Гладкость оператора

В 3—7 излагается абстрактная теория гладких возмущений. В 3 вводится удобное унитарно инвариантное понятие гладкости (гладкости по Като) какого-либо оператора G относительно самосопряженного гамильтониана Я. В 4 приводятся два достаточных условия на пару Я,С, обеспечивающих Я-гладкость оператора G. При построении теории рассеяния в 5 предполагается, что возмущение V = НJ - JHq допускает факторизацию V = G Gq, где сомножители Gq и G являются гладкими относительно операторов Hq w Н соответственно. Поскольку понятие Я-гладкости эквивалентным образом формулируется как в терминах резольвенты Я, так и его [c.145]

Из определения (5) Я-гладкости оператора С вытекает (см. неравенство (7)), что при любом ограниченном множестве X элементы абсолютно непрерывны. Поэтому имеет место [c.168]

Предположение об Я-гладкости оператора С накладывает слишком жесткие ограничения на оператор Н. Так, при N 0) = 0 оператор Н должен быть абсолютно непрерывным. Существенно более гибким оказывается понятие локальной Я-гладкости. [c.170]

Я-гладкости оператора С, оценим выражение (1) через [c.176]

В силу Яо-гладкости оператора Оо последний интеграл стремится к нулю при j —> оо, j = 1,2. Поэтому при /о Е Х>(Яо), а следовательно, и при любом /о Е Ло существует сильный предел вектор-функции У(1)/о при I оо. [c.176]

Замечание 4. При доказательстве теоремы 1 мы в полном объеме использовали лишь гладкость оператора G относительно Я. Что касается пары Go,Яo, то для существования ВО W H,Ho J) достаточно сходимости интеграла [c.177]

О В силу леммы 1.10.5 и следствия к ней гамильтониан Я корректно определен, а при Imz ф О существует I — Bq(z)) и для операторов (2) выполняется соотношение (3). Для проверки Я-гладкости оператора G применим теорему 1.8.3 к оператор-функции I — Bq z). По этой теореме для некоторой системы интервалов такой, что [c.184]

Из усиленной Яо-гладкости оператора Оо легко извлечь, что [c.190]

Отметим, что для Я-гладкости оператора О существуют не только симметричные (4) и (9), но и обычные слабые производные ёСЕ )С /(1, ёСЕ )//(1. [c.196]

Определение слабой Я-гладкости может быть сформулировано и локально—для произвольного борелевского множества А. Именно, Н-ограниченный оператор С называется слабо Я-гладким на А, если хотя бы одно из (а тогда и все остальные) соотношений (1)—(6) выполняется для п.в. А Е А. В этом случае пределы (8), (9) также существуют для п.в. Л Е А. Нетрудно убедиться (ср. с теоремой 4.3.10), что при условии А А = О для слабо Я-гладкого на множестве А оператора С произведение СЕ А) будет (глобально) слабо Я-гладким. Ясно также, что слабая гладкость оператора С равносильна слабой гладкости операторов СЕ А) для всех ограниченных интервалов А. [c.196]

Этим проверяется определение (1.3) слабый Яо-гладкости оператора СЗ. [c.219]

В заключение отметим, что предположение об усиленной Яо-гладкости оператора С используется только для сравнения 5(А) при разных А. Лля справедливости остальных утверждений (например, включения (3)) достаточно предположить, что [c.298]

В заключение покажем, что в условиях 4 МР S ) можно выбрать непрерывной по Л даже в том случае, когда вместо усиленной Яо-гладкости оператора G выполнено более слабое условие непрерывности оператор-функции GRo z)G > При этом нужно считать, что МР определяется равенством (5.7.6), где Zo , G)—любой оператор, удовлетворяющий соотношению [c.316]

В обоих случаях при разыскании классического решения его гладкость зависит от вида оператора гладкости входных [c.13]

Разумеется, и в этом случае для существования классического решения (обладающего достаточной гладкостью) необходимо наложить ограничения на материальные функции оператора (1.2), [c.14]

Нам кажется, что приведенные в книге простые конструкции решений и представления с помощью явных обратимых операторов несложных структур, вместе с подробным анализом гладкости решений, при современном состоянии средств вычислительной техники могут служить основой для составления удобных алгоритмов численных расчетов и для оценок приближений. [c.10]

Выражения для операторов А и и А и с требуемыми оценками остаточных членов 001 2 могут быть получены с помощью приближенных формул для конформных отображений близких областей [56, 6] их применение ограничено требованиями определенной гладкости границ (основной и возмущенной), что приводит к аналогичным условиям в формулировке задачи. [c.151]

