Комплексные переменные — Интегралы

Применяя обратное преобразование Лапласа и переходя от интеграла в области комплексного переменного к интегралу от вещественной переменной, получим [c.395]

Выяснить, всегда ли интегралами системы дифференциальных уравнений (П1. 12) и (III. 14) являются мероморфные и однозначные функции времени t если это не так, то найти те зависимости между коэффициентами уравнений (III. 12) и (III. 14), которые обеспечат упомянутый аналитический характер их интегралов на плоскости комплексной переменной t. [c.449]

Равенство (9.237), которое называется формулой Г у р в а, являясь общим интегралом уравнения (9.231), выражает собой представление функции напряжений через две аналитические функции комплексного переменного ф (z) и х (z). [c.288]

Нас будет интересовать особенность в кончике трещины, например при Z = а. Заметим, что в формуле (19.4.6) интегральный член остается ограниченным при г = а, слабые особенности типа (2 —а) в подынтегральном выражении и перед интегралом взаимно компенсируются. На самом деле всегда можно выбрать такую функцию p z) комплексной переменной z, что p t) представляет ее значение на отрезке [—а, а] действительной оси. Тогда этот интеграл представляет собою интеграл Коши, его [c.662]

Пусть в плоскости комплексного переменного р задана некоторая ориентированная кривая L и на ней — функция комплексного переменного F (р). Интегралом от F р) вдоль L называют [58] [c.176]

Вычисление интеграла (6.45) от функции комплексного переменного F (р) можно свести к вычислению интегралов действительного переменного [c.176]

Таким образом, вычисление интеграла но комплексному переменному приводится к вычислению обычных определенных интегралов. [c.197]

Компланарные векторы 227 Комплексные переменные — Интегралы 196 [c.573]

Неопределенные интегралы — см. Интегралы неопределенные Неподвижная точка — Связь 361 Непрерывность функции комплексного переменного 194 Непрерывные дроби 71 [c.579]

Наиболее эффективные методы расчета решеток основаны на использовании методов теории функций комплексного переменного и, в частности, на применении основных представлений этих функций в виде интегралов и в виде рядов, являющихся, соответственно, обобщениями на решетчатые области интеграла Коши и ряда Лорана. [c.34]

Аналитические свойства фурье-компонент функций Грина. В дальнейшем нам придется вычислять интегралы, содержащие фурье-компоненты функций Грина. Для этого необходимо знать их аналитические свойства как функций комплексной переменной ш. Если распространить действительную переменную ш на область комплексных чисел (комплексную плоскость), то нетрудно заметить, что запаздывающая и опережающая функции не имеют полюсов соответственно в верхней и нижней полуплоскости комплексной переменной ш. Более того, они являются аналитическими в соответствующих полуплоскостях. Эти аналитические свойства фурье-компонент функций Грина позволяют легко вычислять содержащие их интегралы. Очевидно также, что причинная функция Грина не является аналитической ни в верхней, ни в нижней полуплоскости комплексной переменной о1. [c.147]

Слагаемое г1), (С) удовлетворяет всем условиям, сформулированным в 13.4, и не будет давать каких бы то ни было сосредоточенных воздействий. Для исследования других слагаемых правой части (16.26.9) будем подставлять их в интегральные уравнения равновесия, считая, что интегрирование надо производить по окружности = р. Тогда вычисление интегралов (16.26.8) для каждого отдельно взятого члена разложения (16.26.9) может быть выполнено при помощи известной формулы теории функций комплексного переменного [c.233]

Получающиеся при этом интегралы подсчитываются при помощи известной формулы для п-й производной аналитической функции комплексного переменного [c.236]

Об интегралах типа Коши. Пусть L —простой, замкнутый либо разомкнутый, гладкий контур в конечной части плоскости комплексного переменного z = х + ty или совокупность конечного числа таких контуров, не имеющих общих точек, а / (/) — заданная на L (за исключением, быть может, конечного числа точек) абсолютно интегрируемая функция. Тогда интеграл [c.11]

О вычислении интегралов типа Коши. Приведем некоторые формулы, облегчающие вычисление интегралов типа Коши и сингулярных интегралов, которые часто встречаются при решении задач теории упругости с использованием функций комплексного переменного. Пусть с — некоторая конечная точка на плоскости 2 и пусть в окрестности этой точки функция / (z) имеет вид [c.14]

Введём в нижней полуплоскости две функции комплексного переменного w z) и W2 z), которые являются интегралами типа Коши z = X + гу) [c.165]

Представляет собой аналитическую функцию во всей плоскости комплексного переменного, кроме точек самого контура L. Этот интеграл принято называть интегралом типа Коши, функцию /(т) —его плотностью, выражение 1/(т—z) —ядром. Если в окрестности точки отличной от узлов (в том числе концов), функция /(т) удовлетворяет условию Я, интеграл (1.19) имеет [c.9]

С таким вопросом Пуанкаре встретился при построении теории функций двух комплексных переменных, рассматривая задачу о вычетах двойных интегралов [c.36]

