Дифференциальное уравнение для множителя

Множитель системы уравнений. Дифференциальное уравнение для множителя. В данной главе будут получены некоторые общие утверждения, относящиеся к интегрированию уравнений динамики. Сначала рассмотрим нужные в дальнейшем вспомогательные вопросы теории дифференциальных уравнений. [c.314]

Дифференциальное уравнение для множителя. Нетрудно по- [c.428]

Если применим к этой системе общую теорию, то получим следующее дифференциальное уравнение для множителя [c.105]

Дифференциальное уравнение для множителя т] (/) иг/еет вид [c.452]

Из уравнения (17.47) следует дифференциальное уравнение для множителя релаксации р(1) [c.457]

В равенство (9) входят интегралы /i, /2,, fk-i- Однако можно получить дифференциальное уравнение для М, которое не содержит /15 /25 5 Л-1- Покажем, что множитель М удовлетворяет линейному уравнению в частных производных [c.317]

Если теперь потребовать, чтобы это уравнение имело место для всех значений величин X, а, V,..., то оно будет заменять собою всю вышеприведенную систему дифференциальных уравнений. Для наглядности мы заменим множители л, U., V.. . через Ьх, 8у, где х, у, з надо рассматривать просто как значки. Наше символическое уравнение тогда будет [c.9]

Работа посвящена задачам оптимального управления одномерными течениями с непрерывным переходом через нуль одной из характеристических скоростей в особой точке дифференциальных уравнений, описывающих течение. Система уравнений для множителей Лагранжа, получающаяся при решении задачи об оптимизации такого течения, имеет особенность в той же точке. Показано, что множители Лагранжа должны быть непрерывны при переходе через особенность. Теория иллюстрируется примером оптимизации магнитогазодинамического генератора с непрерывным переходом через скорость звука. [c.77]

Уравнения (5.36) и (5.37) представляют собой два дифференциальных уравнения для функций у) ж Р у), определяющих распределение скоростей и распределение давления. Так как первое уравнение не содержит функции Р (г/), то сначала можно определить из него функцию / (г/), а затем, зная эту функцию, найти из второго уравнения функцию Р (г/). Нелинейное уравнение (5.36) не может быть решено в замкнутой форме. Для численного решения целесообразно сначала преобразовать его так, чтобы постоянное слагаемое а и постоянный множитель V выпали. Этого можно достичь посредством следующего аффинного преобразования [c.97]

Очевидно, что это дифференциальное уравнение формально соответствует дифференциальному уравнению для гармонического осциллятора в механике точки следует лишь отождествить величину воУ/а с массой материальной точки. В соответствии с известным методом решения проблемы осциллятора получим с точностью до не зависящего от напряженности поля фазового множителя Сп сп =1) для < (г) п> [c.158]

Имеем дифференциальное уравнение для отыскания динамического смещения стенки. Приводя его к нормальному виду [411, после деления на множитель при А получаем [c.116]

К 2, п. 1. Использованные в (2.58), (2.60) и (2.65) обозначения / , п.1Я к1В настоящее время очень часто употребляются в квантовой механике функции а ) и , заключенные в квадратные скобки в (2.58), (2.60), использовались Ватсоном и Зоммерфельдом, а также во многих других трудах по теории электромагнетизма. При решении дифференциальных уравнений для радиальных функций значительно более удобными оказываются именно функции и , VI и гши отличающиеся от функций фг. 1,1 множителем г или кг. [c.59]

В первом приближении решения дифференциального уравнения для дает ряд, в который время входит как множитель в коэффициентах при периодических членах. [c.201]

Теорема 9.6.2. Пусть известны к независимых первых интегралов У1,..., Ук, в также множитель Якоби М. Тогда множитель Якоби N для системы т—к дифференциальных уравнений, к которой приводится исходная система, имеет вид [c.675]

Эти дифференциальные уравнения называют дифференциальными уравнениями Лагранжа первого рода для движения несвободной материальной точки. Из этих трех дифференциальных уравнений и одного конечного уравнения — уравнения поверхности / х, у, г) = О можно найти четыре неизвестных — координаты точки х, у, ги неопределенный множитель Лагранжа о как функции времени и произвольных постоянных интегрирования. Произвольные постоянные определяются из начальных условий. [c.226]

