Решение треугольников уравнений

Решение. Напишем уравнение движения точки М в координатной форме. Углы при основании равнобедренного треугольника ОСА всегда равны между собой. Определим координаты точки М [c.23]

Взяв 6 = — 2/27(1 , приходим к решению для сечения в форме равностороннего треугольника. Уравнение (е) в этом случае может быть представлено в виде [c.307]

Уравнения (4) являются параметрической формой у р а в-нения шатунной кривой кривошипно-ползунного механизма. Они справедливы как для осевого, так и для внеосевого механизма. Чтобы вычислить координаты точек шатунной кривой кривошипно-ползунного механизма, достаточного решить эти уравнения при соответствующих значениях р для данного механизма. Другим путем вычисления может служить последовательное решение треугольников AB и АВК по двум извести ным сторонам и одному углу. [c.15]

Решение треугольников 102, 112—114 --- уравнений 115—133, 206, 210, [c.583]

Решение этих уравнений состоит в следующем. Строят расчетный вспомогательный треугольник (р с. 219), куда заносят наблюденные отсчеты. [c.272]

Графическим решением этого уравнения является треугольник сил, показанный на рис. 2.39, б. [c.85]

Геометрический способ решения векторного уравнения (8.62) представлен на рис. 8.28, б. Как и в примере 3.2, при определении А0 вместо профилей, касающихся в М, можно ввести в рассмотрение эквидистантные профили, касающиеся друг друга в полюсе зацепления Р. Легко установить, что на величине это не скажется. Это следует из того, что заштрихованные на рис. 8.28 треугольники подобны. [c.291]

Известны три способа вывода ФП плоских элементарных механизмов. Первый способ, наиболее общий, заключается в последовательном проектировании размеров звеньев механизма на оси прямоугольной системы координат с последующим объединением двух полученных уравнений. Второй способ основан на решении треугольников, образованных звеньями механизма (в отдельных [c.43]

Ранее была (стр. 204) показана возможность приближенного графического построения поля линий скольжения при осадке широкой полосы, изображенного на рис. 6.20. В центральной части полосы [треугольник (2, 8) А (8, 5)] образуется жесткая зона. Она и является той зоной падения касательных напряжений (зона прилипания — зона В), которую было необходимо логически предположить при рассмотрении процесса осадки методом решения приближенных уравнений равновесия и пластичности (стр. 239). [c.252]

В случае равнобедренного треугольника решение первоначальных уравнений (5.9) запишется в виде [c.231]

Единственные действительные решения этих уравнений суть г, = 1, г = 1, и точки образуют равносторонние треугольники с конечными телами независимо от их относительных масс. Как было показано в конце 157, они встречаются в тех местах, где поверхности исчезают из плоскости ху. [c.263]

Очевидно, что одно из решений этих уравнений дают векторы 1(1, к2, кз, образующие равносторонний треугольник с центром в начале координат. В самом деле, в этом случае первые два из уравнений (3.4) удовлетворяются автоматически, причем начало координат является центроидом поскольку сумма к + Р + ) имеет одно и то же значение для каждого из волновых векторов, [c.165]

Графическое решение этого уравнения (план скоростей механизма) представляет собой равносторонний треугольник аЬ (рис. 13.20, б), поэтому а = ув увл - 0,3 м/с. [c.112]

Построение треугольников скоростей и является геометрическим решением данной задами. Для получения аналитического выражения для о)з воспользуемся следующими уравнениями, вытекающими из наших построений [c.226]

Решение. Для составления уравнений движения точки М рассмотрим треугольник ОАС. Он равнобедренный ОС=ЛС= 0,5/, [c.250]

Для решения задачи необходимо составить дополнительное уравнение перемещений элементов конструкции, для чего изобразим ее в деформированном виде. Из подобия треугольников АСС и АВВ получаем [c.203]

Нетрудно заметить, что при решении уравнений гиперболического типа методом сеток основное значение приобретает параметр а. Действительно, зная решение в узлах двух рядов на участке ограниченной протяженности, можно определить решение в третьем ряде в меньшем (на единицу с каждой стороны) числе узлов — таким образом удается заполнить узлы в треугольной области. С другой стороны, известно, что для волнового уравнения область влияния есть треугольник со сторонами, наклоненными к осям под углами л/4 (что соответствует а=1). Поэтому условие а 1 (называемое условием Куранта) есть необходимое условие сходимости последовательности (lim h, 1- 0) приближенных решений к точному. [c.181]

