Дифференциальные уравнения обыкновенные

Операторы, задаваемые с помощью дифференциальных уравнений (обыкновенных или в частных производных) будут однородными только в том случае, если все коэффициенты уравнений не зависят от времени. Например, пусть оператор задается с помощью уравнения [c.55]

В уравнении теплопроводности можно аппроксимировать конечными разностями производные не по всем независимым переменным. В итоге получим систему дифференциальных уравнений (обыкновенных или в частных производных). Если удается получить аналитическое решение такой системы, то оно будет приближенным решением, так как при конечно-разностной аппроксимации внесена погрешность в математическое описание кондуктивного процесса. Однако обычно такой прием частичной замены производных конечными разностями, [c.44]

Серийные ABM позволяют решать только обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения описывают явления, в которых изменяющаяся величина зависит от одной независимой переменной. При исследовании динамических свойств объектов одной из переменных обязательно является время. В этом случае параметры объекта, описываемого обыкновенным уравнением, не зависят от пространственных координат, т. е. объект представляется сосредоточенным в точке. [c.343]

Машинное моделирование является средством анализа динамических и статических систем, процессы в которых описываются дифференциальными уравнениями (обыкновенными или в частных производных). [c.22]

Линии скольжения как характеристики дифференциальных уравнений теории плоского течения идеально пластичного вещества. Здесь мы займемся некоторыми специальными типами дифференциальных уравнений в частных производных. Мы уже видели в п. 7 настоящей главы, что путем некоторых преобразований независимых и зависимых переменных дифференциальные уравнения — обыкновенные или в частных производных, к которым приводятся задачи, можно выразить в более простой форме, понижая их порядок со второго к первому. Для того чтобы показать существенное различие в характере поведения решений определенных классов дифференциальных уравнений, хорошо известных математикам, мы рассмотрим вкратце три типа линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка от функции z, зависящей от двух прямоугольных координат х, у. [c.616]

САМОСОПРЯЖЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ — ур-ние, имеющее те же решения, 1 что и сопряженное С ним (см. Сопряженные дифференциальные уравнения). Обыкновенное С. д. у. порядка 2т имеет вид [c.464]

До сравнительно недавнего времени интерес физиков, а также и техников, главным образом, хотя и не исключительно, был сосредоточен на линейных колебательных задачах, т. е. на таких, математическая формулировка которых приводила к линейным дифференциальным уравнениям, обыкновенным или в частных производных. [c.9]

От читателя не требуется понимания физической сути примеров, используемых для описания методов. Предполагается, однако, что он знаком с основами анализа, а также с элементарными свойствами дифференциальных уравнений—обыкновенных и в частных производных. [c.8]

Широко используется также при решении задач теории - переноса излучения метод сферических гармоник, т. е. метод разложения интенсивности излучения по полиномам Лежандра. При этом уравнение переноса сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно весовых функций разложения. [c.143]

Модели в алгоритмической и аналитической формах называют соответственно алгоритмическими и аналитическими. Среди алгоритмических моделей важный класс составляют имитационные модели, предназначенные для имитации физических или информационных процессов в объекте при задании различных зависимостей входных воздействий от времени. Собственно имитацию названных процессов называют имитационным моделированием. Результат имитационного моделирования — зависимости фазовых переменных в избранных элементах системы от времени. Примерами имитационных моделей являются модели электронных схем в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений или модели систем массового обслуживания, предназначенные для имитации процессов прохождения заявок через систему. [c.147]

В случае нестационарных уравнений основные положения МКЭ — деление на КЭ, подбор аппроксимирующей функции и минимизируемого функционала — по-прежнему применяют по отношению к пространственной области. Тогда получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) [c.166]

Математическая модель системы (ММС) на макроуровне представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) [c.175]

Метод переменных состояния. Метод ориентирован на получение ММС в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме с последующим [c.180]

Пример 4.2. Модель резонансного усилителя в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений получается из (4.53) с учетом того, что U u> (p)-h(p)Uex(p) И p=d/dt [c.188]

Классификация методов численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Методы численного интегрирования ОДУ являются методами преобразования дифференциальных уравнений в алгебраические. После дискретизации независимой переменной t система ОДУ [c.235]

Почему интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений при анализе процессов в проектируемых объектах нужно выполнять с переменным шагом [c.260]

Структура уравнений Лагранжа и их составление. Уравнения Лагранжа для обобщенных координат являются обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка, как и дифференциальные уравнения движения точки в декартовых координатах. Число уравнений Лагранжа совпадает с числом обобщенных координат. Действительно, для кинетической энергии системы, используя ее определение и формулу (33) для [c.409]

Уравнения Лагранжа (41) представляют собой п обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка для обобщенных координат q . Эти уравнения многими способами можно свести к системе 2п уравнений первого порядка путем введения новых переменных. Канонические уравнения или уравнения Гамильтона дают такую систему дифференциальных уравнений первого порядка, эквивалентную уравнениям Лагранжа, в наиболее удобной симметричной форме. [c.416]

Частные решения этих двух обыкновенных дифференциальных уравнений следующие [c.566]

Подставим (5. 4. 21) в уравнения (5. 4. 14)—(5. 4. 16) с граничными условиями (5. 4. 17)—(5. 4. 20). После несложных преобразований получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для определения амплитуд возмущения р, и , ф, р [c.205]

Подставив соотношения (8. 5. 4), (8. 5. 5) в уравнение (8. 5. 2), получим обыкновенное дифференциальное уравнение для функции. Г (у) [c.330]