Оператор УзТ есть интегральный оператор и обладает свойством подавлять нерегулярные (осциллирующие) компоненты в экспериментальных векторах. Поскольку функции р1 , а(Я) и р с, а(Я) характеризуются близкими мерами гладкости, эффективность преобразования (3.58) будем оценивать нормой их отклонения друг от друга. [c.192]

Пусть А — ограниченная область в X, имеющая гладкость С , а — матричный дифференциальный оператор с коэффициентами класса С , рассмотренный в п. 6. Пусть V — подпространство, рассмотренное в том же пункте, удовлетворяющее предположениям (I) —(П1) и (IV) (последнему —для всех х° е дА) ). Предположим, кроме того, что [c.55]

Если оставить неизменными остальные предположения об эллиптичности оператора Ь и о гладкости функций йр, и / (или по крайней мере их ограничений на А ), то теорема 3.1 все еще остается справедливой, если только в ее формулировке заменить Л на А. [c.107]

Аппроксимирующие свойства операторов и С . Если собственные значения матрицы К = 1 0 не меняют знака в рассматриваемой области, то схема (1.61) имеет третий порядок аппроксимации относительно шага /г. Действительно, тогда при предположении о достаточной гладкости решений (1.58) справедливы следующие представления для операторов В и Сх [c.39]

Можно отметить также, что аппроксимационные свойства операторов X И Сх установлены в предположении о достаточной гладкости решения и задачи для системы (1.58). В действительности же решения (1.58) при некоторых начальных и краевых условиях необязательно являются гладкими, допуская, в частности, существование разрывов. Если потеря глад- [c.41]

Согласно свойствам гладкости операторов Л и В (лемма 1, п. 5), дифференциал Р[5Х, 5а] оказывается вполне непрерывным оператором по 5Х для всех 5а, преобразующим ограниченные множества из I в равномерно ограниченные классы равностепенно непрерывных функций. Отсюда следует, что первое условие принципа непрерывности выполнено. [c.218]

В приложениях гладкость по отношению к невозмущенному оператору Яо обычно удается проверить прямыми выкладками. Напротив, изучение гладкости относительно полного гамиль-. тониана Я представляет собой содержательную задачу. В б излагается методика, позволяющая для относительно компактных возмущений сводить вопрос об Я-гладкости С к исследованию Яо-гладкости операторов Со и С. Правда, Яо-гладкость приходится при этом понимать в некотором усиленном смысле. В 7 методика б используется для изучения сингулярного спектра оператора Я. В значительной мере б,7 основаны на соображениях, развитых в связи с.моделью Фридрихса— Фаддеева. Однако в отличие от 1, 2 предположения делаются не о самом возмущении У, а о сомножителях Со и С из соотношения V = С "Со. Благодаря этому удается избежать введения вспомогательного банахова пространства. [c.146]

Это неравенство для коммутатора [Н,А] гарантирует сразу глобальную гладкость оператора Отказ от симметричности А позволяет получить условия локалм1<А гладкости. [c.172]

Следующее утверждение вполне аналогично лемме 1.4. Его можно также рассматривать как распространение предложения 1.9.6 на случай собственных значений, лежащих на непрерывном спектре. Связь решений / уравнения 1) и собственных функций ф оператора Н устанавливается опять равенствами вида (1.10.8). Сейчас нам придется считать, что показатель а в определении 4.5 усиленной Яо-гладкости оператора С больше 1/2. До некоторой степени это условие играет роль предположения о гельдеровости с показателем больше 1/2 ядра г>(А,//) в модели Фридрихса—Фаддеева. [c.189]

Эти требования, дополненные естеств. предположениями о гладкости но неременным х, х при х х, определяют G (ж, х ). Напр., дифференц. оператор 2-го порядка L — - ( p(x)- j- q x) с краевыми условиями и а) —и Ь) — 0 имеет Г. ф., равную [c.536]

Другой крайний случай — ударные волны бесконечно большой интенсивности. Грэд [115] предположил, что предел / при 8 >оо существует (для операторов с конечной частотой столкновений) и выражается через сумму величины, кратной дельтафункции, которая сосредоточена в точке, соответствующей скорости набегающего потока, и сравнительно гладкой функции, для которой нетрудно вывести уравнение. Последнее, видимо, более сложно, чем само уравнение Больцмана, но предполагаемая гладкость позволяет надеяться на получение простого приближенного решения. Проще всего в качестве гладкого остаточного члена взять максвеллиан [115], параметры которого определяются из законов сохранения. [c.413]

Доказательство существования волн конечной (не малой) амплитуды представляет собой не очень простую задачу, потому что она нелинейна и является не локальной, а глобальной задачей. Это доказательство было дано Р. Жербе методами теории операторов в банаховом пространстве (см. его работу в сборнике [9]). Однако Жербе рассматривает лишь гладкие решения, и поэтому волны Стокса в его теорию не включаются. В цитированной работе содержится также условие, обеспечивающее гладкость (аналитичность) волновой поверхности в окрестности точки 2о, — этим условием является необращение в нуль производной комплексного потенциала [c.181]