Три точки Лагранжа. Лагранж указал на то, что в ряде случаев удается получить точные решения уравнений движения. В частности, имеются две задачи, в которых расстояния ri, Гг, Гз сохраняют постоянные значения в течение всего времени движения. В первой из этих задач частицы располагаются в вершинах треугольника постоянного размера и постоянной формы, а во второй задаче они располагаются вдоль одной прямой. [c.576]

Движение в окрестности равновесного решения. Воспользуемся функцией Гамильтона (29.6.5) для изучения вопроса об устойчивости (в смысле первого приближения) системы трех точек Лагранжа. Рассмотрим сначала равновесное решение во враш аюш ихся осях, причем для определенности возьмем решение, в котором частицы располагаются в вершинах равностороннего треугольника. Допустим, что суш ествует решение уравнений движения, которое мало отличается от равновесного решения. Пусть ql, р°) есть равновесное решение. Положим [c.582]

Устойчивость трех точек Лагранжа. Вернемся к задаче, рассмотренной в 29.7. Речь там шла об устойчивости равновесного решения в случае, когда частицы находятся в покое (относительно враш ающихся осей) в вершинах равностороннего треугольника. Прежде всего заметим, что если возмуш ения выводят центр тян ести системы из состояния покоя, то нельзя рассчитывать на устойчивость, так как при этом система уходила бы все дальше и дальше от первоначального положения. Поэтому ограничимся рассмотрением лишь таких возмущений, при которых центр масс G остается в покое. При таких возмущениях задачу можно свести к шестому порядку ( 29.8) собственные значения соответствующей задачи первого приближения будут определяться как корни уравнения [c.586]

Если величины mi, niz, пгз удовлетворяют неравенству (29.9.5), то решение для равностороннего треугольника Лагранжа будет устойчиво по первому приближению. Однако, как мы видели, это еще не означает устойчивости при переходе от линейного приближения к точным уравнениям движения. [c.587]

Это соотношение эквивалентно уравнению пятой степени (29.3.14). Таким образом, мы снова подучили уже известный результат, согласно которому равновесные решения исчерпываются равносторонним треугольником Лагранжа и случаем, когда частицы располагаются на одной прямой. [c.601]

КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ МЕТОД - вариационный сеточный метод, являющийся,в свою очередь, проекционным методом при специальных координатных функциях. Область определения искомой функции в КЭМ разбивают на конечные элементы треугольники, четырехугольники, тетраэдры и т.п. Внутри каждого элемента задаются функции формы,произвольные функции с числом параметров, равным произведению чиспа узлов элемента на число условий в этих узлах. В качестве координатных функций применяют функции, тождественно равные нулю всюду, кроме одного конечного элемента, внутри которого они совпадают с функциями формы. В КЭМ решение дифференциальных уравнений сводится к минимизации функционала, вследствие чего этот метод является вариационным. С другой стороны, КЭМ, является сеточным методом, т.к. исследуемую область разбивают на подобласти, образуя сетку. Повышенная точность схем КЭМ обусловлена добавлением не только узлов, расположенных на границах элементов, но и внутренних узлов. [c.30]

Иедостающее уравнение получим из геометрических соображений, выражая отрезок DD (см. рисунок) из треугольников DD D и DD D Ядо/sin 2а = = Лдо/sina после замены удлинений по закону Гука /V o/ o/( f) 4д sin 2а = = V/ o 8D/( f)flD sin а. Решение системы уравнений дает [c.257]

Некоторые решения этих уравнений нам уже известны, например решения вида iL r = где i, С2, С3 — значения координат точек Лаграпжа при = О, отсчитываемых от точки G. В первом из рассмотренных выше случаев точки i, сг, g образуют вершины равностороннего треугольника, причем со = уМ Р. Следовательно, указанные значения j, Сг, Сд удовлетворяют уравнению (29.4.3) при fi = уМИ . [c.578]

