Граничные условия при кручении

Р. А. М е ж л у м я н. Граничные условия при изгибе и кручении тонкостенных. оболочек за пределом упругости. Прикл. матем. и механ., т. 14, № 5, 1950. [c.46]

Аналогично тому, что мы имели в случае изгиба пластинок и кручения стержней, и при изгибе тонких стержней внешние силы, действующие на боковую поверхность стержня, малы по сравнению с возникающими внутри стержня напряжениями, и при определении граничных условий на этой поверхности их [c.93]

Таким образом, вместо решения уравнения Пуассона (7.33) при граничном условии (7.13) функция напряжений Ф, минимизирующая функционал может быть приближенно определена одним из прямых методов вариационной задачи кручения при выполнении граничного условия (7.13). [c.179]

По условию, боковая поверхность бруса свободна от поверхностных сил, а поверхностные силы на его торцах приводятся к моментам М, скручивающим брус. Поэтому, исходя из граничных условий (2.29), найдем, что функция напряжений Ф (Хи х ), как и при кручении изотропного однородного бруса, должна удовлетворять граничному условию [c.200]

Следовательно, решение задачи кручения свелось к решению известной задачи Неймана при граничном условии (3.7). Как отмечалось (см. (7.3) гл. I), для ее разрешимости необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие [c.267]

Другим примером успешного приложения экспериментов при решении задач теории упругости является метод мыльной пленки для определения напрял<ений при кручении и изгибе призматических стержней. Трудная проблема решения дифференциальных уравнений в частных производных при заданных граничных условиях заменяется в этом случае измерениями наклонов и прогибов соответствующим образом натянутой и нагруженной мыльной пленки. Эксперименты показывают, что таким путем можно получить не только визуальную картину распределения напряжений, но и приобрести необходимую информацию относительно величины напряжений с точностью, достаточной для практических целей. [c.16]

Мы видели, что решение задач о кручении в каждом частном случае сводится к определению функции напряжений, удовлетворяющей дифференциальному уравнению (150) и граничному условию (152). При выводе приближенного решения задачи полезно вместо обращения к дифференциальному уравнению определять функцию напряжений из условия минимума некоторого интеграла, ) который можно получить, рассматривая потенциальную энергию скручиваемого стержня. Потенциальная энергия скручиваемого стержня, приходящаяся на единицу длины, согласно выражению (136), определяется формулой [c.322]

На границе скорость циркулирующей жидкости направлена по касательной к границе, и граничное условие для гидродинамической задачи совпадает с условием (152) для за/ ачи о кручении. Таким образом, распределение скоростей в гидродинамической задаче математически тождественно распределению напряжений при кручении, и, применяя известные в гидродинамике решения, можно получить практически важные выводы. [c.333]

При больших значениях 2 это распределение напряжений приближается к напряжениям (а) для простого кручения. Компонента напряжения Т У обращается в нуль на границах х= а а у = Ь , компоненты и Ту, равны нулю на границах х= а и у= Ь. Следовательно, граничные условия удовлетворены, и боковая поверхность стержня свободна от усилий. [c.345]

Таким образом, решение проблемы о кручении призмы сводится к отысканию функции Прандтля, которая находится из уравнения (11.92) при граничном условии (11.93). После отыскания функции Прандтля, ненулевые компоненты напряжений находятся по формулам (11.90), ненулевые компоненты деформаций — из уравнений закона Гука по формулам [c.49]

Рассмотрим пластину, край которой при х = О подкреплен упругим стержнем (рис. 4.6, б). Стержень считаем ненагруженным в продольном направлении и имеющим постоянную изгибную жесткость EJ в плоскости, перпендикулярной срединной плоскости пластины жесткостью стержня на кручение пренебрегаем. Тогда первое граничное условие, как и для свободного края, будет Мх = 0. Для формулировки второго граничного условия мысленно отделим стержень от края пластины. Обозначив прогиб стержня (у), при X = о можно записать w = (у). Со стороны пластины на стержень передается контактная нагрузка q, = —QJ. Прогиб стержня под действием этой нагрузки описывается дифференциальным уравнением [c.148]