Чтобы немного расшифровать эту формулировку, напомним, что под EPif и Е Q/f сейчас нужно понимать ряды Фурье со скобками по корневым функциям оператора А и по собственным функциям оператора ReA на S. Из теоремы 3 следует, что скобки можно расставлять способом, описанным в п. 2 35. При этом, чем выше гладкость функции f, заданной на S, тем быстрее сходится интересующий нас ряд Y Pif. Например, если f S), то модули членов этого ряда убывают быстрее с любым натуральным N и такой же быстрой остается сходимость после (локального) почленного дифференцирования этого ряда любое число раз. Кроме того, за исключением случая п = 3, Im e < О, имеет место равносходимость рядов X Pif, YiQif для негладких или не очень гладких f, особенно быстрая при 1тй = 0. Например, если 1т/г = 0 и f " S), то модули функций Pif — Qif убывают при 1 >оо быстрее с любым натуральным N. Такой же [c.355]

В. И. П а р а с к а. Об асимптотике собственных и сингулярных чисел линейных операторов, повышающих гладкость, Матем. сб. 68, № 4, 623—631 (1965). [c.415]

Из формулы перестановки ясно, что если ядро e — регулярное, то оператор /С не будет регуляризатором. Следовательно, должно быть сингулярным ядром. Кроме того, при решении поставленной задачи нам придется исследовать композицию К К и применить формулу перестановки порядка интегрирования в повторных сингулярных интегралах, полученную в предыдущем параграфе. Для проведения указанного рассуждения необходимо, чтобы а и удовлетворяли некоторым условиям гладкости. Потребуем, чтобы а С (S), а e G (2, а, а) на S X S. [c.161]

Во-вторых, как легко усмотреть из вида псевдопотеициала , он является слабым по сравнению с истинным потенциалом. Потенциал У(г) осуществляет притяжение электронов. Однако второй член в псевдопотенциале содержит разность Е — которая всегда положительна. Проекционный оператор также существенно положителен, так что положительный второй член в псевдопотенциале в какой-то мере компенсирует потенциал притяжения У(г). Это свойство получило название теоремы о компенсации. К тему же выводу мы приходим, анализируя гладкость псевдоволновой функции наличие компенсации следует также из других соображений. Впрочем, это свойство, может быть, и не заслуживает титула теоремы . [c.115]

Уравнения конвекции выражают несколько физических законов сохранения (тепла, массы, завихренности). Дифференциальные уравнения получаются из законов сохранения (уравнений баланса) при достаточной гладкости функций, входяш,их в эти уравнения. В теории и практике метода сеток широко известен интегро-интер-поляционный метод построения разностных схем [12, 14], когда дискретизации на сеточном шаблоне подвергается не дифференциальное уравнение, а соответствую-ш,ее ему уравнение баланса. Метод позволяет конструировать схемы, отражающ,ие в дискретной форме интегральные законы сохранения на сколь угодно больших и на сколь угодно малых участках сеточной области. Такие схемы называются консервативными, или дивергентными. Консервативные схемы, как правило, улучшают точность решения, особенно в качественном отношении. Разностный оператор консервативных схем обладает свойством самосопряженности, которое является одним из определяющ,их условий сходимости различных итерационных алгоритмов решения разностных задач. [c.53]

Рассмотрим теперь в (г + 1)-мерном эвклидовом пространстве переменных Хх, х , ( цилиндр Е= АУ. , где А — некоторая область в а I — открытый интервал (О, Т). Мы будем рассматривать в Е задачи с начальными и граничными условиями для уравнения (—1) ы —= где — оператор, описанный в предыдущем пункте, с коэффициентами ард х), зависящими от д . Мы будем заниматься лишь С -теорией . Поскольку эта теория дает наибольшую гладкость неизвестной функции и, она представляется наиболее полезной для приложений. Однако, используя теорию сильно эллиптических операторов, развитую в предыдущем пункте, можно было бы построить для динамических задач теорию, в которой допускаются более общие области и исходные данные. [c.55]

Если при этом узел х = лгу не является точкой смены знака Л (л ), то при достаточно малых А разложение (1.666) остается в силе, поскольку в нем отсутствуют производные от матрицы М. Однако сеточные функции Bxf и д.f в случае операторов (1.656) или (1.65в) уже не могут быть представлены в виде (1.66а), поскольку последние предполагают достаточную гладкость М в интервале [лгу , лгу +) ]. [c.39]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...