Множитель системы уравнений

Функция М называется множителем Якоби или просто множителем системы уравнений (1). [c.268]

Множитель системы уравнений. Дифференциальное уравнение для множителя. В данной главе будут получены некоторые общие утверждения, относящиеся к интегрированию уравнений динамики. Сначала рассмотрим нужные в дальнейшем вспомогательные вопросы теории дифференциальных уравнений. [c.314]

См. определение множителя системы уравнений (1) при помощи равенств (2), [c.319]

Множитель системы уравнений. Пусть мы имеем систему уравнений [c.427]

Итак, оказывается, что если известно хотя одно частное значение для множителя системы уравнений (40.1), определяемого уравнением [c.433]

Сг- — действительные числа. Это означает, что общее решение будет иметь слагаемое, содержащее в виде множителя функцию ехр(г]к )- Пусть т)к > О, тогда найдется сколь угодно близкое к стационарной точке в начальный момент времени решение, удаляющееся в бесконечность при I — оо. Предположим, что т к < 0. Сделаем замену независимой переменной I — —г. Обозначим у дифференцирование по т. Линейная система уравнений с гироскопическими силами примет вид [c.596]

Показать, что система уравнений движения спутника относительно центра масс на круговой орбите допускает множитель Якоби, равный единице. [c.702]

Решение системы уравнений (IV.203) и (а) начинают с исключения множителя X. Продифференцируем уравнение (а) дважды по времени. Найдем [c.424]

После исключения множителей Лагранжа из системы уравнений (I. 22) рассмотренным выше способом получим систему Зя [c.33]

Действительно, число независимых постоянных интегрирования равно числу независимых первых интегралов или удвоенному числу независимых вторых интегралов уравнений движения. Но кинематические уравнения движения должны удовлетворять уравнениям геометрических и кинематических связей, не зависящим от постоянных интегрирования. Уравнения геометрических связей можно рассматривать как вторые интегралы уравнений Лагранжа первого рода с исключенными множителями kj и рз, а уравнения кинематических связей, соответственно, как их первые интегралы. Итак, среди интегралов рассматриваемой системы уравнений есть к вторых интегралов и I первых, независимых от постоянных интегрирования. Следовательно, число независимых постоянных интегрирования равно 6/г — 2/г — I. [c.34]

Если известен множитель Якоби для системы уравнений (11.379), то нахождение последнего интеграла этой системы приводится к квадратуре. [c.394]

Сравнивая соотношение (а) с уравнением (11.380), замечаем, что множитель Якоби для системы уравнений (III. 16) равен единице. Следовательно, проблема интегрирования системы уравнений (III. 16), действительно, сводится к нахождению ее четырех независимых интегралов. Три первых интеграла системы уравнений (III. 16) можно найти непосредственно. [c.414]

Очевидно, что вследствие однородности системы уравнении и граничных условий, функции фг и соответственно Sy определены с точностью до произвольного множителя. Уравнения (13.2.1) и [c.433]

Общее число уравнений (8.1) и (8.3) равно 5 + т, т. е. больше числа степеней свободы на величину 2т. Однако число неизвестных, входящих в эти уравнения, также равно s т s обобщенных координат и т неопределенных множителей), и полученная система уравнений при небольшом числе уравнений связей т решается без особых затруднений, так как дополнительные неизвестные (неопределенные множители) входят в уравнения линейно. [c.154]

Уравнения Аппеля. Применение уравнений Лагранжа с неопределенными множителями при составлении уравнений движения механизма с неголономными связями приводит к необходимости совместного решения системы уравнений, число которых превышает число степеней свободы на удвоенное число неголономных связей. Поэтому для изучения динамики механических систем с неголономными связями неоднократно предлагались дифференциальные уравнения, применение которых позволяет уменьшить число совместно решаемых уравнений. Из этих уравнений рассмотрим лишь уравнения Аппеля ). [c.157]