Система (1.22) состоит из 3 дифференциальных уравнений второго порядка. В эти уравнения как неизвестные входят 3/г координат точек системы и й + / множителей Х, и рз. Для определения этих неизвестных следует присоединить к уравнениям (I. 22) уравнения геометрических и кинематических связей вида (1.2), (1.4). Количество уравнений связей равно й + . В случае односторонних связей неравенства не следует рассматривать, так как при освобождении точек системы от какой-либо односторонней связи соответствующий множитель Лагранжа становится равным нулю. [c.30]

После нахождения закона движения определяются реакции связей. Для этого следует составить систему дифференциальных уравнений Лагранжа первого рода и определить множители связей так, как это было указано в 6. Можно также воспользоваться принципом Даламбера. [c.136]

Может казаться, что задача определения множителя М из дифференциального уравнения (II. 395) более сложна, чем задача интегрирования уравнения (т), но следует отметить, что для нахождения интеграла (11.399) достаточно найти частное решение дифференциального уравнения (11.395). [c.395]

Пфаффа. Согласно первому началу (2.2) — (2.3), 5Q равно сумме полного дифференциала dU и неполного дифференциала Ы и, следовательно, форма Пфаффа для Q не является полным дифференциалом какой-либо функции параметров состояния системы. Имеет ли эта дифференциальная форма интегрирующий множитель и что это физически означает, решается вторым началом термодинамики. Как следует из (2.1) — (2.3), уравнение первого начала позволяет определить внутреннюю энергию U[ai,. .., а Т) в состоянии [а , а , й Т) только с точностью до аддитивной постоянной U a°,. .., а° Т°), зависящей от выбора начального состояния (й ,. .., Г°). Для термодинамики этого вполне достаточно, так как в устанавливаемые ею соотношения входят лишь изменения энергии. [c.39]

На свойство линейности интегрального преобразования общего вида (6.2) обращалось уже внимание, оно очевидно (интеграл от суммы равен сумме интегралов, постоянный множитель можно выносить за знак интеграла) и с его помощью было получено изображение (6.4) дифференциального уравнения (6.1). Используем это свойство для получения изображений тригонометрических и гиперболических функций. [c.203]

Уравнения Аппеля. Применение уравнений Лагранжа с неопределенными множителями при составлении уравнений движения механизма с неголономными связями приводит к необходимости совместного решения системы уравнений, число которых превышает число степеней свободы на удвоенное число неголономных связей. Поэтому для изучения динамики механических систем с неголономными связями неоднократно предлагались дифференциальные уравнения, применение которых позволяет уменьшить число совместно решаемых уравнений. Из этих уравнений рассмотрим лишь уравнения Аппеля ). [c.157]

Исключение вариаций может быть выполнено способом неопределенных множителей. Уравнения (3) умножают соответственно на множители Х,, ).2,. .., подлежащие определению. После этого их складывают с уравнением (1) и приравнивают нулю коэффициенты при всех вариациях, как это делалось в статике (п° 248). Таким способом получают Зп дифференциальных уравнений второго порядка между Зя координатами, Л множителями и временем. Эти уравнения в соединении с к уравнениями (2) достаточны для определения Зя координат и к [c.214]

Из общих теорем существования интегралов уравнений с частными производными следует, что для всякой системы дифференциальных уравнений (36) существует бесконечно много функций ji положения и времени, удовлетворяющих равенству (70), Такие функции называются множителями системы (36), потому что по отношению R этой системе они обладают свойствами, аналогичными тем, которые для одного обыкновенного дифференциального уравнения имеет интегрирующий множитель Эйлера. Понятие об этих множителях и название их принадлежит Якоби, который выявил их важность для интегрирования системы (36)jS мы не будем останавливаться здесь на этом и ограничимся лишь, следуя Пуанкаре i), замечанием, что функция под [c.293]

Свойство инвариантности является основным для практического применения теории множителя. Предположим, что известны к —2 независимых первых интеграла системы дифференциальных уравнений (1) [c.320]