Уравнение (83) превращается в граничное условие для определения функции кручения стержня при условии, что сечение стержня вытянуто, т. е. что отношение U мало, а величина Ы велика. Действительно, при этом множитель, стоящий в формуле (83), перепишется в виде [c.102]

Из всех граничных условий так же, как и при кручении, будем учитывать только равенство нулю радиального прогиба на концах оболочки, т.е. [c.120]

Таким образом, для рассматриваемых случаев изгиба и кручения граничные условия удовлетворяются, и задача Штурма — Лиувилля поставлена правильно при R н Р, противоположных по знаку S и Q. Отсюда следует, что собственные решения ортогональны, собственные значения %, действительны н положительны и что произвольная функция на интервале (а,Ь) может быть разложена в сходящийся ряд по собственным решениям. [c.352]

Обозначим через Г1 и гг внутренний и внешний радиусы слоя, Л — его толщину. Граничные условия на лицевых поверхностях в задаче кручения V = У — при г = Г1, [c.255]

Последующие четыре главы (с седьмой по десятую) посвящены построению полубезмоментных форм потери устойчивости цилиндрических и конических оболочек. При потере устойчивости вмятины вытянуты вдоль образующих. Если напряженное состояние в окружном направлении переменно, имеет место локализация формы потери устойчивости вблизи наиболее слабой образующей. Типичными нагрузками, вызывающими такие формы потери устойчивости, являются внешнее нормальное давление, кручение, изгиб силой. Исследовано влияние граничных условий на критическую нагрузку. [c.9]

Указанная слабая зависимость от граничных условий позволяет воспользоваться при решении задачи о кручении следующим приближенным приемом [21, 37]. В решении (3) сохраняем лишь два слагаемых k = 3, 4) и удовлетворяем только одному граничному условию на обоих краях оболочки — ш = 0. Тогда вместо (9) и (12) получим уравнение [c.186]

Кроме рассмотренных в 5.2 условий закрепления (5.24)-(5.26) концов балки и стыковки участков (5.27), в некоторых моделях реальных конструкций необходимо учитывать зависимость перерезывающих сил и/или моментов от прогибов и углов поворотов сечений. Для этого используются упругие опоры физически соответствующие линейным пружинам растяжения-сжатия или кручения (рис. 5.20). При этом граничные условия (5.24) и условия стыковки (5.27) заменяются следующими [c.169]

При 1F,равном нулю, уравнения (27) и (28) тождественны с теми, которые фигурировали в задаче кручения ( 336). Очевидно, что граничное условие, которому должны удовлетворять Z , Zy, то же, что и раньше, т. е. (13). Следовательно, [c.433]

Однако сперва мы пойдем по пути, использованному самим Сен-Вена-ном, который исходил из основных уравнений теории упругости, и сперва будем искать только точные решения. Конечно, мы должны тотчас же предостеречь читателя от переоценки точности этих решений. Хотя математическая задача о нахождении интеграла основных уравнений, удовлетворяющего требуемым граничным условиям, в некоторых случаях может быть решена совершенно строго, но из этого еще не следует, что такое решение безусловно надежно н с физической точки зрения. Это было бы действительно так, если бы предположения, на которых основан вывод основных уравнений, выполнялись строго. Однако обычно об этом не может быть и речи мы предполагаем, что материал изотропен, но материал, из которого изготовляют рассчитываемые стержни, обычно обнаруживает в разных направлениях разные упругие свойства, что как раз может быть довольно отчетливо замечено при испытании на кручение ). Это видно уже из того, что значение модуля сдвига G, найденное из опытов над кручением, не особенно точно согласуется со значением, выражаемым через упругие постоянные и /и по формуле (29) 2, как это должно было бы иметь место для изотропного тела. Точно так же и предположение об однородности материала или об одинаковости свойств его в разных точках оправдывается не всегда, например в двутавровых балках часто можно заметить довольно резко выраженную разницу между внутренней частью и наружным слоем. [c.51]