Из общих теорем существования интегралов уравнений с частными производными следует, что для всякой системы дифференциальных уравнений (36) существует бесконечно много функций ji положения и времени, удовлетворяющих равенству (70), Такие функции называются множителями системы (36), потому что по отношению R этой системе они обладают свойствами, аналогичными тем, которые для одного обыкновенного дифференциального уравнения имеет интегрирующий множитель Эйлера. Понятие об этих множителях и название их принадлежит Якоби, который выявил их важность для интегрирования системы (36)jS мы не будем останавливаться здесь на этом и ограничимся лишь, следуя Пуанкаре i), замечанием, что функция под [c.293]

Уравнения Воронца. Система уравнений (1), (6) помимо функций qj (j = 1,2,..., т) содержит еще s дополнительных неизвестных — множителей связей Л/з (/9 = 1, 2,. .., s). Число уравнений в системе (1), (6) равно m + 5 = п + 2s, т. е. превышает число степеней свободы на удвоенное количество неинтегрируемых связей. [c.298]

Эти уравнения называются уравнениями Воронца. Они должны рассматриваться совместно с уравнениями связей (15). Полученная система уравнений движения неголономной системы не содержит множителей связей. Число уравнений равно п + s, т. е. совпадает с числом обобщенных координат. [c.301]

Следовательно, М2/Mi действительно является первым интегралом. Верно и обратное произведение какого-либо множителя на первый интеграл системы уравнений (1) также является множителем. В этом легко убедиться непосредственной проверкой. [c.318]

Инвариантность множителя. Последний множитель Якоби. Сделаем в системе уравнений (1) замену переменных, введя вместо Ж1, Ж2,, Xk переменные 2/1, 2/25 5 2//г по формулам [c.318]

ТО для канонической системы уравнений существует множитель М = 1 (см. замечание в конце п. 161). [c.325]

Это уравнение не допускает интегрирующего множителя. Система имеет две степени свободы (А = 2, Z = 1), но число лагранжевых координат равно трем (и = А + Z = 3). Декартовы координаты точки, находящейся на стержне на расстоянии а от точки Pi, выражаются формулами [c.61]

Теорема легко обобщается на тот случай, когда требуется найти т-ж интеграл системы (автономной или неавтономной), если известны т — ее интегралов и один множитель, удовлетворяющий уравнению (21.7.20). В самом деле, как уже указывалось, неавтономную систему с т координатами можно трактовать как автономную систему с m -Н 1 координатами. Уравнения (21.9.1) заменятся теперь следующими [c.418]

По существу, описа1Тыая операция означает разложение на множители частотного уравнения системы (20). [c.629]

Очевидно, что в данном случае dfijdxi = О, г = 1,..., 6, и система уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки имеет множитель Якоби М — 1,0 [c.674]

Здесь по предыдущему обобщенные силы Q/, так же как Ф , являются заданными функциями обобщенных координат qu q2,. .., q,-. Замечая, что 6W множителями связей, введенными в предыдущем параграфе. Система уравнений (54) должна служить для нахождения координат q ,, q° в равновесных положениях несвободной системы и множителей (а=1, 2,. .., s), определяющих обобщенные реакции. Имеем г уравнений с г -f- S неизвестными [c.323]

Mнoжитeль е в этом выражении является весьма медленно изменяющейся функцией времени — ее период, как указано выше, весьма велик по сравнению с периодом колебаний даже столь длинного маятника, как маятник Фуко. Разделяя в t вещественную и мнимую части, убеждаемся, что траектория точки, движущейся по закону Si(0. представляет собой эллипс (результат слол<ения двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой частоты - fglL ). Наличие при множителя указывает, что этот эллипс весьма медленно вращается с угловой скоростью oi = = (О siii ф. Это вращение в северном полушарии происходит по часовой стрелке, а в южном — против часовой стрелки его не следует смешивать с тем вращением оси эллипса, которое имеет место при движении сферического маятника в отсутствие вращения Земли. Как уже было указано в 161 (пример 143), последнее вращение происходит всегда в ту же сторону, что и движение точки по эллипсу, а угловая скорость его зависит от начальных условий движения. Заметим, что принятое при составлении системы уравнений (58) приближение недостаточно для обнаружения этого вращения оси эллипса. Действительно, при со = О последнее из уравнений (58) дает [c.441]