Интегрирование этого уравнения дает такое выражение для множителя М = сл/f с — произвольная постоянная). Из теории последнего множителя Якоби следует теперь, что интегрирование систем дифференциальных уравнений (29), (30) сводится к квадратурам. [c.324]

Теорема Лиувилля. Для уравнений Гамильтона дивергенция поля А равна нулю. Отсюда следует (см. 21.8, п. 3), что объем протяженность) фазового пространства является инвариантом преобразования, определяемого дифференциальными уравнениями. Иными словами, фазовая жидкость несжимаема . В этом состоит известная теорема Лиувилля, играющая важнейшую роль в кинетической теории газов. Как известно, множителями системы являются ее пространственные интегралы, они удовлетворяют условию [c.439]

Необходимо подчеркнуть два обстоятельства. Во-первых, рассматриваемое здесь течение описывается уравнениями (5-4.11) — (5-4.13) и (5-4.21), (5-4.22), которые просто получаются из уравнений, описывающих стационарное плоское сдвиговое течение между двумя параллельными плоскими пластинами, умножением на периодический множитель Из уравнения (5-4.30) следует, что в предельном случае = О скорость сдвига у равна величине, которая была бы скоростью для стационарного плоского сдвигового течения, умноженной на тот же самый множитель. Переход от стационарного описания поля скоростей к эйлеровому периодическому течению путем умножения на является общим правилом для всех вискозиметрических течений. Эквивалентность дифференциальных уравнений для распределения скоростей в периодическом течении (для плоского сдвигового течения — это уравнение (5-4.23)) и для стационарного течения фактически представляет собой следствие пренебрежения силами инерции. [c.198]

Более подробный и более общий анализ принадлежит Денну 120], который обсудил ряд результатов предыдущих исследователей. Денн начал с того, что взял уравнение состояния для жидкостей второго порядка, но коэффициенты Т , Ро и 7о он предположил функциями величины модуля D. Не говоря уже о концептуальных трудностях, связанных с применением такого уравнения (эти трудности обсуждались в гл. 6), результаты его анализа не очень обнадеживают. Было получено дифференциальное уравнение для Vx х, у), содержащее неньютоновские члены, множителем в которых был упругий параметр е, определенный соотношением [c.279]

Исходя из рассмотрения функциональных определителей, мы достигае.ч того, что можем обосновать теорию множителя системы дифференциальных уравнений для общего случая и 4-1 переменных иначе, чем уто сделано в двенадцатой лекции, а именно тем самым путем, на который мы вс гупили й десятой лекции для случая трех переменных. [c.90]

Если W функция более чем одной независимой переменной, например а и г в динамической задаче для балок или х ш у ъ статических задачах для пластин и т. д., то разрешающее уравнение в частных производных в общем случае монфт быть решено путем разделения переменных, например путем задания прогиба W как произведения экспоненциальной на тригонометрическую или экспоненциальную функцию от различных переменных. Например, в динамических задачах для балок прогиб w можно задать в виде произведения функций синуса или косинуса от t и неизвестной функции Х х) только от переменной х. Тогда, поскольку присутствуют только четные производные по t, все члены будут содержать эти функции синусов или косинусов в качестве общего множителя, после сокращения которого остается обыкновенное дифференциальное уравнение для функции Х х), которое может быть решено так, как это было описано выше. [c.68]

Другой подход к решению вариационных задач газовой динамики был предложен Т. К Сиразетдиновым. Этот подход дает возможность решать задачи при произвольных ограничениях, накладываемых на на поверхность обтекаемого тела, и состоит в том, что дифференциальные уравнения в частных производных, описывающих течение, используются в качестве связей между функциями в области влияния. При составлении функционала Лагранжа для задачи на безусловный экстремум эти. уравнения учитываются при помощи переменных множителей Лагранжа. Необходимые условия экстремума для такой задачи в общем случае представляют собой краевую задачу для системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с условиями на замкнутой поверхности, ограничивающей область влияния. При сверхзвуковых скоростях эта система, включающая уравнения для множителей Лагранжа, имеет гиперболический тип. [c.243]

