Вывод уравнений Гамильтона из уравнений Лагранжа

Вывод уравнений Гамильтона из уравнений Лагранжа. Каждое уравнение Лагранжа есть дифференциальное уравнение второго порядка, а число уравнений равно s — числу степеней свободы механической системы. Считается, что система дифференциальных уравнений имеет нормальный вид, если все уравнения, входящие в нее, первого порядка. Заданную систему дифференциальных уравнений второго порядка можно привести к нормальному виду множеством способов. [c.202]

Вывод уравнений Гамильтона из вариационного принципа. Мы знаем, что уравнения Лагранжа являются следствием вариационного принципа Гамильтона (см. 2.1). Более того, вывод уравнений Лагранжа из этого принципа имеет определенное преимущество, так как он применим и к системам, выходящим за рамки обычной механики. Поэтому целесообразно найти такой вариационный принцип, который приводит непосредственно к уравнениям Гамильтона. Мы увидим, что это можно сделать с помощью обычного принципа Гамильтона [c.250]

Вывод уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона.— Предположим, что система имеет к степеней свободы и что ее положение определяется при помощи к обобщенных координат 1, При переходе из положения Р ) [c.222]

ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА ИЗ ПРИНЦИПА ГАМИЛЬТОНА 49 [c.49]

Вывод уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона. [c.49]

Вывод уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона. Мы получили уравнения Лагранжа путем формального преобразования системы (2). Но те же уравнения можно получить другим, более простым и общим способом при помощи так называемого принципа Гамильтона, объединяющего в простой и изящной форме все основные законы динамики. [c.384]

ТОТ же самый символ вариации (заметим, что этот же символ применялся и при выводе уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона в теории поля). [c.114]

ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА ИЗ ПРИНЦИПА ГАМИЛЬТОНА — ОСТРОГРАДСКОГО [c.405]

Уравнения (5.16) называются каноническими уравнениями движения, или уравнениями Гамильтона. В принципе вывод этих уравнений представляется известным прогрессом, так как они являются дифференциальными уравнениями первого порядка, тогда как уравнения Лагранжа имеют второй порядок. На практике этот выигрыш оказывается в значительной степени иллюзорным. Простейшее условие для удобства интеграции какого-либо из этих уравнений состоит в том, чтобы некоторое или некоторое р явно не входили в функцию Я тогда соответствующее сопряженное переменное сохраняет постоянное значение. Таким образом, решение уравнений приводит к задаче определения системы координат, в которой бы,ло бы достаточное число циклических переменных и р . Это можно провести на основе некоторых правил (изложенных в гл. VII). К сожалению, однако, эти правила включают решение уравнения в частных производных [c.62]

Мы увидим, что уравнение (6.3.4) приводит непосредственно к уравнениям Лагранжа. В самом деле, как уже отмечалось ранее, принцип Гамильтона по существу представляет собой интегральную форму основного уравнения. Вывод уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона осуществляется тем же путем, что и вывод этих уравнений непосредственно из основного уравнения. [c.91]

Инвариантность уравнений Лагранжа. Тот факт, что уравнения Лагранжа для голономной системы имеют одну и ту же форму, каковы бы ни были описывающие систему лагранжевы координаты, является очевидным, поскольку эти уравнения выводятся из основного уравнения 6 2) или ип принципа Гамильтона ( 6.3). Тем не менее представляет интерес непосредственное доказательство инвариантности уравнений Лагранжа. [c.103]

Уравнения Рауса (10.1.9) выводятся отсюда точно таким же образом, каким уравнения Лагранжа получаются из принципа Гамильтона. Изложенный вывод принадлежит Лармору. [c.552]

Эти уравнения, как следует из вывода, эквивалентны уравнениям Лагранжа (5.77). Однако уравнения Гамильтона по сравнению с уравнениями Лагранжа имеют более симметричную форму. [c.386]

I есть функция тех же координат и их производных по времени, естественно, что подынтегральное выражение в принципе Гамильтона (уравнения (1.26) и (1.27)) есть 1сИ, в то время как в принципе Ферма — Кёд . Поскольку оба принципа выражают одно и то же и их- структура идентична, к уравнению (5.2) можно применить ту же процедуру, что использовалась при выводе уравнений Лагранжа (1.35) из (1.27). Заменяя в них лагранжиан L вариационной функцией К и время — координатой дз, получим уравнения Эйлера [c.249]

Подобно уравнениям Лагранжа, принцип Гамильтона служит для вывода уравнения движения системы, обладающей несколькими степенями свободы. Применение этого принципа, однако, ограничивается тем случаем, когда внешние силы выводятся из потенциала П (стр. 2э7), так что работа внешних сил при виртуальном перемещении Ьq , координаты q будет [c.315]

