Исходные уравнения. Разностные сетки

ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РАЗНОСТНЫЕ СЕТКИ [c.126]

Порядок аппроксимации определяет таким образом и точность численного решения исходного дифференциального уравнения. Тем не менее для оценки качества разностной схемы с точки зрения возможности обеспечения на ее основе той или иной точности определения искомой величины служит и специальная характеристика, называемая порядком точности разностной схемы. Разностная схема имеет порядок точности р, если погрешность результатов численного решения исходного уравнения пропорциональна шагу сетки в степени р. [c.60]

Для сравниваемых сопел расчет всего поля течения велся в рамках полных уравнений Рейнольдса, дополненных дифференциальной моделью турбулентности [5]. Применявшиеся разностные сетки, сгущались вблизи стенок, излома и в зоне, примыкающей к точке торможения, позволяя достаточно аккуратно разрешать особенности потока, вязкого вблизи стенок и практически невязкого в ядре . Во всех рассчитанных примерах отрыв за точкой излома отсутствовал. Для контуров с участками роста давления, построенных в рамках исходной постановки, такой результат, на первый взгляд, представляется неожиданным. Его, однако, можно объяснить, если учесть, что используемые в приближении пограничного слоя комбинации параметров, определяющие возникновение или отсутствие отрыва ( критерии отрыва ) [6], пропорциональны его толщине вытеснения в турбулентном случае (или ее квадрату — в ламинарном). Из-за разгона потока при подходе к излому вдоль вертикальной стенки толщина пограничного [c.332]

Исходные реализации нестационарной и стационарной (сверхзвуковой) монотонных схем на гладких решениях и на регулярных разностных сетках обеспечивали первый порядок аппроксимации интегрируемых уравнений. Как показано в [26], при сквозном счете поверхностей разрыва для разностных схем любого порядка аппроксимации [c.116]

В дальнейшем из всей совокупности узлов требуется выделить узлы внутренние и граничные. В общем случае узлы сетки могут не попадать на границу области Г (рис. 3.6), поэтому в качестве граничных узлов используют либо дополнительные узлы, образующиеся при пересечении линий сетки с границей области, либо границу Г приближенно заменяют другой границей Г, проходящей через ближайшие к границе Г естественные узлы сетки (см. рис. 3.6), которые и принимают за граничные. Значения искомой функции во внутренних узлах находят в результате решения системы разностных уравнений, аппроксимирующих исходные дифференциальные уравнения, а в граничных узлах определяют из граничных условий. При решении нестационарных задач значение функции во всех узлах в начальный момент времени находят из начальных условий. [c.61]

Основная идея применения разностных методов состоит в замене непрерывных переменных дискретными. Функции и аргументы заменяются набором чисел, заданных в точках множества, называемого сеткой. Исходные дифференциальные или интегральные уравнения заменяются системой алгебраических уравнений высокого порядка. Хотя в принципиальном плане задача упрощается, но из-за высокого порядка алгебраической системы возникают большие вычислительные трудности, как правило, непреодолимые без использования ЭВМ. При решении дифференциальных уравнений производные в уравнениях и граничных условиях заменяются отношением конечных разностей функций и аргументов. Исходной задаче ставится в соответствие разностная задача или разностная схема. В дальнейшем разность аргументов в соседних узлах сетки будем называть шагом сетки. Будем говорить, что разностное уравнение аппроксимирует исходное дифференциальное, если при неограниченном измельчении сетки разностное уравнение стремится к точному. [c.224]

Из изложенного ясно, что при решении дифференциальных уравнений численными методами можно выделить следующие этапы 1) замена исходной области непрерывного изменения переменных про-странственно-временной сеткой 2) построение разностной схемы 3) решение системы разностных уравнений. [c.74]

На рис. 8.10 приведен пример сетки о) в случае разбиения отрезка [О, 1] на три п=3) неравных участка. Итак, на первом этапе решения исходные краевые дифференциальные задачи (8.5) и (8.21) сведены к системам нелинейных уравнений вида А и) = Р, (8.27) где А — нелинейный оператор, Р — правая часть разностной схемы (включая краевые условия). [c.198]

При решении задачи численным методом использовалась прямоугольная сетка с постоянными шагами. Аппроксимирующая система алгебраических уравнений, как обычно в методе сеток, получалась заменой производных в уравнении Чаплыгина центральными разностными формулами второго порядка точности на гладких решениях. Решение алгебраической системы проводилось методом итераций по явной двухслойной схеме Якоби. Интегральное граничное условие на звуковой линии заменялось разностным условием для двух соседних итераций, аппроксимирующим исходное условие в сходящемся итерационном процессе. [c.106]

Дифференциальные операторы заменяются соответствующими алгебраическими конечно-разностными выражениями. В итоге исходное дифференциальное уравнение и краевые условия аппроксимируются системой разностных уравнений, или, как говорят, разностной схемой. Решив систему алгебраических уравнений, получим приближенное значение искомой функции в узлах сетки. [c.98]

