Предельный цикл неустойчивый устойчивый

Диаграммой точечного отображения называется зависимость ординат точек пересечения фазовых траекторий с полуосью yi от ординат уо исходного положения точки (рис. 57, в). По этой диаграмме можно судить о числе предельных циклов и их устойчивости, если дополнительно провести на ней прямую yi = j/q. Число предельных циклов равно числу точек пересечения прямой г/1 = г/о с кривой у = У уо). Точки пересечения позволяют также выделить из фазовых траекторий предельные циклы. Для устойчивых предельных циклов производная dyi/dyo меньше единицы, а для неустойчивых — больше единицы (рис. 57, г). [c.203]

Бифуркации распада инвариантных торов. Пусть в типичном двупараметрическом семействе С -гладких векторных полей, /г 4, при нулевом значении параметра е предельный цикл теряет устойчивость и рождается устойчивый инвариантный тор. Тогда, как было показано выше, на плоскости параметров существуют резонансные языки, отвечающие наличию у векторного поля невырожденных предельных циклов, лежащих на торе. При этом сам тор является объединением неустойчивых многообразий седловых циклов с устойчивыми циклами. [c.49]

Предельный цикл называют устойчивым, если любая фазовая траектория, начинающаяся в достаточно малой окрестности этого цикла, неограниченно к нему приближается (табл. 8, пп. 11, 15) соответствующее предельному циклу движение механической системы представляет собой установившиеся автоколебания. В противоположном случае предельный цикл называется неустойчивым движение механической системы, соответствующее неустойчивому предельному циклу, физически нереализуемо (табл. 8, п. 12). [c.25]

Одно положение равновесия (устойчивый фокус). Два предельных цикла —неустойчивый и устойчивый. Жесткое возбуждение автоколебаний [c.27]

Как было показано ранее, в таком случае, которому соответствуют рис. 1.15 и 1,18,6, при изменении параметров системы (например, при вращении дросселя) на фазовой плоскости возникает неустойчивый меньший предельный цикл и устойчивый больший предельный цикл, причем состояние равновесия остается устойчивым. Поэтому при отсутствии вся- [c.54]

При таком характере протекания кривой Ф(Р) возможны три периодических движения, что и показано на рис. 1.28, где построение сделано для случая р, = 1. Из рисунка видно, что в системе имеются три предельных цикла внутренний устойчивый, средний неустойчивый и наружный устойчивый. [c.62]

Кроме того, имеется несколько особых траекторий. К ним относятся неустойчивый предельный цикл, охватывающий устойчивый фокус Л, соответствующий большему расходу, и сепаратриса, разделяющая все семейство траекторий на несколько подсемейств. [c.86]

Предельный цикл называется устойчивым ), если все траектории, проходящие через точки достаточно малой его окрестности, стремятся к нему при t - + °°, и неустойчивым, если все такие траектории стремятся к нему при i — с (см. рис. 64 гл. 5). [c.48]

Неустойчивые предельные циклы, а также сепаратрисы отделяют на фазовой плоскости области начальных значений, при которых устанавливается тот или другой стационарный режим, т. е. либо устойчивый предельный цикл, либо устойчивое состояние равновесия ). [c.218]

Это — кубическое уравнение, которое может быть исследовано известными методами. Мы, однако, не будем останавливаться на его исследовании подробно, а покажем только, что существуют как значения параметров Ь, у и р, при которых это уравнение имеет только один корень, так и значения параметров, при которых это уравнение имеет три корня. Очевидно, случай, когда уравнение (3) имеет один корень, соответствует случаю (при достаточно малых г), когда существует один устойчивый предельный цикл, а случай, когда это уравнение имеет три корня, соответствует случаю, когда система (1) имеет три предельных цикла — два устойчивых и между ними неустойчивый. [c.261]

Предельный цикл будет устойчивым, еслп (/г ) С О, и неустойчивым, если (/г ) > 0. Фазовое пространство может быть как плоским, так и цилиндрическим. [c.381]

Если ао и выбраны так, что i 5i,min<0, i(0)>0 и Яо>0 и мало, то система (8) будет иметь три предельных цикла (два устойчивых и одни неустойчивый). [c.392]

