Матричная экспонента

Рассмотрим далее задачу о нахождении явной формы решения уравнения (10.5) с учетом результатов леммы 10.1. Для этого надо, видимо, найти все элементы матричной экспоненты Эта задача, как известно (см., например, работы [34, 76, 80, 194]), в обш ем случае решается путем нахождения собственных чисел и собственных векторов матрицы А. [c.302]

В выражении (10.12) матричная экспонента очень просто находится в виде [c.304]

Равенство (7) может рассматриваться как обобщенное определение квазиоднородного векторного поля для произвольной матрицы С с собственными значениями в правой полуплоскости, где под лР подразумевается следующая матричная экспонента = ехр(С 1о /х). В этом случае степень ш играет формальную роль. [c.92]

Отметим, что для однородного постоянного ПОЛЯ из (1) следует точное решение уравнений движения в виде матричной экспоненты х = = ехр в/тс) Гт)и. В случае скрещенного поля [c.516]

Матрицы 1 о1 и ц также можно выразить через матричную экспоненту в виде, аналогичном представлению (3.148) для ТМ-поляризации. Действительно, заменяя систему 2N + 1 дифференциальных уравнений 2-го порядка (3.158) эквивалентной системой 4 N + 2 дифференциальных уравнений 1-го порядка, получаем [c.171]

Е — единичная матрица), поэтому используем разложение матричной экспоненты в цепную дробь [11] [c.405]

Количество затрачиваемых операций можно еще уменьшить, если матрицу Якоби и соответственно матричную экспоненту вычислить только один раз по окончании разгона . Этот метод можно применить, так как собственные числа Я] и Хг (см. табл. 7.1) слабо зависят от времени т. [c.405]

Известно, что матричная экспонента может быть представлена в виде [4] [c.417]

Лх, X ( о) = 0 в виде матричной экспоненты [c.19]

В частном случае, когда матрицы А чВ постоянны (система (П1.1) стационарна), матрица фундаментальных решений однородной системы уравнений выражается с помощью матричной экспоненты [c.514]

В заключение приведем известную формулировку критерия Калмана управляемости линейной стационарной системы. В данном случае матрицы А н В постоянны, позтому матрица (х)5 выражается с помощью матричной экспоненты следующим образом [c.518]

Понятие Л. а. возникло в связи с изучением групп Ли, т. к. элементы группы Ли можно представлять в виде экспонент от элементов Л. а. (см. Группа). Если группа Ли реализована как группа матриц, то соответствующая ей Л. а. также является матричной. Это значит, что каждый элемент алгебры является матрицей, а операция коммутирования определяется как обычный коммутатор [XY = XY—YX. [c.583]

Матричные элементы в координатном представлении. Будем исходить из введенного в [1, 2] представления -матрицы в виде упорядоченной по заряду д экспоненты [c.131]

Входящие сюда хронологически т -упорядоченные экспоненты и М не содержат зависимости от временного аргумента. Подчеркнем еще раз, что при выводе последнего равенства мы воспользовались уже известным результатом п. 4, П1.2 для решений системы типа (П1.2.8) в двумерном случае, согласно которому ( г) = ( (йГ )" I)- Структура ряда теории возмущений для одномерной задачи приводит именно к такой форме записи интересующего нас матричного элемента о- [c.183]

Подчеркнем еще раз, что сама система уравнений скалярной пары инвариантна относительно выбора того или иного представления элементов /, т, Ь, в (1.4). Определение волновая функция /-го представления означает только то, что параметр т/, точнее — его экспонента, наиболее просто определяется как матричный элемент д между старшими элементами базиса (для краткости — просто старшими векторами) /-го представления, т. е. [c.196]

Мы воспользовались прописной буквой О, чтобы отличить волновой вектор фонона от произвольного волнового вектора д.) Будем считать, что векторы амплитуд не зависят от времени. Можно было бы рассматривать зависимость амплитуд от времени, но это привело бы просто к тому, что полученные в конце матричные элементы зависели бы от времени. Подставляя положения ионов rJ -г бг в выражение для структурного фактора и разлагая экспоненты по малым амплитудам UQ, получаем [c.442]

Матричные элементы операторов а, и между фононными состояниями легко вычислить с помощью выражений (4.42). Из соотношения (4.26) следует, кроме того, что матричные элементы экспоненты е между электронными состояниями можно получать, заменив е -т на 2 (для этого достаточно воспользоваться [c.464]

Если нас интересует только вероятность излучения без отдачи т. е. когда состояние фононов решетки не изменяется, нам достаточно найти матричный элемент (4.61) для одинаковых фононных состояний в начале и в конце. При этом матричный элемент оператора сводится к среднему значению этого оператора. Такие средние значения определяют многие свойства твердых тел, и они были изучены в весьма общем виде. Интересующий нас результат можно легко найти в случае малого смещения бго. Для этого достаточно разложить экспоненту по степеням б Го, усреднить полученное выражение по направлениям и величине вектора б Го и снова записать результат в виде экспоненты [c.478]

Каждый член в выражениях (2.9) и (2.10) содержит по крайней мере один матричный элемент вида (А р ). Комплексные экспоненты в выражении (2.1) для А можно разложить по матричным элементам всех мультипольных моментов атомной системы. Если существует центр симметрии, то волновые функции ф, будут иметь определенную четность. В этом случае члены в эфф, соответствующие электрическим диполям (т. е. члены нулевого порядка по к), исчезнут. Однако члены, соответствующие электрическим квадруполям (и магнитным диполям), линейные по к, дадут конечный результат. [c.273]