Таким образом, процедура численного решения задач ЕК состоит из трех основных этапов. Сначала на выбранной сетке производится аппроксимация дифференциальных уравнений и краевых условий, в результате которой строится разностная схема — дискретный аналог исходной задачи. Затем выбирается метод решения полученной нелинейной разностной задачи и конструирование вычислительного алгоритма завершается. Заключительный этап — программная реализация этого алгоритма на ЭВМ. [c.28]

Как известно, систему дифференциальных уравнений переноса при помощи конечно-разностной аппроксимации можно модифицировать в систему алгебраических уравнений, которая, в свою очередь, может интерпретироваться как модель переноса в дискретно-континуальной сеточной системе [27]. Если исходная система имеет переменные коэффициенты, то и проводимость сетки также будет переменной, и, следовательно, можно поставить задачу определения эффективной проводимости сетки. [c.158]

Интегрирование исходной системы осуществлялось численно с помощью неявного конечно-разностного метода на разнесенной сетке в естественных переменных [6]. Уравнения баланса импульса и энергии решались последовательно, давление находилось из уравнения Пуассона. Решение проводилось на прямоугольной неравномерной по горизонтали сетке 91 х 71 с уменьшением шага около боковых границ (коэффициент сгущения равен 10). Шаг интегрирования по времени At определялся из [c.145]

Замена исходного дифференциального уравнения разностным приводит к появлению погрешности численного метода, связанной с погрешностью аппроксимации. Для характеристики качества аппроксимации используется понятие ее порядка. Аппроксимация имеет порядок р, если ее погрешность, обусловленная заменой дифференциального уравнения разностным, пропорциональна шагу сетки в степени р. Можно показать, что разностная схема (3.10) имеет первый порядок аппроксимации О (Ах), а (3.12)—второй порядок аппроксимации 0(Дх2). Здесь буква О представляет сокращение слова Order, что в переводе означает порядок . [c.60]

Конечно-разностное представление дифференциального уравнения Фурье и граничных условий сводит решение задачи теплопроводности к расчету температур в конечном числе точек — узлов сетки (рис. 1.11). Чтобы дискретизованная задача была близка к исходной, необходимо сделать сетку достаточно частой. Поэтому число неизвестных (т. е. значений температур в узлах) оказывается большим, и решение задачи требует использования ЭВМ. Конечно-разностную аппроксимацию уравнения теплопроводности можно получить, записывая закон сохранения энергии для контрольного объема, содержащего внутренний узел К, L (заштрихован на рис. 1.11). [c.31]

Обратимся к способам записи краевых условий в разностной задаче. Уравнение (6.10), или (6.11), записанное, как и исходное уравнение энергии, в полуцелой точке, рассматривается на расширенной сетке, включающей фиктивные крайние интервалы /1 1 =0 и = Значения температуры в этих интервалах фактически совпадают со значениями температуры в граничных узлах сетют (рис. 22А)-. Т = Т ы- Поэтому краевые [c.148]

В этом параграфе рассматривается спектральная задача для эллиптического дифференциального уравнения второго порядка. Для дискретизации задачи применяется метод Бубнова — Галёркина с кусочно-линей-ными базисными функциями на треугольниках, как ив 5.1. Для приближенного решения получающейся алгебраической спектральной задачи используются алгоритмы, построенные в 4.5, 4.6. Они дают простые и кратные собстветые числа с точностью 0(Н ) и соответствующие собственные функции исходной дифференциальной задачи с такой же точностью в норме 2 (12) Число арифметических операций для достижения этой точности является величиной порядка 0(]с М), где к — кратность собственного числа дифференциальной задачи, N - число узлов разностной сетки. [c.226]

Методика расчетов. Решение задачи осуществляется с помощью неявного нефакторизованного метода [8], использующего для аппроксимации пространственных производных разностные схемы четвертого порядка [9]. При этом производится переход к обобщенной криволинейной системе координат с сохранением дивергентной формы исходных уравнений. Это позволяет описывать течение минимально необходимым количеством узлов сетки за счет их сгущения в направлении твердой поверхности, а сами границы обтекаемого тела задавать с помощью координатных линий. [c.82]

Кроме требований аппроксимации, устойчивости и сходимости к разностным схемам, предъявляется ряд других не обязательных требований. Таково, в частности, требование консервативности разностной схемы. Разностная схема должна отражать основные свойства непрерывной среды, и поэтому желательно, чтобы в схеме выполнялись разностные аналоги основных законов сохранения. Разностные схемы, обладающие этим свойством, называются консервативньши. С этой целью разностные уравнения строятся на основе интегральных соотношений, выражающих законы сохранения для элементарной ячейки сетки. С другой стороны, если исходные дифференциальные уравнения записаны в дивергентном виде, то соответствующую разностную схему нетрудно сделать консервативной. [c.272]

