Качественное исследование обыкновенных дифференциальных уравнений

КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [c.32]

Настоящая книга преследовала следующие цели обработать экспериментальные данные о струйном обтекании твердого тела водой и определить безразмерные параметры воздействия среды на твердое тело. Исследовать динамические уравнения движения, возникающие при изучении плоской и пространственной динамики твердого тела, взаимодействующего со средой, а также возможно обобщить полученные методы исследования на общие системы, возникающие как в качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории динамических систем, так и в теории колебаний. Исследовать нелинейные эффекты в плоской и пространственной динамике твердого тела, взаимодействующего со средой. Обосновать на качественном уровне необходимость [c.8]

Книга Биркгофа Динамические системы подводит итоги исследованиям автора в области динамики, выполненным до 1927 года. В этой области Биркгоф является основоположником новых точек зрения, новых методов исследования и автором целого ряда важных результатов. Здесь достаточно указать па его замечательное доказательство последней геометрической теоремы Пуанкаре о неподвижных точках при преобразовании плоского кольца, на применение им этой теоремы к теории периодических движений систем с двумя степенями свободы, на его теории центральных и рекуррентных движений. Все это в настоящее время входит в тот минимум знаний, которым должен обладать всякий желающий специализироваться в области качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений или в области теоретической механики. Перевод книги Биркгофа, предлагаемый вниманию читателя, является поэтому насущной потребностью. [c.11]

На рис. 7.32-7.34 представлены результаты, полученные при решении системы обыкновенных дифференциальных уравнений на передней кромке пластины при г = = —1. На рис. 7.32 представлена зависимость коэффициента напряжения трения т от скорости вдува Р для значений д = 0 0,1 0,2 0,5 1 (кривые 1-5) на пластине с углом стреловидности передней кромки 45° (го = 1). Для случая обтекания холодной пластины = О (кривая 1) видно, что коэффициент напряжения трения т О при Р 1,1 для Р > 1,1 решения в рамках теории пограничного слоя нет. Это означает, что при указанных скоростях вдува, больших предельного, начинает развиваться область невязкого течения в окрестности поверхности пластины. Качественно аналогичный результат был получен в статье [Нейланд В. Я., 1972] при исследовании двумерного течения около плоской пластины, через поверхность которой вдувался газ. При сравнении полученных данных с результатами, приведенными в работе [Нейланд В. Я., 1972], необходимо отметить следующие два важных отличия. Во-первых, при обтекании треугольных пластин при любых > О даже в окрестности перед- [c.350]

Мы изложим здесь графические методы решения задач газодинамики, имея в виду, что эти методы позволяют во многих случаях дать качественный анализ решения задач газодинамики, иногда помогают написанию аналитического решения. Графические методы характеристик играют важную роль в сверхзвуковой газодинамике, почти такую же, какую играют качественные методы для исследования решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Графические и численные решения задач потенциального течения сводятся к выполнению элементарных операций. [c.310]

В приложениях 1-8 затрагиваются некоторые качественные вопросы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, от решения которых зависит исследование динамических систем. Обсуждению подлежат такие проблемы как бифуркация рождения предельного цикла из слабого фокуса (ср. с [196-198]) вопросы существования так называемых монотонных предельных циклов, наличия замкнутых траекторий, стягиваемых в точку по двумерным поверхностям, наличия замкнутых траекторий, не стягиваемых в точку по фазовому цилиндру качественные вопросы теории топографических систем Пуанкаре и более общих систем сравнения для динамических систем на плоскости проблемы существования и единственности траекторий, имеющих в качестве предельных множеств бесконечно [c.6]