В приложении 6А показано, как суммы по дискретным частотам можно преобразовать в контурные интегралы по комплексной переменной 2 . [c.14]

Ке(/>)>з. Интеграл в правой части (2.14) понимается в смысле своего главного значения. Для вычисления интеграла (2.14) можно пользоваться некоторыми теоремами, доказанными для интегралов такого вида. В частности, если и представляет собой регулярную функцию в любой конечной части плоскости комплексного переменного р, за исключением множества точек, представляющих собой полюсы этой функции, то значение всей правой части (2.14) представляется в виде суммы вычетов, т. е. [c.310]

Теперь нетрудно заключить, что перемещения и и v, определяемые формулами (1.5) , (1.20), а также деформации и напряжения, определяемые формулами (1.9), являются при Ij/I е и Izl непрерывными вместе со всеми своими производными функциями, ибо соответствующие им интегралы сходятся равномерно. Более того, как функции комплексной переменной Z = z + I деформации и напряжения будут аналитическими функциями, регулярными [4] в полосе —оо<а <оо, <й— у. Заметим еще, что функции (I7 + ayU ) а, (Е -f аг/Е ) а, (Г + + а /Г ) а, (2j + aj/2j) а, (2 + ay Zy) а абсолютно интегрируемы на (—оо, оо) по а при li/l h — г. Поэтому [31 деформации и напряжения при у к — г стремятся к нулю, когда 1а 1оо. Относительно перемещений -и и v можно утверждать, что при I д 1 оо и фиксированном I /1 h — г [c.21]

Можно показать, что на прямой. s = 1 /2 + is в плоскости комплексного переменного s знаменатель выражения для функции K (s, а) вида (7) не имеет нулей. В связи с этим примем в интеграле (5) с = 1/2 и перейдем к интегрированию по s (штрих далее опускаем). В результате формулы (5), (7) примут вещественный вид [c.199]

Этот результат аналогичен основному результату гл. II, п. 9 [см. также формулу (3.1)]. К сожалению, его прямое применение в частных случаях приводит к очень сложным формулам, если оба целых числа г и 5 не очень малы. Ниже мы рассмотрим интегралы, выражающие комплексную переменную 2 в нескольких простейших случаях, для которых г/ = О, /2 или 1. [c.135]

Кроме того, ортогональность (8.4в) не существует, соответствующие интегралы расходятся. Ортогональность можно восстановить, вводя так называемое комплексное пространство , т. е. полагая на больших расстояниях в интегралах (8.4в) радиус комплексной переменной. [c.91]

Такой подход позволил эффективно приложить (Г. Н. Савин, 1964) развитый ранее применительно к линейным задачам метод функций комплексного переменного и интегралов типа Коши. Р1зучены особенности и условия однозначности комплексных потенциалов, сформулированы различные варианты статических и геометрических граничных условий в начальном и деформированном состояниях (Г. Н. Савин и Ю. И. Койф-ман, 1961). Затем был рассмотрен ряд задач о концентрации напряжений около кругового и эллиптического отверстий (свободного и с подкреплением) при однородном напряженном состоянии на бесконечности Ю. И. Койфман, 1961—1964). Здесь же рассмотрены родственные задачи для пластинки с жестким ядром. [c.77]

Следствие. Следующая система третьего порядка на S amoa2v a=Kk,keZ)xR z ,z , зависящая от 8 параметров, обладает, вообще говоря, трансцендентным (в смысле теории функций комплексного переменного) первым интегралом, выражающимся через элементарные функции [c.128]

Следуя Л. А. Галину [133], введем в нижней полуплоскости две функции комплексного переменного, являющиеся интегралами типа Коши с плотностями, равными нормальному и тангенциальному усилиям, действующим на гранрще полуплоскости [c.11]

Если функция (О(5), отображающая окружность единичного радиуса на контур Г границы упругого тела, рациональна, ме-тод остается по существу тем же самым и регаение задачи всегда может быть доведено до конца и представлено в замкнутом виде. Выражения, фигурирующие в равенствах (10.5.3) и (10.5.4), при этом всегда могут быть представлены как контурные значения рациональных аналитических функций переменной и интегралы типа Коши вычисляются как интегралы Коши. Метод комплексной переменной применительно к плоским задачам очень хороша представлен в ряде монографий и учебной литературе (Мусхели-швили, Савин, Новожилов, Амен-Заде и др.), поэтому здесь он не будет развиваться более подробно и иллюстрироваться другими примерами. [c.342]

Кольцсв0Й сектор — Площадь 107 Кольцо круговое — Площадь 106 Компланарные векторы 227 Комплексные переменные— Интегралы 196 [c.552]

