Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

Некоторые методы численного решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений [c.446]

Таким образом, отыскание изображения U x, р) свелось к решению краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Предполагая, что задачи (4.57) и (4.58) разрешимы, находим изображение U x, р), а затем по формуле обращения и решение и(х, i). [c.113]

Подробнее о численных методах решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений (включая методы решения нелинейных задач, методы решения систем уравнений, задачи на собственные значения, метод конечных элементов и метод пристрелки) см. [8, 32, 72]. [c.147]

Вначале рассмотрены основные методы численного анализа интерполирование, численное интегрирование и дифференцирование. решение линейных и нелинейных уравнений и систем, решение начальных и краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти сведения позволят изучать материал последующих глав, не обращаясь к дополнительной литературе. [c.3]

РЕШЕНИЕ ДВУХТОЧЕЧНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [c.146]

В главе 3 рассмотрены нелинейные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Использование метода прогонки для решения линеаризованных краевых задач позволило отобразить функциональное множество решений нелинейной задачи на кривую в векторном пространстве малой размерности, а это, в свою очередь, дало возможность обобщить методы гл. 1 на нелинейные краевые задачи. [c.6]

Все эти уравнения допускают тривиальное решение / = О, что соответствует существованию прямолинейной формы равновесия. В теории краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений соотношения (11.11)-(11.13) при р[х) = О (или 5 = 0, р х) = Pof x) где f x) — заданная функция) вместе с соответствующими однородными граничными условиями называются задачами на собственные значения S (или ро). Они могут иметь бесконечное множество нетривиальных решений [собственных функций собственных форм) Уп х) (п G N) при S = Sn (ро = [c.375]

Условно материал данной главы можно разбить на две части. В первой из них рассмотрены задачи по сопротивлению материалов, для решения которых требуются методы математического анализа и высшей алгебры вычисление геометрических характеристик сложных областей, определение перемещений сечений балок переменного сечения, нахождение главных напряжений и главных площадок и т. д. Вторая часть главы посвящена определению упругих линий балок, в том числе лежащих на упругом основании, интегрированию уравнений продольно-поперечного изгиба, которые сводятся к краевым задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Для решения краевых задач ОДУ используется метод конечных разностей (МКР) [20], основы которого приведены в справочном виде. [c.482]

Ряд задач по сопротивлению материалов не могут быть решены аналитически или же такое решение является очень трудоемким. Таковыми, например, являются задачи об определении упругой линии (см. 5.2, 5.4) и о продольно-поперечном изгибе (см. 11.1) балок с переменной жесткостью, изменяющейся непрерывно или кусочно-непрерывно при большом числе участков. Эти задачи сводятся к краевым задачам для обыкновенного дифференциального уравнения не выше четвертого порядка. Причем [c.508]

В табл. 5.2 приведены значения / 1 для всех трех исследуемых методов при различных N (порядок системы дифференциальных уравнений 1=2Ы, 6 = 0.01). Исследование м.н.о. на примере этой задачи указывает на то, что, по-видимому, этот метод может быть использован для решения краевых задач систем обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка при любой длине интервала интегрирования. Практически решались системы до 56-го порядка N = 28) при длине неоднородности до 40Л, где А —длина нормальной волны Яю в воде (т. е. справа от пластинки), Л=2я/Ке(уП 0- [c.227]

Однако в настоящей книге мы не касаемся всех разделов численного анализа, используемых в гидродинамических задачах. Мы не рассматриваем интересную двухточечную краевую задачу для обыкновенных дифференциальных уравнений, которая играет столь важную роль при расчете автомодельных решений теории пограничного слоя мы не рассматриваем даже практически важного метода характеристик. Вместо этого мы сосредоточим свое внимание на новой, только еще появляющейся дисциплине, которую, по-видимому, лучше всего было бы назвать численным моделированием в гидродинамике. В настоящее время все чаще входит в употребление термин вычислительная гидродинамика , который почти не отличается от более широкого термина численная гидродинамика ). [c.13]

В способе Л. Б. Канторовича краевая задача для уравнения в частных производных (Пуассона) заменена краевой задачей теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Но можно вообще избегнуть решения дифференциальных уравнений, а свести задачу к линейной алгебраической системе уравнений, задавая целиком форму решения и распоряжаясь неизвестными введенными в него постоянными. Например, полагаем для прямоугольника [c.418]

Теперь можно, вообще говоря, использовать изложенную выше методику, пригодную для анализа стохастических краевых задач, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Однако в данном случае удобнее исходить непосредственно из уравнения (3.40). Дифференцируя (3.40) по Г, получаем интегральное уравнение для величины ди Ь, Т) дТ, решение которого с использованием (3.40) можно представить в следующем виде [c.174]

Для достижения хорошей точности требуется значительное число полос. Кроме того, при задании краевых условий решение краевой задачи для большой системы обыкновенных дифференциальных уравнений представляет известные трудности. Метод прямых применяется для расчета динамики простейших моделей парогенераторов, составленных из последовательно соединенных детектирующих звеньев без обратных связей, так что для каждого звена достаточно решить одну-две задачи Коши [Л. 81]. [c.351]

К решению систем линейных уравнений сводятся многочисленные практические задачи, например, различные краевые задачи для обыкновенных и в частных производных дифференциальных уравнений. Можно с полным основанием утверждать, что данная проблема является одной из самых распространенных и важных задач вычислительной математики. [c.258]

