Т-матрица, К-матрица и функция Грина

У равнения Дайсона. К задаче о вычислении функций Г рина и корреляционных функций можно подойти с разных сторон. Например, дифференцируя их по временным аргументам и используя затем уравнения движения для операторов поля, можно получить так называемую цепочку уравнений Мартина-Швингера [124], которая аналогична цепочке уравнений для приведенных матриц плотности, рассмотренной в главе 4 первого тома. Расцепляя на каком-то шаге цепочку Мартина-Швингера с помощью аппроксимаций для высших функций, можно получить приближенные замкнутые уравнения для одночастичных функций Грина и корреляционных функций (см., например, [49]). Другой путь состоит в том, чтобы записать гамильтониан в виде Я = Я + Я, где Я описывает свободные частицы, и перейти в представление взаимодействия, разложив функции Грина и корреляционные функции в ряды по Я. Для суммирования бесконечных последовательностей членов теории возмущений удается построить диаграммную технику [19] (см. также [55]). В настоящее время хорошо изучена связь аппроксимаций высших функций в цепочке Мартина-Швингера с суммированием диаграмм определенных типов, поэтому выбор подхода, во многом, дело вкуса. Поскольку метод уравнений движения более удобен для исследования общих свойств временных функций Грина, именно им мы и воспользуемся ). [c.43]

После построения матрицы-функции Грина для решения интегрального уравнения применяется метод фиктивного поглощения. Для перехода из пространства изображений в пространство оригиналов авторы используют численный метод Файлона. Развитый трехмерный формализм решения задачи применяется затем к анализу нестационарного нагружения слоистой полосы при плоской деформации, когда на электрод-штамп в центре его массы действует перпендикулярная к границе сила в форме ступеньки, а электрические условия соответствуют случаям 1) или 2). Авторами представлены численные расчеты для различных случаев соотношения жесткостей слоев, коэффициентов электромеханической связи и различных электрических условий подключения электрода. [c.603]

Т-матрица, К-матрица и функция Грина [c.298]

Функция (матрица) G в этом выражении называется функцией Грина для задачи (2.291). [c.93]

Построение матрицы Грина для второй основной задачи сопряжено с некоторым усложнением (аналогично функции Грина для задачи Неймана (см. 7 гл. 1)). Дело в том, что нельзя подобрать в случае, когда область О конечна, матрицу и р,д) таким образом, чтобы оператор напряжений от смещений, определяемых матрицей 0 р,д), обращался на поверхности 5 в нуль. [c.570]

Матрица нагрузки В в уравнении МГЭ (Г46) содержит элементы с вложенными силовыми пространствами на основе теории обобщенных функций и сплайнов. Нагрузка на каждый стержень задается, а функция Грина всегда может быть определена. В матрице В после интегрирования остаются члены с обобщенными функциями и сплайнами. Единичная функция Хевисайда и сплайны легко программируются на любом алгоритмическом языке, а дельта-функция Дирака и ее производные должны [c.34]

Ряды типа (6.40) и (6.41) для компонентов матрицы Грина могут расходиться в точке =0, ф = 0 приложения. сосредоточенной силы. Эти ряды в окрестности указанной точки ведут себя так же, как ряды главного значения матрицы Грина, рассмотренные в разд. 6.4 и просуммированные. Интересно исследовать сходимость рядов, которые получатся после выделения главной части решения. С этой целью основную разрешающую функцию Грина ф, являющуюся решением уравнения (6.10), представим в виде [c.269]

Здесь I — единичная матрица по отношению к индексам функции Грина G. Символы уравнениях (6.3.26) показывают, что точка ( ) расположена дальше (ближе) вдоль контура (7, чем точка на бесконечно малую величину. [c.46]

Структура уравнения (6.3.85) фактически такая же, как и структура уравнений для различных Т-матриц, которые вводились в первом томе. На языке диаграммной техники второй член в формуле (6.3.83) представляет собой результат суммирования бесконечной последовательности так называемых лестничных диаграмм, описывающих столкновение двух частиц в среде [55]. Поэтому приближение Т-матрицы для временных функций Грина применяется в квантовой кинетической теории систем с сильным короткодействующим потенциалом взаимодействия. [c.56]

Подведем итоги. Мы убедились в том, что с точки зрения общей теории неравновесных процессов стандартный метод временных функций Грина основан на граничном условии полного ослабления корреляций в отдаленном прошлом, которое эквивалентно граничному условию Боголюбова к цепочке уравнений для классических функций распределения или квантовых многочастичных матриц плотности. Как мы знаем, при таком выборе граничного условия корреляционные эффекты проявляют себя как эффекты памяти в кинетических уравнениях. Поэтому марковские кинетические уравнения, получаемые в стандартном методе функций Грина, применимы только к системам, которые достаточно хорошо описываются в рамках модели слабо взаимодействующих квазичастиц. Для систем с сильными корреляциями нужно вводить новые граничные условия, учитывающие динамику корреляций в системе. Обратим внимание на то, что предельные значения (6.3.108) временных функций Грина выражаются через квази-равновесные функции G , в которых усреднение производится со статистическим оператором зависящим от времени через макроскопические наблюдаемые Р У. Таким образом, соотношение (6.3.108) показывает, что в общем случае предельные гриновские функции зависят от макроскопической эволюции системы. Иначе говоря, уравнения движения для временных гриновских функций должны рассматриваться совместно с уравнениями переноса для Р У. В параграфе 4.5 первого тома был рассмотрен пример такого объединения квантовой кинетики с теорией макроскопических процессов в методе неравновесного статистического оператора. Соответствующая техника в методе функций Грина пока не разработана, так что читателю предоставляется возможность внести свой вклад в решение этой проблемы. [c.62]