Пуанкаре получил свои уравнения, используя вариационный принцип Гамильтона [255]. Приведем вывод уравнений (2.4) непосредственно из уравнений Эйлера-Лагранжа для случая, когда число компонент квазискорости ш = ил,..., Шк) совпадает с размерностью конфигурационного М пространства, определяемого связями fj q) =0, j = 1,..., т,т.е. к = п — т. [c.34]

Первые интегралы уравнений Лагранжа. Выполним вывод первых интегралов из уравнений Лагранжа. Введя функцию Гамильтона (22.2) в уравнение (22.1), получим теорему об изменении обобщенной энергии [c.194]

Глава VI содержит главные вопросы механики абсолютно твердого тела. Излагается наиболее трудная часть механики абсолютно твердого тела — пространственное вращательное движение тела, одна из точек которого неподвижна в некоторой системе отсчета. Выводятся кинематические и динамические уравнения Эйлера и кинематические уравнения Пуассона. Рассматриваются случаи Эйлера и Лагранжа. Кроме того, кратко изложена магнито-кинематическая аналогия, позволяющая кинематические уравнения представить в виде уравнений Гамильтона. [c.7]

Это — формулировка принципа Гамильтона. В нащем изложении этот результат является в конечном счете следствием законов Ньютона. Другая точка зрения состоит в том, чтобы рассматривать его как исходный принцип, и в этом случае уравнения движения Лагранжа и остальные законы механики выводятся из него. [c.74]

Подобно принципу Гамильтона ( 3.7), принцип наименьшего действия выражает необходимые и достаточные условия движения. Поэтому из пего можно вывести уравнения движения. Однако это сделать значительно трудней, чем из принципа Гамильтона, вследствие ограничения Е = h, накладываемого на движения вдоль варьированных путей. В этом случае мы имеем вариационную задачу Лагранжа. Мы приведем здесь этот вывод для натуральной системы. Согласно принципу наименьшего действия функционал h [c.546]

Данное пособие состоит из двух глав и приложения. В первой главе изложены методики, приведены примеры и программы получения с помощью системы аналитических вычислений REDU E, а также численных методов основных уравнений аналитической динамики (уравнений Лагранжа, Гамильтона, Рауса и др.). Рассмотрена задача вывода уравнений Эйлера - Лагранжа с использованием общих теорем динамики, а также уравнений относительного движения в обобщенных координатах. [c.3]

Вывод уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона. Принцип Гамильтона позволяет легко получить уравнения Лагранжа для голоном-ных систем. Допустим, что положение системы зависит от к независимых [c.387]

Принцип Гамильтона. Выводя в предыдущей главе уравнения Лагранжа, мы рассматривали мгновенное состояние системы и небольшие виртуальные изменения этого состояния Таким образом, мы исходили из дифференциального принципа каким является принцип Даламбера. Однако уравнения Лаг ранжа можно получить и из другого принципа, в котором рас сматривается движение системы за конечный промежуток вре мени и небольшие виртуальные изменения движения в этом промежутке. Принципы такого рода известны как интегральные принципы . [c.42]

Принцип Гамильтона можно распространить и на неголо-номные системы. При выводе уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона или из принципа Даламбера мы использовали требование голономности связей только на последнем этапе, когда считали вариации 6qj независимыми. В случае неголономной системы ее обобщенные координаты не являются независимыми и не могут быть связаны друг с другом уравнениями связи вида f(q,, q2,. .., qn, t) — Q. Однако рассмотрение неголономных систем оказывается возможным, если уравнения их связей можно представить в виде [c.53]

Именно такой метод мы применяли при выводе уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона. Этот метод мы применим и сейчас, но только вариации величин и р будем считать теперь н,езависимыми, так как в методе Гамильтона координаты и импульсы р рассматриваются как равноправные координаты, описывающие состояние системы. [c.251]

Замена независимой переменной. Важное и существенное свойство вариационных принципов заключается в том, что их легко можно выразить в любых выбранных координатах. Это обстоятельство уже отмеча1лось нами ранее (в 6.3) при выводе уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона. Обобщение принципа Гамильтона (26.6.2) дает возможность пойти дальше в этом направлении и произвести замену независимой переменной. Введем вместо t новую независимую переменную 0, связанную с t соотношением [c.537]

В этой главе прежде исего будет рассказано о том, как можно описать движение механической систел1ы с 5 стеиенями свободы в 25-мерном фазовом пространстве. Канонические уравнения выводятся из уравнений Лагранжа, Канонические преобразования обсуждаются весь 1а кратко, более подробно рассматриваются свойства скобок Пуассона, их инвариантность относительно канонических преобразований, их значение для отыскания интегралов движения и связь с бесконечно малыми контактными преобразованиями. Бегло рассмотрен случай движения заряженной частицы Б электромагнитном поле. В последнем параграфе принцип наименьшего действия выводится из вариационного принципа Гамильтона и обсуждается вопрос о том, как молено рассматривать время на равных правах со всеми остальными координатами q . [c.123]