Закономерности упорядоченного теплового режима включают в свою структуру коэффициент тем-нературонроводности вещества. Она как составляющая и постоянная величина входит множителем в дифференциальное уравнение теплопроводности, описывающее процесс распрострапепия тепла в твердых телах. Однако определить ее экспериментальным путем пепосредствеппо из дифференциального уравнения невозможно, так как пришлось бы измерять вторую производную от температуры по координатам, что дает очень большую погрешность. Поэтому в существующих методах вначале решается дифференциальное уравнение для каких-то конкретных условий и только потом создается соответствующая экспериментальная установка. [c.83]

Таким образом, член 0 в дифференциальном уравнении (32) приводит к появлению в решении члена sin Зт/. Для того чтобы удовлетворить дифференциальному уравнению, содержаш,ему 0 , мы должны были к члену, содержащему sinaf, прибавить член е sin Зш . Рассуждая далее подобным образом, мы придем к выводу, что новый член esinS of в частном решении (33), будучи возведен в куб, приведет к появлению члена sin и т. д. Очевидно, нет оснований для того, чтобы этот процесс прекратился, но если е<С 1, то ряд будет быстро сходиться, так как в члены, соответствующие высоким частотам, в качестве множителей будут входить все более и более высокие степени е. [c.212]

Таким образом, Vi удовлетворяет системе однородных линейных дифференциальных уравнений с коэффициентами, являющимися функциями только от координат, но не от времени. Общее решение таких уравнений может быть представлено в внле суммы частных решений, в которых vi зависит от времени посредством множителей типа Сами частоты со возмущении не произвольны, а определяются в результате решений уравнений (26,4) с соответствующими предельным условиями. Эти частоты, вообще говоря, комплексны. Если имеются такие со, мнимая часть которых положительна, то будет неограниченно возрастать со временем. Другими словами, такие возмущения, раз возникнув, будут возрастать, т. е. движение будет неустойчиво по отношению к ним. Для устойчивости движения необ.хо-димо, чтобы у всех возможных частот со мнимая часть была отрицательна. Тогда возникающие возмущения будут экспоненциально затухать со временем. [c.138]

Задача о движении системы с го-лономными связями формально всегда может быть решена, что частично объясняется возможностью исключения зависимых координат. Однако для задач с неголономными связями общего метода решения не существует. Правда, дифференциальные уравнения неголономных связей можно рассматривать совместно с дифференциальными уравнениями движения и тогда можно исключить зависимые величины с помощью метода множителей Лагранжа, который мы рассмотрим позже. Однако в более специальных случаях неголономных связей требуется индивидуальный подход к каждой задаче. При формальном изложении классической механики почти всегда предполагается, что любая имеющаяся связь является голономной. Это ограничение несколько сужает применимость общей теории, несмотря на то, что в повседневной практике нередко встречаются неголоном-ные связи. Причина этого состоит в том, что связи, наложенные на систему, обычно реализуются посредством различных поверхностей, стенок или стержней и играют заметную роль лишь в макроскопических задачах. Но современных физиков интересуют главным образом микроскопические системы, в которых все объекты (как внутри системы, так и вне ее) состоят из молекул, атомов и еще более мелких частиц, порождающих определенные силы. Понятие связи становится в таких случаях искусственным и встречается редко. Связи используются здесь лишь как математические идеализации, полезные при описании [c.25]

При помощи этих m уравнений можно исключить из уравнения (1) т из Зп вариаций 6х бу,, 6z и если после этого оставшиеся вариации положить независимыми друг от друга, то символическое уравнение (1) распадется на дифференциальные уравнения движения. Но это исключение было бы очень затруднительно и имело бы, кроме того, некоторые неприятные стороны во-первых, пришлось бы некоторые координаты предпочесть другим, и поэтому получились бы несимметричные формулы, а, во-вторых, для различного числа условных уравнений получалась бы различная форма результатов исключения, вследствие чего общность исследования была бы сильно затруднена. Все эти трудности преодолел Лагранж введением множителей (метод, который уже Эйлер часто употреблял в задачах de maximis et minimis ). Так как в уравнения (1) и (4) вариации 6х 6у dz, входят линейно, то исключение т из них можно произвести следующим образом. Умножаем уравнения (4) соответственно на множители 7, и,. . . и складываем их с (1) полученное уравнение назовем (а). [c.304]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...