Основные изменения, произведенные в первых двух главах, связаны с более строгим применением бесконечных рядов и интегралов, входящих в решения задач. Главы III—VI мало отличаются от соответствующих глав первого издания. Следующие четыре главы содержат много нового материала. Главы XI и XII совершенно новые. Первая озаглавлена Применение контурных интегралов к решению уравнения теплопроводности". Недавняя работа Бромвича привлекла внимание к символическому методу" Хевисайда. Действительно, все вопросы, разобранные ь этой главе, можно было бы решить с помощью этого метода. Но, чтобы оправдать символический метод, мы должны основываться на контурном интегрировании, и главная разница между методом, развитым и применяемым мною в этой главе, и симво-. , лическим методом заключается в том, что я предпочитаю в каждом случав прибегать к стандартному пути интегрирования на плоскости комплексного переменного, вместо того чтобы пользоваться с1воего рода мдтематической стенографией. [c.4]

Интегрирование в формуле (2-9-2) происходит вдоль прямой а = onst в комплексной плоскости s = S- -iTj, параллельной мнимой оси и расположенной в полуплоскости Re5 Si>a . Методика такого интегрирования детально изложена в специальных руководствах по теории функций комплексного переменного. В большинстве же практических случаев обратное преобразование можно осуществить, не прибегая к контурному интегралу (2-9-2). [c.80]

Исключение з из yp-in-in для Р и п приводит к Г. р. для давления по степеням плотности (это можно сделать методами ф-ций комплексного перемениого). Г оэф. полученного ряда fi, (неприводимые групповые интегралы) выражаются через групповые интегралы hj. Метод Г. р. применим также к др. неидеальным системам статистич. физики, в т. ч. к квантовым. [c.545]

Будем считать заданное при вещественных значениях Ьх начальное распределение g(px) достаточно гладким , так что его аналитическое продолжение в область комплексных значений Ьх не имеет никаких особенностей при конечных Ьх — точнее, представляет собой целую функцию комплексной переменной Ьх- То же самое можно, очевидно, утверждать относительно функции б/о/бНлг. Поэтому интегралы в числителе и знаменателе выражения (90.16) представляют собой аналитические функции комплексной переменной р везде, кроме точек мнимой оси Ке /7 = 0. Однако в областях Ке/7>0иКе/ <0 каждый из этих интегралов определяет две разные аналитические функции. Формулы (90.8), (90.9) имеют смысл только при условии Ке/ > 0. [c.501]

Соотношения (8.64), (8.93), (8.95) для корреляционных функций одномерного и трехмерного волнового поля позволяют довести до конца аналитические вычисления при простых выражениях спектральной плотности пространственных неоднородностей Sv (k). В частности, интегралы по волновому числу, содержащиеся в характеристических уравнениях и выражениях для Ки, при дробнорациональной форме S можно определить методом контурного интегрирования на плоскости комплексного переменного Z (Re Z = k). Однако при произвольном виде спектральной плотности неоднородностей необходима численная методика решения задачи. [c.248]

Интегралы берутся по контуру Го, проходящему в плоскости комплексного переменного х через точку т=0 в направлении быстрейшего возрастания вещественной части функции ost. Так как.контур Го симметричен относительно точки т=0, то U и и суть нечетные функции osi O, терпящие разрыв при osfl =0. Если os =7 0 и X— оо, то функции и и и стремятся к нулю. [c.157]

Выяснив аналитические свойства выражения (6.21) в плоскости комнлсксБОГо переменного со, можно теперь выявить вид закона релаксации распределения (6.23) во времени [5]. Для того чтобы явно усмотреть временную зависимость (6.23), сместим в правой части этой формулы контур интегрирования но ш в нижнюю полуплоскость комплексного переменного, обходя полюсы и линии разреза. Если контур сместить бесь оиечно далеко вниз, то интеграл по нему при О обращается в нуль, а интегрирование сводится к вычетам относительно полюсов выражения (6.21) и интегралу по берегам линии разреза. Поскольку полюс (6.24) обладает отрицательной мнимой частью (—V), то возникающая от его вклада временная зависимость [c.38]

Следовательно, интегралы в (3.12) могут быть взяты по прямой, параллельной мнимой оси. Но концы отрезк этой прямой и могут располагаться на плоскости комплексного переменного г в различных местах. От того, в каких четвертях плоскости г будут располагаться точки и будет зависеть вид асимптотических выражений цилиндрических функций. [c.401]

Металлический круговой цилиндр -поляризация, ряд Ватсона. Члены рядов Релея в отдельности не удовлетворяют граничным условиям на поверхности цилиндра — это приводит к ленной сходимости рядов при больших ка. Существует способ преобразования рядов Релея—преобразование Ватсона, в результате которого получаются другие ряды, удобные для анализа именно при больших ка. Преобразование Ватсона состоит в том, что ряд (5.10) рассматривается как сумма вычетов некоторого интеграла, взятого в плоскости комплексной переменной V по петле, окружающей вещественную полуось, от функции, отличающейся от величины, стоящей под знаком суммы в (5.10), заменой индекса суммирования т на переменную V и дополнительным множителем l/siпvя. Такое представление суммы интегралом возможно, так как интеграл имеет полюса именно при целочисленных V = т. Затем производится деформация контура в плоскость V в петлю, окружающую все полюса, расположенные в первом квадранте. Для -поляризации эти полюса — нули знаменателя Ат, рассматриваемого как функция индекса [c.47]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...