Обратимся к рис. 69,6, где имеются два предельных цикла l и 2. Поскольку прочие фазовые траектории представляют собой спирали, сматывающиеся с цикла С и наматывающиеся на цикл j, то мы можем сказать, что О есть устойчивая особая точка — фокус, j — неустойчивый предельный цикл, С2 — устойчивый предельный цикл. Колебательный процесс, соответствующий циклу j, физически не существует система либо приходит в состояние покоя, либо увеличивает свои размахи так, чтобы установились колебания, соответствующие циклу j. Здесь мы имеем пример жесткого возбуждения автоколебаний необходимо для установления колебаний забросить изображающую точку за цикл С . Если же последний, стягиваясь к точке О, исчезает, получаем предыдущий случай мягкого возбуждения автоколебаний, так как в этом случае достаточно изображающую точку сколь угодно мало отклонить из точки О, чтобы установились колебания, соответствующие циклу j. [c.142]

Рис. 95. Зависимость амплитуды стационарных колебаний от параметров Ь. Из этого графика видно, что система "хищник - жертва - автоколебательная система с жестким самовозбуждением I - устойчивое равновесие, II - неустойчивый предельный цикл, III - устойчивый предельный цикл, IV - неустойчивое равновесие

Рассмотрим теперь, как меняется динамика системы с ростом приспособленности хищника, т.е. с убыванием Ь от 1 до 0. Если приспособленность достаточно низкая, то предельные циклы отсутствуют, а равновесие является неустойчивым. С ростом приспособленности в окрестности этого равновесия возможно появление устойчивого цикла и далее внешнего неустойчивого. В зависимости от начальных условий (соотношения биомассы хищника и жертвы) система может либо терять устойчивость, т.е. уходить из окрестности равновесия, либо в ней будут со временем устанавливаться устойчивые колебания. Дальнейший рост приспособленности делает невозможным колебательный характер поведения системы. Однако при Ь < 1/2 равновесие становится устойчивым, и далее могут возникать сначала два предельных цикла (неустойчивый внутри устойчивого), а затем устойчивый цикл пропадает и с ростом Ь пропадает и неустойчивый цикл. [c.340]

Предельные циклы бывают устойчивыми и неустойчивыми. [c.58]

Наряду с устойчивыми предельными циклами фазовый портрет автоколебательной системы может содержать также неустойчивые предельные циклы, для которых /г > 0. Двигаясь в окрестности неустойчивого предельного цикла, изображающая точка постепенно удаляется от него. Обычно такой цикл играет роль границы между областями с различным поведением фазовых траекторий. [c.47]

Рассмотрим потерю устойчивости периодическим движением при переходе мультипликатора через —1. Равенство л = —1 означает, что начальное возмущение через интер)зал времени То меняет знак, не меняясь по абсолютной величине еще через период То возмущение перейдет само в себя. Таким образом, при переходе ц через значение —1 в окрестности предельного цикла с периодом То возникает новый предельный цикл с периодом 2То — бифуркация удвоения периода ). На рис. 20 условно изображены две последовательные такие бифуркации на рисунках а, б сплошными линиями показаны устойчивые циклы периодов 2То, 47 о, а штриховыми — ставшие неустойчивыми предыдущие циклы. [c.170]

В каждом из главных Zg-эквнвариантных семейств при некоторых значениях параметров, образующих линии на плоскости е, возникают сепаратрисные многоугольники. Сдвиг по фазовым кривым поля семейства за единицу времени приближает -ю степень преобразования монодромии предельного цикла, теряющего устойчивость с прохождением пары мультипликаторов через сильный резонанс. Особым точкам полей семейства соответствуют неподвижные точки -й степени преобразования монодромии и 2я9-периодические циклы периодического уравнения входящим и выходящим сепаратрисам седел — устойчивые и неустойчивые многообразия неподвижных точек. Две сепаратрисы особых точек, раз пересекшись, должны совпадать на всем своем протяжении. Не так обстоит дело с инвариантными кривыми неподвижных точек диффеоморфизмов. Эти кривые пересекаются, вообше говоря, трансверсально, а для диффеомор- [c.60]

Предположим теперь, что для некоторого векторного поля на число вращения рационально. Если векторное поле — общего положения, на то имеется четное число предельных циклов, половина устойчивых, половина неустойчивых. Число вращения может измениться только после того, как эти циклы перестанут существовать. Их исчезновение связано с прохождением мультипликаторов через +1. Таким образом, векторное поле с бесконечным неблуждающим множеством (и с глобаль- [c.149]

Бифуркации могут быть не связаны с изменением характера особых точек. Например, бифуркациями являются рождение предельного цикла КЗ петли сепаратрисы (т. с. сепаратрисы выходящей и входящей в одно и то же седло) или распад цолуустойчивого Предельного цикла на устойчивый и неустойчивый. [c.40]

Рис. 5, Фазовый портрет, отвечающий жёсткому возбуждению автоколеОаний 1 — устойчивый предельный цикот 2 — неустойчивый предельный цикл 3 — устойчивое состояние равновесия.