Структура исходных уравнений нелинейной теории многослойных анизотропных оболочек довольно сложна, получить аналитическое решение уравнений (1.42), (1.43) непросто, позтому будем ориентироваться на их численное решение на ЭВМ, В последние годы самое широкое распространение и признание получила методика решения задач прочности оболочек вращения, согласно которой исходная система уравнений, описывающих напряженно-деформированное состояние конструкции в геометрически линейной постановке, сводилась к решению краевой задачи для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Этот прием в сочетании с методом ортогональной прогонки оказался настолько плодотворным, что проблема расчета осесимметричных оболочек вращения в классической постановке оказалась в основном завершенной [ 1.16]. [c.23]

Задача о контакте гибкой круглой пластины с жесткой плоской плитой решена в [175] итеративным сопряжением решений краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений в зоне контакта и вне ее. Деформация поперечного обжатия не принята во внимание, поэтому поперечная сила на границе зоны контакта терпит разрыв. [c.14]

Неоднородная краевая задача. Предположим, что на интервале [xq, Xi ] необходимо получить решение краевой задачи для системы п линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка [c.148]

Итак, ищется решение краевой задачи для (5п — 1) обыкновенных дифференциальных уравнений (2.8) относительно (5п — 1) неизвестных функций. Число уравнений можно сократить, заменив часть из них конечными соотношениями однако целесообразнее использовать [c.83]

Таким образом, рассматриваемая неоднородная задача теории термоупругости свелась к краевой задаче для обыкновенного линейного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. В общем случае ее решение проще всего получить численными методами с по- [c.447]

Итак, для построения решений краевых задач для уравнения (3) или (63) необходимо знать решение обыкновенного дифференциального уравнения (5). [c.470]

Эта задача о распаде произвольного разрыва соответствует вытеснению нефти из водо- и нефтенасыщенного пласта. Она допускает автомодельное решение 5ш = 5ш(т]), у =х/%, которое отыскивается из решения краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения, следующего из (8.3.6) [c.318]

Задача (2.404) — (2.405) представляет собой простейшую краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Разумеется, для исследования вопроса о существовании и единственности решения этой задачи можно было бы воспользоваться надлежащими теоремами из теории обыкновенных дифференциальных уравнений, однако здесь будет использована теория, изложенная в приложении II, с тем чтобы потохм построить естественные обобщения на случай более сложных задач для уравнений с частными производными. [c.109]

Анализ корректной разрешимости контактных задач при использовании различных теорий оболочек проведен в [13, 84, 214]. Применительно к осесимметричной контактной задаче для круговых цилиндрических оболочек математические аспекты использования моделей Кирхгофа — Лява, Тимошенко и учета трансверсального обжатия, выяснение условий кор->ектности задач, способы-их регуляризации рассмотрены в 130]. Для строгого изучения этих вопросов применены теория обобш,енных функций и методы решения некорректных задач. Приведены сведения из теории краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэ1 )фици-ентами и основные понятия теории обобш,енных функций. С помош,ью фундаментальной системы решений дифференциального оператора построены функции Грина и функции влияния для оболочек Кирхгофа — Лява и Тимошенко. Даны постановки задач о контакте оболочек между собой и с осесимметричными жесткими штампами. Методом сопряжения построены обобщенные решения, поскольку классическое существует только для моделей, учитывающих трансверсальное обжатие. Найдены обобщенные решения интегральных уравнений Фредгольма первого рода, рассмотрены методы их аппроксимации классическими (методы регуляризации). [c.11]

В предыдущем параграфе краевые задачи для векторных ин-тегродифференциальных уравнений сводились к векторным интегральным уравнениям второго рода с помощью матриц, составленных из функций Грина. При этом было достаточно существования функций Грина. Идею сведения краевых задач для векторных ин-тегродифференциальных уравнений к векторным интегральным уравнениям второго рода можно использовать и при приближенном решении краевых задач путем приближенного решения соответствующих интегральных уравнений. Однако при этом необходимо осуществлять построение функций Грина. Вопросы существования и построения функций Гряна для краевых задач, определяемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, рассмотрены, например, в работах [5, 12]. Вопрос о построении функций Грина достаточно разработан для краевых задач, определяемых обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. В этом случае может оказаться целесообразным переход от краевой задачи для векторного интегродифференциального уравнения к векторному интегральному уравнению второго рода. Например, при приближенном решении задачи этот переход обеспечивает возможность осуществления эффективной аппроксимации. В случае дифференциальных операторов с переменными коэффициентами при построении функций Грина, а следовательно, и при сведении краевых задач к интегральным уравнениям второго рода могут возникать затруднения. [c.85]

Исторически одним из первых методов, нашедших ншрокое применение при решении краевых задач для уравнений с частными производными, явился метод разделения переменных или, как его еще называют, метод Фурье, заключающийся в построении набора частных решений, каждое из которых разыскивается в виде произведения функций меньшего числа переменных (как правило, функций одного переменного). В ряде случаев оказывается, что такое представление не вступает в противоречие с исходным дифференциальным уравнением (тогда говорят, что уравнение допускает разделение переменных) и приводит, в зависимости от размерности задачи, к нескольким обыкновенным дифференциальным уравнениям, содержащим один и тот же числовой параметр. В зависимости от характера области, в которой решается краевая задача, граничных и начальных [c.117]

Основная идея метода прямых состоит в сведении решения краевой задачи для уравнения с частными производными к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. В газовой динамике существует два численных метода, являющихся обобщением метода прямых метод интегральных соотношений Дородницына и метод Теленина, Эти методы используют в основном для решения внешних задач газовой динамики. [c.180]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...