Для ф( )е О уравнение (2) есть уравнение Эйлера движения обобщенного твердого тела (см. [8, 5]). Уравнения Эйлера —Лагранжа (для лагранжиана (1)) можно записать в виде (2). Траектория g t) о. т. в. задается кривой a t) в g (0 = ехр(а(/)) (где ехр —экспоненциальное отображение из g в G, задаваемое в случае матричных групп G обычным рядом для экспоненты ехр а = -fa/1 + + а /2 -f. .. ). Для а —О справедливо разложение (см. [5]) [c.315]

Аргумент экспоненты в (5.2.3) представляет собой сумму квадратичной и линейной форм от переменных. .., адг. Для удобства обращения с ними полезно ввести матричные обозначения. [c.68]

Ряды Ли (2.14) сходятся при всех s g R. Решение (2.14) в действительности является общим. В самом деле, уравнения (2.14) легко разрешаются относительно начальных значений х , у с помощью операции вычисления обратной экспоненты (по аналогии с матричными рядами) [c.19]

Пусть S — 1. Для вычисления матричной экспоненты найдем собственные значения матрицы иН det(a Я--Л/) =0. Если <7 = HI2 — HnHi2 > > О, то Л2,1 = (т. Введем проекционные операторы [c.268]

Найлем персходн>то матрицу Ф(7 ). Для линейной системы с постоянными коэффициентами матрица фундаментальных решений и переходная матрица выражаются с помошью матричной экспоненты [c.495]

Возможности программного обеспечения проектирование линейных стационарных систем в соответствии с методологией ЛКГ-задачи. Составляемая пользователем исполняющая программа подключает необходимые подпрограммы из специальной библиотеки (62 подпрограммы), в которую входят процедуры работы с матрицами и векторами, ввода-вывода, анализа и проектирования линейных систем. Кроме того, в библиотеку включены подпрограммы вычисления собственных значений, декомпозиции по методу Холецкого и по вырожденным значениям, вычисления матричных экспонент, решения уравнений Ляпунова и Сильвестра, проверки условий стабилизнруемости вычисления ковариаций и конструирования передаточной матрицы. Для систем, описываемых с помощью непрерывных и дискретных переменных состояния, алгоритмы проектирования включают методы решения стационарных и нестационарных ЛКГ-задач, методы с явной и неявной эталонной моделью, а также методы размещения собственных значений в одномерных системах. [c.324]

В дальнейшем изучение М. р. шло 2 путями. С одной стороны, интенсивно разрабатывалась теория М. р. в рамках гамильтонова метода описания. Этот метод приводил в релятивистских теориях — при использовании возмущений теории — к возникновению расходящихся выражений в высших приближениях. В последующих работах Томонага—Швингера и Р. Фейнмана был разработан способ обхода этой трудности прп вычислении ряда наблюдаемых эффектов (см. Квантовая электродинамика и Квантовая теория полей). В фундаментальных работах Ф. Дайсона было выяснено, что методы Томонага—Швингера и Фейнмана по существу устанавливают эквивалентные правила для вычисления М. р. с помощью гамильтонова формализма и теорпи возмущений. При этом было показано, что (во всяком случае, для квантовой электродинамики и т. п. перенормируемых теорий) все расходимости могут быть собраны в (бесконечные) перенормировки заряда, массы и операторные волновые ф-ции, а всем наблюдаемым эффектам можно сопоставить конечные матричные элементы М. р. При этом можно формально записать М. р. в виде хронологической экспоненты [c.160]

Асимптотическое разлол ение матричного элемента-оператора представления 7 ( ), взятого между состояниями с фиксированными значениями квантовых чисел (включая вес) Т к), с очевидностью вытекает из (4.5). При этом коэффициенты при экспонентах выражаются через функции (4.3) и несут полную информацию об унитарных компонентах представления Л , матричные элементы для которых убывают в асимптотической области определенным образом. В частности, основным сериям унитарных представлений Л = р, / отвечают матричные элементы, квадратично интегрируемые с инвариантной [c.96]

Мы будем искать иовое решение так же, как мы это делали в приближении сильной связи, т. е. с помощью построения линейной комбинации 1 )1 и 1 2- Теперь должны быть учтены матричные элементы гамильтониана между состояниями 1 )1 и1 )2. Они непосредственно соответствуют интегралам перекрытия в методе сильной связи. Эти матричные элементы не будут равны нулю, только если поперечные компоненты волновых векторов одинаковы для обоих состояний. Последнее соответствует предположению о зеркальном пропускании, обсуждавшемся выше. Если обе компоненты волнового вектора одинаковы, мы обозначим интеграл перекрытия через Т. Ясно, что эта величина будет пропорциональна экспоненте е- I I, где снова к — мнимая часть волнового вектора в окисле и б — толщина пленки. [c.300]

С другой стороны, вpeмeннaя зависимость диагональных матричных элементов а а и Оъъ более сложная, поскольку, как показано в гл. VIII, их изменений связано с изменением всех других диагональных матричных элементов а а- Для этих элементов нельзя определить одну постоянную затухания Ti, аналогичную затухание описывается суммой нескольких экспонент. Рассмотрим теперь движение системы спинов с простой линией в присутствии радиочастотного возмущения %Е t) с частотой со в окрестности сОаь = too [6]. Будем предполагать, что как со—соо, так и величина возмущения (измеренная в единицах частоты) малы по сравнению со всеми разностями со о— o p. Предположим, что время корреляции Тс достаточно мало Ei t) X <С 1) и что основное уравнение для матрицы плотности системы спинов можно записать в виде [c.482]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...