В приложениях 1-8 затрагиваются некоторые качественные вопросы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, от решения которых зависит исследование динамических систем. Обсуждению подлежат такие проблемы как бифуркация рождения предельного цикла из слабого фокуса (ср. с [196-198]) вопросы существования так называемых монотонных предельных циклов, наличия замкнутых траекторий, стягиваемых в точку по двумерным поверхностям, наличия замкнутых траекторий, не стягиваемых в точку по фазовому цилиндру качественные вопросы теории топографических систем Пуанкаре и более общих систем сравнения для динамических систем на плоскости проблемы существования и единственности траекторий, имеющих в качестве предельных множеств бесконечно удаленные точки для систем на плоскости элементы качественной теории монотонных векторных полей, а также вопросы существования длиннопериодических и устойчивых по Пуассону траекторий. В заключение предлагается некоторая простая методика интегрирования некоторых классов неконсервативных систем через элементарные трансцендентные (в смысле теории функций комплексного переменного) функции. [c.174]

Во второй главе затрагиваются некоторые вопросы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, от решений которых зависит исследование как (чисто) диссипативных динамических систем, так и систем с переменной диссипацией, рассматриваемых ниже и возникающих в динамике твердого тела, взаимодействующего со средой. Рассматриваются такие проблемы как бифуркация рождения предельного цикла из слабого фокуса наличия замкнутых траекторий, в том числе, таких, которые охватывают фазовый цилиндр качественные вопросы теории топографических систем Пуанкаре и более общих систем сравнения проблемы существования и единственности траекторий, имеющих в качестве предельных множеств бесконечно удаленные точки для систем на плоскости элементы качественной теории монотонных векторных полей, а также вопросы существования семейств дпинноперио-дических и устойчивых по Пуассону траекторий. Исследуются также возможности перенесения теории двумерных топографических систем Пуанкаре и систем сравнения на многомер-ныйслучай(см. также[168,250, 251, 266, 291, 300]). [c.69]

Здесь мы кратко рассмотрим стандартный набор приемов для качественного исследования систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Подробное изложение содержится в книгах Андронова и др. (1959, 1966, 1967), Арнольда (1971), Боголюбова и Митропольского (1963), Лефшеца (1961), Понтрягина (1965). [c.32]

Представленный нелинейш,ш гидродинамический процесс является многопараметрическим, и его численному моделированию должен предшествовать подробный качественный анализ, который и составляет предмет данного исследования. Это тем более оправдано, что практика численных расчетов разрывных течений доставляет, как известно, осциллирующие решения, которые нуждаются в однозначной физической интерпретации. А именно требуется обнаружить существенные черты исходной задачи, являющиеся причинами нелинейных колебаний в гидродинамической системе. Для исследования краевой задачи (3.6)-(3.14) применяем подход, связанный с приближенным описанием течения с помощью конечномерных динамических систем. Воспользуемся методом Бубнова-Галеркина [112], который приводит исходную задачу к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для существенных степеней свободы. Это дает возможность изучрггь бифуркационные ситуации и установить пороги возникновения автоколебаний. [c.88]

Анализ матрицы жесткости перекрестно армированных оболочек (см. п. 4.3) приводит к мысли, что традиционно используемая для их расчета теория ортотропных оболочек может давать в отдельных случаях качественно неверную картину напряженно-деформированного состояния. Так, пренебрежение влиянием мембранно-изгибных жесткостей (в дальнейшем будем говорить об эффекте анизотропии) при расчете малослойных перекрестно армированных оболочек приводит к недопустимым погрешностям, искажающим напряженное состояние конструкции, особенно на границе раздела слоев. Исследование эффекта анизотропии сопряжено с большими трудностями даже в задачах осесимметричной деформации перекрестно армированных оболочек, так как в зтом случае приходится интегрировать полную систему обыкновенных дифференциальных уравнений десятого порядка в теории оболочек типа Тимошенко и двенадцатого порядка в уточненной теории. [c.209]

Истоки рассмотренных ниже исследований по устойчивости нелянуновско-го типа лежат в области небесной механики. Исследования Пуанкаре по качественной теории дифференциальных уравнений привели их автора к таким сопоставлениям. Мы закончим этот раздел кратким обзором развития тех относящихся к теории устойчивости идей, которые разрабатывались Пуанкаре, а затем главным образом Дж. Биркгофом, что в значительной мере составляет одновременно заметную часть истории качественных методов теории обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.135]