В качестве примера изложенного метода рассмотрим результаты восстановления (рис. 3.9) вектора нормальных усилий Рг(>") на торце полого кругового цилиндра с теми же геометрическими размерами поперечного сечения, что и в приведенном выше примере. Высота цилиндра -100 мм. Исходная информация бралась в виде радиальной компоненты вектора перемещений на наружной поверхности цилиндра. Внутренняя и наружная поверхности цилиндра свободны от нагрузок, нижний торец закреплен от осевых перемещений. Расчеты проводились вариационноразностным методом на регулярной сетке Аг = 10 мм, Дг = 5 мм. Вначале решалась прямая задача по заданному вектору нормальных усилий на горце р (г) находился вектор перемещений на внешней грани цилиндра затем обратная задача. На выбранной сетке строились матричные аналоги интегральных операторов уравнений (3.16) и (3.17), по которым находился матричный оператор уравнения (3.18). Методом последовательных приближений решалась разностная задача для уравнения (3.18). На рисунке приведены точное решение — пунктирная линия нерегуляризованное решение, соответствующее решению интегрального уравнения первого рода (3.9) и не имеющее ничего общего с искомым решением - кружки с крестиками решение уравнения (3.18), полученное методом последовательных приближений при различных начальных приближениях вектора р°(г) (осциллирующая функция — квадраты, сосредоточенная сила - треугольник. Из рисунка видно, что метод дает устойчивое приближение к искомой функции и мало чувствителен к выбору начального приближения. [c.78]

Уравнение (8.4.46) дает способ вычисления 8j (или, что то][же самое, Gj), Решение этого уравнения могло бы основываться на применении рядов Фурье. Такой подход привел бы к получению бесконечного набора значений б при удовлетворении уравнения (8.4.46) во всех точках на границе (т. е. при О < 0 < 45 ). К сожалению, характер уравнения (8.4.46) таков, что применять к нему анализ Фурье неудобно, так что вместо этого уравнение рассматривалось в конечном числе точек на границе. Выбирая I таких точек, получаем систему из I уравнений для 6i, 62,. . S . При этом в рядах удерживается число членов, достаточное для вычисления распределений скорости и касательного напряжения с хорошей точностью. Численные значения полученные таким способом, позволяют рассчитать распределение скорости, а также в конечном итоге и макроскопические параметры, представляющие интерес для техники. Спэрроу и Лёффлер приводят аналогичные расчеты также для цилиндров, расположенных в вершинах равносторонних треугольников. [c.460]

Так как решение этого уравнения в аналитическом виде затруднительно, то его обычно решают графически. Для этого в плоскости треугольника скорости строим декартову систему координат Xjjj и Х и полярную систему координат X и а. Наносим кривые постоянных значений [c.505]

При использовании МКЭ расчетная область разбивается на конечное число подобластей, называемых конечными элементами. Для двухмерных задач наиболее часто в качестве конечных элементов используются треугольники и четырехугольники, для трехмерных — тетраэдры и параллелепипеды. В пределах каждого конечного элемента вводятся аппроксимирующие однотипные функции, которые равны нулю всюду, кроме как в соответствующем элементе и непосредственно примыкающих к нему подобластях. Для нахождения значений функций в узлах прилегающих друг к другу элементов составляется система алгебраических уравнений либо методом Ритца, основанным на минимизации функционала, выбираемого в соответствии с физическим смыслом задачи, либо методом Галеркина, в котором минимизируются ошибки решения задачи с помощью приближенной модели. Матрица коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений является сильно разреженной матрицей ленточной структуры, в которой ненулевые элементы располагаются параллельно главной диагонали. Ширина ленты зависит от способа нумерации узлов. Рациональная нумерация позволяет добиться минимальной ширины ленты и повысить эффективность решения системы уравнений. МКЭ стимулировал развитие специальных методов решения систем с сильно разреженными матрицами [79, 80]. [c.97]

Рассматриваемая нами математическая задача об определении решения гиперболических уравнений (1.12), по начальным данным, на нехарактеристической кривой носит название задачи Коши. Картина распределения скоростей дана на рис. 62, где видно, что при движении от основания к вершине криволинейного треугольника скорости будут увеличиваться. Установление факта [c.316]

Предположим, что уравнения (69) не удовлетворены тогда тела пе располагаются по одной прямой. Если это так, то, для того чтобы уравнения (67) и (68) могли быть совместимы, должно быть удовлетворено уравнение (70). Из уравнений (66) и (63) следует, что закон площадей по отношению к началу имеет место для каждого тела в отдельности. В 163 показано, что уравнения (71) удовлетворены, ес.1И тела находятся в вершинах равностороннего треугольника. Лепсо показать, что если ОНИ не располагаются на одной прямой, то не существует другого решения. В случае решения равностороннего треугольника уравнения (67) и (68) также приводятся к (72), и орбиты должны быть подобными коническими сечениями произвольного эксцентриситета. [c.283]