На рис. 8, б при бифуркационном значении параметра р — Pi появляется полуустойчивый предельный цикл, а при больших значениях параметра существуют два предельных цикла — неустойчивый и устойчивый. При другом бифуркационном значении параметра р = рз неустойчивый предельный цикл стягивается в особую точку, которая становится неустойчивой. Если р > Pi, то амплитуда, соответствующая устойчивому предельному циклу, тем больше, чем больше значение р. [c.32]

Рис. 8. Фазовые портреты с предельными циклами а — устойчивым б — неустойчивым в —двумя г — полуустойчивым.

В случае feo <0, fe4>0, fe2<-l/S feofe4l положение равновесия неустойчиво. При этом имеются два предельных цикла меньший — устойчивый, больший — неустойчивый. [c.115]

Если траектория L стремится к Lq при t - +00 то последовательность (1) стремится к S, и, наоборот, если последовательность (1) стремится к S, то траектория L стремится к о. Неподвижная точка S точечного отображения s=f s) называется устойчивой, если существует такая ее окрестность, что все последовательности вида (1) с начальными точками si в этой окрестности стремятся к этой точке, и неустойчивой, если в любой сколь угодно малой ее окрестности найдется хотя бы одна такая точка, что соответствующая последовательность не сходится к этой точке. Устойчивому предельному циклу соответствует устойчивая неподвижная точка отображения, а неустойчивому или полуустойчиво-му (см. 4)— неустойчивая точка. [c.97]

Введенное таким образом понятие орбитной устойчивости и неустойчивости полутраектории и траектории характеризует поведение этой полутраектории или траектории не самой по себе, а по отношению к близким полутраекториям и траекториям. Поясним эти понятия на примерах траекторий, встречавшихся в рассмотренных выше динамических системах. Очевидно, всякая полутраектория, стремящаяся к состоянию равновесия типа узел или фокус, орбитноустойчива ). Орбитно-устойчивыми будут и все полутраектории, стремящиеся к предельным циклам. Орбитно-устойчивыми, т. е. неособыми траекториями, очевидно, будут траектории, стремящиеся при >-- -со п —-оо к узлам или фокусам или при / —со ( - — оо) стремящиеся к узлу, а при — оо ( - - - схэ) — к предельному циклу, а также траектории, стремящиеся к предельным циклам и при - -оо, и при — со (все такие траектории орбитно-устойчивы и при при — оо). [c.414]

У тoйчивo ть или неустойчивость рассматриваемого предельного цикла определяется устойчивостью или неустойчивостью соот- [c.661]

Пусть теперь Р>0, у<0. Вид парабол (21.66) и (21.69) представлен на рис. 21.28. Из рассмотрения этого рисуика следует, что при а < % (% — 90(40 )) имеет шесто только одио устойчивое состояние равновесия и, следовательно, исходная динамическая система совершает затухающие колебания. При 011 < а < О состояний равновесия три устойчивое (р = О), неустойчивое, соответствующее нежирной линии параболы, и устойчивое, соответствующее жирной лииии параболы. Значит, иа фазовой плоскоста существует при этик зиачеииях а в начале коордииат устойчивая особая точка, неустойчивый предельный цикл н устойчивый предельный цикл. Если начальные условия лежат внутри неустойчивого предельного цикла, то ( сходная система будет совершать затухающие колебания, если же начальные [c.718]

Вид фазовой плоскости для О < а < aJ показан на рис. 8.13. Зд имеется асимптотически устойчивое положение равновесия у]/ = ф = неустойчивый предельный цикл и устойчивый предельный цикл больш радиуса. Для всех начальных условий, отображаемых точками внутри не тойчивого предельного цикла, колебания маятника затухающие. При чальных условиях, соответствующих любым точкам вне этого цикла. [c.190]

Если р соответствует устойчивому состоянию равновесия, то на плоскости qq — устойчивый предельный цикл все соседние интеЕральные кривые — спирали, накручивающиеся на этот предельный цикл. Если же р/, соответствует неустойчивому состоянию равновесия, то на плоскости qq — неустойчивый предельный цикл. [c.126]

Смотреть страницы где упоминается термин Предельный цикл неустойчивый устойчивый : [c.131] [c.175] [c.220] [c.304] [c.343] [c.404] [c.13] [c.49] [c.50] [c.50] [c.58] [c.59] [c.60] [c.114] [c.114] [c.130] [c.70] [c.157] [c.171] [c.325]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...