Вообще говоря, задачу о кручении стержня с полым сечением решить труднее, чем в случае сплошного сечения, так как при этом должны быть выполнены еще граничные условия на внутреннем контуре, ограничивающем полость. Лишь в том случае, если внутренний контур совпадает с траекторией касательных напряжений сплошного сечения с одинаковым наружным контуром, эта лишняя трудность отпадает, и решение задачи можно получить непосредственно из решения для сплошного сечения. Об этом уже была речь раньше, и в 65 были выведены формулы для круглого и эллиптического полых сечений, в случае которых указанное предположение выполняется. Во всех же других случаях и даже в случае полого сечения, ограниченного и внутри и снаружи кругами, но расположенными эксцентрично, задача о кручении становится много сложнее, чем для соответствующего сплошного сечения.. [c.87]

Если бы мы принимали во внимание только вертикальную стенку балки, то предположения предыдущего параграфа были бы выполнены полностью. Но не принимать во внимание горизонтальных полок нельзя, так как они в рассматриваемом явлении играют существенную роль. Мы на основании предыдущего знаем, что при переходе плоской формы равновесия в искривленную кроме изгиба приходится учитывать и кручение. В шестой главе мы уже детально занимались кручением прокатных балок и в 70 нашли удобное приближенное решение для двутавровой балки. Но в задаче об устойчивости плоской формы равновесия при изгибе кручение следует рассматривать совершающимся при других граничных условиях на концах балки, чем в случае чистого кручения. Как и в предыдущем параграфе, мы рассмотрим случай балки, защемленной одним концом. Если бы на свободном конце такой балки действовал крутящий момент, ось которого совпадала бы с осью балки, то мы не получили бы случая чистого кручения, так как на защемленном конце поперечное сечение вынуждено оставаться плоским, в то время как в случае чистого кручения оно перекашивалось бы ). Чтобы осуществить такие граничные условия в точности, можно поступить так воспрепятствовать повороту обоих концов балки около оси ее, а к среднему сечению приложить некоторый момент. Тогда вследствие симметрии среднее поперечное сечение будет оставаться плоским. Само собой разумеется, что сказанное относится к балке любого сечения. В предыдущем параграфе в случае прямоугольного сечения мы это обстоятельство оставляли без внимания, так как там оно большого влияния не оказывало. В случае же двутавровой балки дело обстоит иначе. Сохранение плоской формы концевого сечения имеет здесь потому большее влияние на угол закручивания балки, который получается от действия на свободный конец крутящего момента, что в силу рассматриваемого граничного условия горизонтальные полки, особенно вблизи места защемления, работают на изгиб. Подобный случай кручения стержня эллиптического сечения при [c.335]

Функция кручения ф должна быть однозначной в противном случае перемещение з=тф было бы многозначным (нас интересуют однозначные перемещения). При этом функция tjj, сопряженная с однозначной гармонической функцией, определяемая из условий Коши — Римана (7.10), может быть, вообще говоря, многозначной в нашем случае этого не должно быть, ибо функция г ) возвращается к первоначальному значению цри обходе по любому из контуров Lv, что видно из граничного условия для нее. Исходя из этого постоянные не могут быть фиксированы произвольным образом. Действительно, если фиксировать их произвольно, а затем определять функцию i 3 (для этого следует решить задачу Дирихле, которая, как известно, всегда имеет единственное решение), то функция ф, найденная из условий Коши — Римана с помощью функции 1 ), может оказаться многозначной. [c.179]

В некоторых задачах (кручение и изгиб авиационных профилей и др.) эффективен своеобразный смешанный метод, разработанный Л. С. Лейбензоном, М. Канторовичем и др Он состоит в том, что искомые функции представляют в виде произведения двух функций, из которых одна известная, причем подбираемая так, чтобы частично удовлетворить граничные условия другая же функция неизвестная, зависящая от меньшего числа переменных, и ее следует определять при помощи вариационного уравнения. [c.66]

Таким образом, при кручении прямого бруса произвольного постоянного сечения можно определить и перемещения, и напряжения Оз1 и а32, если известка функция наиряжеиий Ф (jfi,. Хг), удовлетворяющая уравнению Пуассона (7 33) и граничному условию (7.13). [c.139]