Из уравнений равновесия или силового треугольника можно определить только две неизвесгные силы. Поэтому при дальнейшем решении задачи следует переходить к рассмотрению равновесия узла, на который действуют не более двух неизвестных сил. Таким узлом является узел L. На узел Е действую три неизвестные силы. При рассмопрении равновесия узла L будем направлять силы реакций стержней опять от этого учла (рис. 17,. ж) независимо от ранее полученных знаков для них. В уравнения равновесия уже известную силу Sj следует подсгавить со знаком плюс, полученным для нее ранее. Условия равновесия сил, действующих на узел L, имеют форму [c.23]

Пусть найдено решение некоторой задачи (рис. 3.9). Выберем произвольную характеристику первого семейства qt и линию тока ij, лежащие в треугольнике abh. Будем считать характеристику it и точку j, лежащую на характеристике bh, заданными. На характерйстике второго семейства jt выполняются все необходимые условия экстремума. Действительно, на jt выполняются уравнения 2.11), (2.15), (2.28)-(2.30), поскольку jt есть часть характеристики bh, в точке t, как отмечалось в 3.2.4, выполняется условие (2.34), а в точке j — условие (2.24). Выполнены и прочие условия, поскольку треугольник ijt является частью треугольника abh, в котором построено течение. Следовательно, если величины X, yj, Х , для отрезка линии тока ij считать заданными вместе с характеристикой it, то контур ij обладает минимальным волновым сопротивлением. [c.84]

Показать, что решение задачи о кручении стержня с поперечным сечением в виде равностороннего треугольника можно получить, если, принять функцию депланации в виде (p=A(xh 3x X2), где А—постоянная величи-. на. Уравнения контура сечения определяются уравнениями (xi—а) = 0, (j i + 2а — > 3j 2) = О, (xi + 2а + у 3х2) =0- [c.184]

Здесь использован сеточный шаблон, показанный на рис. 7.2, б при h X. Уравнение (7.33) соответствует неявной разностной схеме, в нем присутствуют значения функций в трех точках верхнего временного слоя. Хотя разностные уравнение и начальное условие при измельчении сетки стремятся к исходному дифференциальному уравнению и начальному условию, решение разностной задачи, как уже отмечалось, может не стремиться к точному. Сходимость может зависеть от выбора сетки, в частности, от параметра а = т/Л. Если заданы начальные условия на отрезке 1а, Ь], то, согласно общей теории, решение уравнения (7.25) может быть получено в треугольнике определенности с основанием [а, Ь], боковыми сторонами которого являются пересекающиеся характеристики разных семейств х t = onst, х — t = onst, проходящие соответственно через точки а и Ь (рис. 7.3), Угол наклона характеристик к оси абсцисс в этом случае равен л/4. [c.238]

Установленное правило носит совершенно общий характер если на отрезке вертикальной оси скорость и деформация сохраняют постоянные значения, то в треугольнике, ограниченном характеристиками, проходящими через крайние точки этого отрезка, скорость и деформация сохраняют те же значения. Вообще, если на отрезке 2 заданы переменные значения скорости и деформации, в правых частях уравнений (6.7.3) будут фигурировать разные значения uj и ег, соответствующие тем точкам, из которых выходят характеристики. Но решение ввутри треугольника, ограниченного характеристиками, полностью определяется заданием функций v(t), e t) на отрезке 2, оно не зависит ни от предшествующей истории, ни от дальнейшего изменения этих функций. Это свойство характеризует гиперболические уравнения или гиперболические системы. [c.193]

I. Оба решения х , х и у , у уравнений (112 ) различны, т. е. определитель отличен от нуля или, если угодно, неиз-иенная конфигурация Р, есть треугольник. [c.331]

Три точки Лагранжа. Применим теорему 30.2 к исследованию равновесного решения, в котором три частицы располагаются в вершинах равностороннего треугольника и находятся в нокое. Уравнения движения возьмем в иреобразованной форме 29.8. Собственные значения линеари- овапной задачи о возмущенном движении найдем из уравнения [c.611]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...