40) примера 3 и системы (45) примера 4 1 (рис. 10 и 13). Начало координат является у системы (40) состоянием равновесия типа [c.129]

Параграфы 7 и 8 посвящены уже самому исследованию топологической структуры простого состояния равновесия. При этом исследовании используется полученный канонический вид системы. В 7 рассмотрены все возможные случаи характеристических корней, кроме случая, когда они чисто мннмые. Устанавливается, что в этих случаях знаки характеристических корней или знаки их действительных частей полностью определяют [c.135]

Нашей целью в этой главе является исследование топологической структуры простого состояния равновесия. Это исследование достаточно провести для систем, имеющих канон1иеский вид. Действительно, в силу леммы 1 мы можем произвольную систему (4) прп помощи некоторого действительного неособого преобразованпя (8) перевести в систему, имеющую канонический вид. Так как неособое линейное преобразование заведомо является топологическим, то у состояния равновесия О (О, 0) системы, имеющей канонический вид, очевидно, та же топологическая структура, что и у состояния равновесия О (О, 0) системы (4). [c.145]

Заметим, что излагаемое ниже исследование топологической структуры перс-числепных состояний равновесия можно провести при несколько более общих предположениях относительно функций ф (а , у) и я) х, у). Именно, вместо существоваппи у них непрерывных частных производных можно потребовать только, чтобы выполнялись соотношения (см. [22]) [c.146]

Устойчивые и неустойчивые еостояния равновесия. Мы рассмотрели состояния равновесия с точки зрения их топологической структуры. При этом очевидно, что если не принимать во внимание направление движения по I, то топологическая структура устойчивого узла и фокуса и неустойчивого узла и фокуса одинакова. В то же время топологическая структура седла, очевидно, отлична от топологической структуры узла и фокуса. Однако часто в задачах, связанных с приложениями, состояния равновесия рассматриваются просто с точки зрения их устойчивости или неустойчивости без детализации их топологической структуры ). С этой точки зрения состояния равновесия разделяются на два типа. [c.160]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...