Советская научная литература по устойчивости чрезвычайно обширна и весьма богата результатами как в области развития теории, так л в области ее практических приложений (см. А. М. Ляпунов. Библиография . Составила А, М. Лукомская, под редакцией В. И. Смирнова, М.—Л., 1953). Разработка идей Ляпунова ведется по многим направлениям. Здесь надо отметить развитие и применение первого и, особенно, второго методов Ляпунова, установление новых теорем, расширяющих ж углубляющих эти методы анализ существования функций Ляпунова и их эффективного построения исследования устойчивости по первому приближению и в критических случаях, а также при постоянно действу-лопщх возмущениях исследования устойчивости не установившихся и периодических движений, а также уртойчивости на конечном интервале времени развитие теории приводимых и правильных систем, а также качественной теории дифференциальных уравнений распространение методов Ляпунова на механические системы, описываемые аппаратом, отличным от обыкновенных дифференциальных уравнений (в особенности на сплошные среды), и многие другие. В последние годы выяснилось, что метод функций Ляпунова можно с успехом применять и в получении оценок приближенных интегрирований, и в теории оптимального управления (см. обзор Н. Н, Красовского в настоящем сборнике, стр. 179— 243), и в теории нелинейных колебаний и во многих других разделах науки. По теории устойчивости движения опубликован ряд прекрасных монографий. [c.11]

Следовательно, распространение алгоритма асимптотической декомпозиции на пфаффовы системы является прямым обобщением результатов, полученных в предыдущих главах. Следует отметить качественный скачок в методике обоснования алгоритма асимптотической декомпозиции, обусловленный переходом от одного операторного уравнения в системе (1.22) в случае обыкновенных дифференциальных уравнений к системе операторных уравнений в случае пфаффовой системы. В первом случае решение одного операторного уравнения сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений, во втором исследование системы операторных уравнений приводит к необходимости решения вполне интегрируемых систем и систем в инволюции. [c.260]

В данной главе изложены основные математические методы исследования сложной системы реакций. Обсуждаются ограничения, накладр 1ваемые законом действующих масс и законами сохранения на вид системы обыкновецггых дифференциальных уравнений, описывающих химические реакции в гомогенной системе идеального перемешивания. Изложены основы метода квазистационарных концентраций, базирующегося на введении безразмерных переменных и коэффициентов, правильном выборе масштаба и использовании теоремы Тихонова. Приведена конспективная сводка основных приемов качественного исследования систем обыкновенных дис )ферен-циальных уравнений, которые обычно отсутствуют в курсах химической кинетики, но имеются в книгах, посвященных динамике химических реакторов (Арис, 1967 Денбиг, 1968). Приемы качественного исследования уравнений химической кинетики достаточно полно изложены в монографии Вольтера и Сальникова (1972). [c.23]

Качественное влияние магнитогидродинамических эффектов на течение электропроводного газа в канале МГД-устройства было исследовано на основе гидравлического одномерного) приближения. Исследования в этом направлении, начатые работой Э. Л. Реслера и В. Р. Сирса J. Aeronaut. Sei., 1958, 25 4, 235—245), весьма многочисленны и содержат результаты расчетов массы конкретных частных примеров. С принципиальной стороны расчет отдельных примеров на базе гидравлической теории не представляет труда, так как сводится к решению задачи Коши или Б крайнем случае к двухточечной краевой задаче для системы обыкновен ных дифференциальных уравнений. С другой стороны, получение выводов общего характера из этой массы примеров весьма затруднительно. Гораздо больший интерес представляет решение различных вариационных задач на основе гидравлического приближения с целью определения оптимальных в определенном смысле режимов течения. Четкая постановка вариационной задачи в связи с течением в канале МГД-генератора дана [c.445]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...