Подставляя эти решения в уравнение (5.46) и сокращая общий множитель exp[i(2ttfea—ш )] в каждом из уравнений, приходим к системе уравнений относительно щ и и . [c.153]

После решения системы уравнений (8.25) получаем числовое поле прогибов (рис. 8.22). Поверхность изогнутой пластины изображена на рис. 8.23. Общий множитель у прогибов qM4D. Теперь с помощью операторов внутренних усилий (рис. 8.18, 8.19) могут быть вычислены моменты в пластине. На рис. 8.24 для и = 0,25 показаны изгибающие моменты Л/д., а на рис. 8.25— крутящие моменты/Г. Обратим [c.245]

Первый множитель этого уравнения равен статической деформации системы от наибольшей величины возмущающей силы 8(Н = 5тах). [c.317]

Метод искусственной вязкости. Идея метода искусственной вязкости заключается в том, что в уравнения движения невязкого газа вводят члены с производными более высокога порядка, содержащие малый множитель е. Эти члены, называемые искусственной вязкостью, подбирают таким образом, чтобы разрывные решения исходной системы уравнений газовой динамики превратились в непрерывные решения с узкими переходными зонами, ширина которых при е->0 стремились бы к нулю. Для приближенного определения непрерывных решений системы с искусственной вязкостью можно воспользоваться, вообще говоря, любой разностной схемой. [c.154]

Если изотерма сорбент — сорбтив линейна, т. е. описывается выражением 0о (0 ) = F0l (где Г — константа Генри), то система уравнений (1.3.12), (1.3.18), (1.3.20) и (1.3.25) является замкнутой, поскольку постоянный множитель Г может быть вынесен за знак математического ожидания и выражение (1.3.15) преобразуется к виду [c.30]

Предположим теперь, что силы Xi, Y , или известны, или являются чисто позиционными, т. е. даны как функции координат точек системы. Уравнения (2) и (4) представляют собой систему Zn- -h со1местных уравнений, позволяющих определить Зя неизвестных координат х, у, z и h множителей для положения равновесия. [c.307]

Необходимо признать, что, с теоретической точки зрения, способ множителей как способ, преобразующий первоначальную задачу, сводящуюся к системе дифференциальных уравнений с л неизвестными, в аналогичный вопрос, связанный с системой уравнений с n-j-m неизвестными, не представляет преимуществ по сравнению с первоначальным способом. Однако вместе с указанным выше преимуществом, заключающимся в том, что его применение позволяет избежать предварительного решения уравнений (107), он соединяет еще достоинство особенной алгоритмической ясности, которая, как мы увидим, будет цений в механических приложениях, так как допускает прямое и изящное истолкование природы движения. [c.328]

Отметим еще одну возможность упрощения задачи интегрирования канонической системы уравнений. Пусть функция Гамильтона Н не зависит явно от времени. Тогда, отбрасывая в уравнениях (40) последнюю дробь, содержащую dt получим систему из 2п — 1 уравнений, которая по-прежнему имеет множитель М = 1. Поэтому для построения ее общего интеграла достаточно знать 2п — 2 первых интеграла. Но так как в рассматриваемом случае материальная система является обобщенно консервативной, то один интеграл нам известен заранее. Это обобщенный интеграл энергии Н = h = onst (см. п. 151). Поэтому для построения общего интеграла достаточно знать еще 2п — 3 первых интеграла. Если, например, п = 2, то кроме интеграла энергии Н = h достаточно найти еще только один первый интеграл. [c.325]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...