Для прямоугольника Xi = b, Хг = 1ъ граничные условия будут следующими при xi = .b Т1 = ф,2 = 0, при Тг = = ф,1 = 0. Таким образом, па контуре прямоугольника ф = onst или ф = 0. Решение уравнения (9.16.4) ищется совершенно таким же способом, как для задачи кручения в 9.9. Частное решение уравнения (9.16.4), обращающееся в нуль при х = Ъ, есть [c.321]

Часто применяемые на практике балки таврового, двутаврового, зетового, коробчатого и других тонкостенных сечений могут рассматриваться как состоящие из длинных прямоугольных полос, соединенных между собой вдоль краев. Элементарная теория изгиба применительно к таким профилям может быть неточной более правильные расчеты получаются, если строить для каждой из полос решение плоской задачи теории упругости и эти решения сопрягать между собою. Таким образом, возникает естественная необходимость построения решения плоской задачи для длинного, вытянутого прямоугольника. Оговорка о том, что прямоугольник должен быть вытянут, существенна. Дело в том, что метод разделения переменных, который будет применен в этой задаче, не позволяет удовлетворить двум граничным условиям на каждой стороне. Поэтому при решении добиваются точного удовлетворения граничных условий на длинных сторонах, тогда как на коротких сторонах граничные условия выполняются лишь интегрально. Вспомним, что такая же ситуация встречается в теории кручения и изгиба. Пусть ширина балки есть 2Ь, длина I, оси координат выбраны так, что границами слун ат линии х, = 0, х, = I, Х2 = Ь. [c.355]

Как следует из уравнений равновесия, наличие должно повлечь появление поправок к напряжениям при чистом кручении тсхх и Тгу, а последние в свою очередь потребуют наличия - у, которое при чистом кручении отсутствовало. Приходится сделать допущение и относительно закона изменения Тху, связав его с заковом стесненной денлапации (а) и подчинив граничным условиям. Можно назначить [c.118]

Сеп-Венаиом был предло кеп так называемый полуобрат-пый метод (1853 г.), суть которого состоит в том, что при решении задачи теории упругости задаются частью компонент перемещений и частью компонент напряжений, а недостающие компоненты определяются из уравнений теории упругости так, чтобы удовлетворялись все уравнения теории упругости и граничные условия. Этим методом Сеп-Венан решил задачи о кручении бруса некруглого сечения и об изгибе бруса. [c.58]

Сравнивая (7.25) и (7.36) и граничные условия (7.26) и (7.37), видим, что математические задачи об определении функции напряжений при кручении цилиндрического стержня и скорости течения ламинарного установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости в бесконечно длинной трубе, поперечное сечение которой одинаково с поперечным сечением стержня, под действием постоянного перепада давлений dpldz совпадают, когда [c.372]

В работе Холстона и др. [125] постановка задачи устойчивости оболочек с произвольной структурой пакета, изложенная ранее в работе Ченга и Хо [61], распространена на случай кручения. Холстоном и другими авторами было проведено также экспериментальное исследование этого случая нагружения, причем экспериментальные значения критического усилия в среднем значительно превышали теоретические. Авторы объяснили это,различие несоответствием между реальными й принятыми при теоретическом анализе граничными условиями. [c.235]

Распределение усилия S°(ф) взаимодействия оболочки и кольца определяется из условия совместности их деформаций на линии контакта окружные перемещения оболочки v а=а. и кольца должны быть одинаковыми. Заметим, что попытка рассчитать цилиндрическую оболочку при граничных условиях (7.41), как безмоментную, привела бы к выводу, что эта оболочка вовсе не принимает участия в восприятии нагрузки. В самом деле, из условий = О при а = О, а = следовало бы, что везде 7 = Q [см. формулы (6.41)], а также 5 = onst, что соответствует только осесимметричному кручению оболочки. Но так как нагрузки Р не вызывают кручения, то 5 = 0. Таким образом, напряженное состояние оболочки близко к чисто мо-ментному. Поэтому при малой длине оболочки для ее расчета наряду с полубезмоментной теорией можно было бы использовать и теорию чистого изгибания. [c.327]