Здесь использован сеточный шаблон, показанный на рис. 7.2, б при h X. Уравнение (7.33) соответствует неявной разностной схеме, в нем присутствуют значения функций в трех точках верхнего временного слоя. Хотя разностные уравнение и начальное условие при измельчении сетки стремятся к исходному дифференциальному уравнению и начальному условию, решение разностной задачи, как уже отмечалось, может не стремиться к точному. Сходимость может зависеть от выбора сетки, в частности, от параметра а = т/Л. Если заданы начальные условия на отрезке 1а, Ь], то, согласно общей теории, решение уравнения (7.25) может быть получено в треугольнике определенности с основанием [а, Ь], боковыми сторонами которого являются пересекающиеся характеристики разных семейств х t = onst, х — t = onst, проходящие соответственно через точки а и Ь (рис. 7.3), Угол наклона характеристик к оси абсцисс в этом случае равен л/4. [c.238]

При практической реализации численных методов. существенным является анализ порядка аппроксимации и устойчивости расчетной схемы. Понятие аппроксимации определяет, переходят ли в пределе (при т- -0 и Л- -0) конечно-разностные соотношения в точные исходные диф-, ференциальные уравнения и какова точность такого приближенного представления. Приведенные выше конечно-разностные формулы имеют второй порядок аппроксимации по пространственным переменным. Это означает, что допускаемая погрешность — величина порядк/ № и быстро (по квадратичному закону) убывает с уменьшением шага сетки. Аппроксимация по времени для явной схемы (1.1)—первого порядка, для схемы переменных направлений (1.4), (1.5) —второго порядка. [c.36]

В качестве примера изложенного метода рассмотрим результаты восстановления (рис. 3.9) вектора нормальных усилий Рг(>") на торце полого кругового цилиндра с теми же геометрическими размерами поперечного сечения, что и в приведенном выше примере. Высота цилиндра -100 мм. Исходная информация бралась в виде радиальной компоненты вектора перемещений на наружной поверхности цилиндра. Внутренняя и наружная поверхности цилиндра свободны от нагрузок, нижний торец закреплен от осевых перемещений. Расчеты проводились вариационноразностным методом на регулярной сетке Аг = 10 мм, Дг = 5 мм. Вначале решалась прямая задача по заданному вектору нормальных усилий на горце р (г) находился вектор перемещений на внешней грани цилиндра затем обратная задача. На выбранной сетке строились матричные аналоги интегральных операторов уравнений (3.16) и (3.17), по которым находился матричный оператор уравнения (3.18). Методом последовательных приближений решалась разностная задача для уравнения (3.18). На рисунке приведены точное решение — пунктирная линия нерегуляризованное решение, соответствующее решению интегрального уравнения первого рода (3.9) и не имеющее ничего общего с искомым решением - кружки с крестиками решение уравнения (3.18), полученное методом последовательных приближений при различных начальных приближениях вектора р°(г) (осциллирующая функция — квадраты, сосредоточенная сила - треугольник. Из рисунка видно, что метод дает устойчивое приближение к искомой функции и мало чувствителен к выбору начального приближения. [c.78]

При решении задачи вариационно-разностным методом применяют несколько способов вычисления коэффициентов а /. По первому способу получают выражение для функционала (4), заменяя производные в 81, 82, 8г конечными рззностями, дифференцируют его, чтобы получить выражения для коэффициентов ail через исходные данные (физические константы, шаг сетки и др.), и эти выражения используют для составления программ формирования систем уравнений. Второй способ состоит в использовании формулы (10) совместно с (3) при этом коэффициенты aij могут отличаться от вычисленных по первому способу, т. е. соответствовать другой разностной схеме. [c.179]

Метод сеток, или метод конечных разностей, является эффективным инструментом теоретического изучения конвективных процессов. Основная идея метода такова. В области определения дифференциальной задачи выбирается конечное множество точек (узлов), называемое сеткой. Функции и производные в каждом узле приближенно заменяются (аппроксимируются) некоторыми линейными комбинациями значений соответствующих функций, входяищх в уравнения и краевые условия, в узлах сетки. В результате этих замен нелинейная дифференциальная задача ЕК сводится к системе нелинейных алгебраических уравнений относительно приближенных значений искомых функций в узлах. Такую систему принято называть разностной задачей, или разностной схемой. Несмотря на нелинейность и большое, как правило, число неизвестных, разностная задача более предпочтительна для решения, чем исходная дифференциальная, так как допускает применение вычислительной техники. Найденное на ЭВМ решение разностной задачи (разностное решение) принимается за приближенное решение исходной задачи в узлах сетки. Оно имеет вид числовой таблицы, размер которой пропорционален количеству узлов. [c.28]

Курант с соавторами [1928] не требовали ничего другого от конеч1ю-разностных уравнений, так как их целью было только доказательство существования решения. Однако очевидно, что было бы желательно сохранить в системе конечно-разностных уравнений некоторое подобие ограничения области влияния вверх по потоку, которым обладает исходная система уравнений в частных производных. Самое большее, что можно сделать, работая на прямоугольной сетке, это ограничить распространение возмущений в положительном или отрицательном направлении в соответствии сыпи. Данные соображения побудили Куранта, Изаксона и Риса [1952] составлять на прямоугольной сетке конечные разности против потока. [c.357]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...