В уравнении теплопроводности можно аппроксимировать конечными разностями производные не по всем независимым переменным. В итоге получится система дифференциальных уравнений (обыкновенных или в частных производных). Если удается получить аналитическое решение такой системы, то оно будет приближенным решением задачи, так как при конечноразностной аппроксимации внесена погрешность в математическое описание процесса тегглопро-водности. Однако обычно такой прием частичной замеггы производных конечными разностями, известный как метод прямых [27], используют для решения полученной системы уравнений одним из эффективных численных методов. Например, для задачи нестационарной теплопроводности- аппроксимация производных по пространственным координатам переводит уравнение в частных производных в систему обыкновенных дифференциальных уравнений (в общем случае нелинейных), которая может быть решена методами численного интегрирования Эйлера-Коши, Рунге-Кутта, Адамса и т.п. [4, 104]. Такую же систему обыкновенных диф -ренггиальных уравнений получают из условия баланса тепловых потоков в дискретной модели тела, состоящей из теплоемких масс и теплопроводящих стержней [27]. [c.210]

В качестве математических моделей для колебательных явлений, как правило, можно рассматривать нелинейные дифференциальные уравнения (обыкновенные или в частных производных), правые части которых зависят периодическим образом от ис( Х или 1гекоторых искомых функций и времени. [c.15]

Еще до возникновения общего понятия О. операторные методы широко применялись в рощонии различных типов дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными. Об этол 1 см. иперационное исчисление. [c.490]

При решении линейных дифференциальных уравнений (обыкновенных нлн в частных производных) очень часто используются преобразования Фурье, т. е. решение ищется в виде интеграла Фурье от некоторой новой функции, допускающей уже более простое определение. Аналогичный подход к решению линейных уравнений в вариационных производных должен, по-внднмому, приводить к представлению искомого функционала Ф [6 (Л1)] в внде континуального преобразования Фурье [c.668]

На макроуровне производится дискретизация пространств с выделением в качестве элементов отдельных деталей, дискретных электрорадиоэлементов, участков полупроводниковых кристаллов. При этом из числа независимых переменных исключают пространственные координаты. Функциональные модели на макроуровне представляют собой системы алгебраических или обыкновенных дифференциальных уравнений, для их получения и решения используют соответствующие численные методы. В качестве фазовых переменных фигурируют электрические напряжения, токи, силы, скорости, температуры, расходы и т. д. Они характеризуют проявления внешних свойств элементов при их взаимодействии между собой и внешней средой в электронных схемах или механических конструкциях. [c.146]

Ряд форм модели получается при преобразовании ее уравнений на основе формул и требовании выбранного численного метода решения. Так, численное решение дифференциальных уравнений как в частных производных, так и обыкновенных требует их предварительного преобразования — дискретизации и алгебраизации. Дискретизация заключается в замене непрерывных независимых переменных (времени и пространственных координат) дискретным множеством их значений. [c.168]

Для пJюппн,lx сред дифференциальные уравнения движения будуг уравнениями в частных производных в отличие от систем с конечным числом стенепей свободы, для которых дифференциальные уравнения являются обыкновенными. [c.486]

Получена система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (42), (43) и (44), интегрированием которых можно определить yrjH i Эйлера v /, 0, ф в зависимости от времени при заданных na4ajH3Hbix условиях. Эю сз[ожная для интегрирования система уравнений. Подготовим ее для приближенного интегрирования. [c.507]

На макроуровне используют укрупненную дискретизацию пространства по функциональному признаку, что приводит к представлению ММ на этом уровне в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). В этих уравнениях независимой переменной является время t, а вектор зависимых переменных V составляют фазовые переменные, характеризующие состояние укрупненных элементов дискретизированного пространства. Такими переменными являются силы и скорости механических систем, напряжения и силы тока электрических систем, давления и расходы гидравлических и пневматических систем и т. п. Системы ОДУ являются универсальными моделями на макроуровне, пригодными для анализа как динамических, так и установившихся состояний объектов. Модели для установившихся режимов можно также представить в виде систем алгебраических уравнений. Порядок системы уравнений зависит от числа выделенных элементов объекта. Если порядок системы приближается к 10 , то оперирование моделью становится затруднительным и поэтому необходимо переходить к представлениям па метауровпе. [c.38]

Математические модели называют функциональными, если они отражают процессы, протекающие в объекте при его функционировании, или структурными, если они отражают топологические или геометрические свойства объекта. Типичными функциональными моделями на микроуровне являются дифференциальные уравнения в частных производных с заданными краевыми условиями. Для их решения в САПР применяют методы конечных разностей или конечных элементов. Функциональные модели на макроуровне представляют собой обыкновенные дуфференциальные уравнения. Наибольшее распространение для их решения получили неявные или комбинированные методы численного интегрирования. Для моделирования на метауровне наравне с обыкновенными дифференциальными уравнениями используют модели массового обслуживания и логические уравнения. [c.80]

Подставляя (4. 7. 7) в (4. 7. 5) и (4. 7. 6) п применяя теорему Бореля о свертке функций [59], без труда получим обыкновенное дифференциальное уравнение для функции 7 (р, х) [c.160]

Нетрудно заметить, что левая часть уравнения (6. 1, 18) зависит только от переменной г, а правая часть — только от неременной 1. Следовательно, знак равенства возможен только в том случае, когда обе части уравнения равны одной и той же постоянной, которую обозначим через —л. В результате имеем два обыкновенных дифференциальных уравнения [c.238]

Подстановка (9. 1. 29)—(9. 1. 31) в уравнения (9. 1. 21)— (9. 1. 25) с учетом условия с11у Ур=0 дает систему обыкновенных дифференциальных уравнений для величин 8 . [c.336]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...