Здесь kj y — кривизна кручения, Е — модуль упругости, ц, — коэффициент Пуассона материала, /г — толщина оболочки. Выражение (25) представляет собой интегральную зависимость, связывающую функцию напряжений ф с заданной деформацией перекоса (рис. 5.6, в), выраженной в левой части (25) через смещения угловых точек. При граничных условиях (22) левая часть (25) равна нулю. [c.163]

Крзгчение и нагрев. Докритические усилия определяются согласно выражениям (2.25), (2.27) и (2.28). Вьшучивание оболочки при кручении сопровождается образованием регулярно расположенных по окружности винтообразных волн, наклоненных к образующей. Будем считать, что края оболочки закреплены и что закрепление носит характер либо шарнирного опирания, либо заделки. Обычно [42, 54] считается возможным удовлетворить не всем граничным условиям, а только [c.139]

Считая края оболочки опирающимися на жесткие щпангоуты и учитывая из граничных условий лищь равенство нулю радиального прогиба на ее концах, принимаем выражение прогиба, как и при одном кручении, в виде (4.4). [c.211]

Из-за того что жесткая форма кручения не ортогональна упругим тонам изгиба, уравнения для ро и р k I) связаны инерционными и центробежными силами. Можно также поставить задачу без выделения установочных колебаний. При этом следует опустить степень свободы ро и соответствующее уравнение движения. Тогда деформация 0е будет представлять все движения кручения, включая и вызванное упругостью пр-оводки управления. Граничное условие для уравнения кручения в этом случае имеет вид [c.387]

Уравнение свободных колебаний можно решать при граничном условии GJ d%/dr)= Кв1 для общего случая закрепления конца. Решением является ряд ортогональных тонов с учетом упругости проводки управления и упругости лопасти на кручение. Однако это разложение дает равенство GJQe — Ke e у комля лопасти, что предполагает равенство нулю заданного системой управления угла установки и обратной связи от изгиба к углу установки. Это типичный результат для нормальных тонов он означает, что сосредоточенные силы и моменты в конечных точках лопасти не могут быть учтены. Возникает также проблема учета демпфера ВШ шарнирной лопасти, поскольку нормальность тона предполагает, что момент в шарнире всегда равен нулю. По этой причине установочные и упругие крутильные колебания в представленном анализе разделены. Вообще говоря, установочные колебания достаточно хорошо описывают крутильные колебания лопасти многих несущих винтов. Связанные жесткий и упругие тоны кручения могут быть использованы при анализе несущего винта методами Рэлея — Ритца или Галеркина (см. разд. 9.9) с надлежащим представлением граничных условий. [c.388]

Точно так же и граничные условия совпадают полностью, так как в одном случае напряжения, а в другом скорости должны итти в точках контура вдоль него. Уравнениями (18) и (19) и только что указанным граничным условием задача о кручении определялась однозначно, а потому, если мы сможем найти для сосуда того же сечения движение жидкости, то тем самым мы, наверное, будем иметь для того же контурд и правильное решение задачи о кручении. При этом нужно лишь сохранить за собой право выбрать множитель т таким, чтобы пара сил, даваемая касательными напряжениями, уравновешивалась заданным моментом кручения М. [c.67]

Особый класс составляют оболочки, у которых один размер намного превышает два других,— тонкостенные стержни. Работа таких стержней уже не согласуется с гипотезой Бернулли, их плоские сечения после деформации кручения перестают быть плоскими, депланируют . С. П. Тимошенко показал, что в полке скручиваемого двутавра возникают изгибные напряжения, которые не затухают при удалении от мест закрепления. Аналогичный факт для швеллера установил К. Вебер. Подробное рассмотрение всех особенностей кручения и изгиба тонкостенных стержней с решением ряда практических задач лишь много позже дал В. 3. Власов , который показал, что депланации сечения определяются так называемым законом сек-ториальных площадей. При этом граничные условия на концах стержней заставляют различать случаи свободного кручения, когда депланации не-ограничены, и стесненного кручения, при котором возникают дополнительные нормальные напряжения. Это накладывает особенности на рассмотрение статически неопределимых конструкций из таких стержней. [c.257]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...