Формулировка принципа. Ученые искали различные способы сведения уравнений движения к единому началу путем введения интегралов или функций, которые обращаются в минимум для действительного движения системы по сравнению с возможными 6an3KitMH движениями. Эта идея находит свое выражение прежде всего в принципе наименьшего действия (п. 486) затем следует более общий принцип Гамильтона (п. 483), из которого очень просто выводятся уравнения Лагранжа для голономных систем, но в случае систем не-голономных эти рассуждения и выводы становятся уже неверными. Мы займемся здесь принципом наименьшего принуждения Гаусса. Этот принцип, являясь наиболее общим, не вызывает к тому же никаких затруднений при его приложениях. Преимущество принципа состоит и в том, что он имеет простое аналитическое выражение, позволяющее свести нахождение уравнений движения произвольной системы, как голономной, так и неголономной, к нахождению минимума функции второй степени. [c.420]

Теорема Ливенса. В этом параграфе мы будем рассматривать только голономные системы. В 6.3 мы вывели уравнения Лагранжа из принципа Гамильтона. Естественно попытаться вывести аналогичным путем уравнения Гамильтона такая попытка приводит к весьма интересным результатам. Однако при таком выводе требуется известная осторожность, поскольку вариации величин g и w нельзя считать независимыми. В самом деле, если вариация bq задана в каждый момент времени, то вариация о) определяется уравнениями [c.531]

Горак выводит для склерономной и реономной неголономных систем в голономных и неголономных координатах, а также в склерономных параметрах обобщенные уравнения Ньютона, Лагранжа — Эйлера и Аппеля — Гиббса. Из этих уравнений получаются как частные случаи уравнения Больцмана, Чаплыгина — Воронца, Ценова и др. Из уравнений Горака можно получить также обобщенный принцип Гамильтона — Остроградского и обобщенные уравнения неголономной динамики в канонической и естественной формах. С целью упрощения установленных им уравнений 3. Горак строит неголономное многообразие со специальной метрикой — вселенную системы. Во вселенной системы, как оказывается, уравнения Лагранжа—Эйлера и Аппеля — Гиббса получают весьма простой вид. Во вселенной обобщаются также вариационные принципы механики — принципы Гаусса — Герца наименьшей кривизны и Гамильтона — Остроградского наименьшего действия. 3. Горак показывает, что принцип Гамильтона — Остроградского эквивалентен уравнениям линии вселенной . Рассматривая время как временной параметр и вводя понятие пространственно-временной силы , 3. Го-раку удалось значительно упростить выражения дифференциальных урав- 105 нений движения неголономной системы. [c.105]

Формализм Лагранжа и Гамильтона можно распространить на случай неконсервативных сил, т.е. сил, которые не могут быть получены из скалярной потенциальной функции. Сила Ф = ис1М/(И, где и — абсолютная скорость отбрасываемых частиц, как раз является примером такой силы. Приведем уравнение Лагранжа без соответствующего вывода [c.73]

В 1.1 кратко обрисован обгций подход построения дискретных моделей несжимаемой жидкости из нринцина Гамильтона. Он сводится к аппроксимации исходного континуума дискретной системой частиц, на движение которых накладываются голо-номные ограничения, обеснечиваюгцие несжимаемость среды. Отсюда стандартным образом выводятся уравнения Лагранжа. При этом различные дискретные модели в рамках такого подхода отличаются друг от друга заданием конкретного вида условий несжимаемости и гравитационного потенциала. Далее приводятся примеры дискретизаций и коротко обсуждается проблема выбора дискретных условий несжимаемости. [c.10]

В настоящей статье излагается теория расчета пластин, гп-ставленных из жестких и мягких слоев в произвольной последовательности. Для вывода уравнений используются вариационные принципы, что позволяет также получить естественные граничные условия и установить, таким образом, систему внутренних усилий, не противоречащих введенным гипотезам. Уравнения равновесия выводятся из принципа Лагранжа, уравнения колебаний — из принципа Гамильтона и уравнения нейтрального равновесия для задачи об устойчивости безмоментного состояния — из принципа Треффца. Обсуждаются частные и предельные случаи. [c.32]

Общая форма уравнений небесной мехтники (377) — 2. Обобщ нные координаты (378) — 3. Уравнения Лагранжа (379) — 4. Выражение для живой силы в обобщенных координатах (383) — 5. Случай, когда силы имеют силовую фунлпию (384) — 6. Вывод уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона (384) —7. Преобразование уравнений движения к полярным координатам (385). [c.15]

Общая теория дисперсии цугов медленно меняющихся нелинейных волн была предложена Уиземом [7, 8]. Она основана прежде всего на допущении, что цуги волн локально представляют собой однородные решения уравнений движения, пользуясь которыми можно вычислить средний лагранжиан через волновые параметры. Уравнения, описывающие медленные изменения этих параметров, выводятся затем из принципа Гамильтона, т. е. из требования стационарности интеграла по времени от лагранжиана всей системы. [c.195]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...