Речь пойдет о начальном этапе эволюции системы из некоторого, вообще говоря, неравновесного состояния, описываемого статистическим оператором ( о) Хотя эта задача имеет долгую историю (см., например, [21, 55, 56, 80, 81, 114, 153, 168]), интерес к ней значительно возрос в последнее время в связи с экспериментальными и теоретическими исследованиями быстрых релаксационных процессов в полупроводниках [83, 149] и столкновений тяжелых ядер [56, 75, 105, 106]. Кинетическое уравнение с учетом начальных корреляций в низшем порядке теории возмущений было выведено в работах [110, 114] из цепочки уравнений для приведенных матриц плотности. Более общее квантовое кинетическое уравнение с начальными корреляциями было выведено методом функций Грина в работе [133], которой мы и будем, в основном, следовать. [c.62]

Они компактны и, кроме того, дают наглядную интерпретацию роли начальных корреляций в микроскопической динамике. Допустим на минуту, что второй член в квадратных скобках равен нулю. Тогда уравнения (6.4.76) и (6.4.77) описывают процесс рассеяния двух частиц, причем матрица (GoG) представляет собой двухчастичный пропагатор в среде. Мы видим, что в некотором смысле начальные корреляции можно рассматривать как дополнительный источник рассеяния частиц. Соответствующая Т-матрица есть Т, а роль пропагаторов играют перекрестные функции Грина Q [c.75]

Выразить двухчастичную матрицу плотности (12,1 2 ) = a, a, a- a2)q через двухчастичную термодинамическую функцию Грина (12,1 2 ) [см. (6.1.55)]. [c.87]

В действительности указанное противоречие исчезает, если учесть, что в НТП функция Грина (22) непосредственно не связана с б -матрицей. В локальной теории существует совпадение выражения (22) и функции Грина [c.138]

Обозначим Gi(t, ) диагональную пХп матрицу-функцию, составленную из функций Грина [c.83]

В силу непрерывности функций Грина G,y (t, ) и предположения, сделанного выше относительно матрицы-функции (t — т), элементы матрицы-функции Я,- (t, т) непрерывны для /, [О, Тд]. Элементы вектор-функции столбца Ri (t) обозначим Rij- (t), /= 1, 2,. . ., п. [c.89]

Наряду с молекулярным приближением решение системы (33.10) можно найти методом функций Грина [134], являющимся удобным для этой задачи вариантом теории возмущений [137]. Итак, определим матрицу [c.235]

При вычислении запаздывающей функции Грина (50.22) усреднение с помощью матрицы плотности можно заменить усреднением по основному состоянию молекул без внутримолекулярных возбуждений ]0, 0), так как энергия последних значительно превышает тепловую энергию даже при комнатных температурах. Таким образом, будем считать [c.396]

Построение функции Грина, Т-матрицы или вектора состояния при помощи разложения в степенной ряд необязательно начинать с решения уравнения при полном отсутствии взаимодействия. Если, так же как и в гл. 7, 2, п. 5, гамильтониан распадается на слагаемые [c.233]

Здесь u[ xi) — операторы полей во взаимодействия представлении, S — матрица рассеяния. В перенормированной т-еории возмущений Г, ф. (3) содержат все радиационные поправки, соответствующие как связным, так и несвязным диаграммам Фейнмана с п внеш. линиями, и представляются в виде степенного ряда по константе взаимодействия [при этом все вакуумные вклады, пропорциональные <0 5 0>, факторизуются н сокращаются со знаменателем в (.3)]. Такие Г. ф. наз. полными функциями Грина. [c.537]

Интегральное уравнение (174) можно решать методом последовательных приближений, выбирая за начальное приближение функцию определяемую соотношением (172). Для перехода от системы дифференциальных уравнений (173) к системе интегральных уравнений (174) необходимо знать функциюГрина О (t, т). В частном случае, когда матрица Р (t) = А постоянна, функция Грина имеет вид [c.115]

Под главным значением матрицы Грина понимается матрица, содержащая в себе особенности построенного в разд. 6.3 решения, т. е. решения, неограниченно возрастающего в окрестности точки приложения сосредоточенной силы. Такая матрица впервые получена В. М. Даревским [21] в 1950 г. Она определяется по. формулам разд. 2 из Главного значения разрешающей функции Грина, которую обозначим через Ф°. Последняя определяется решением уравнения [c.266]

Как и раньше, верхний знак берется для фермионов, нижний — для бозонов. В причинной функции Грина символ означает обычное хронологическое упорядочение операторов, которое уже встречалось в предыдущих параграфах. В данном случае операторы располагаются справа налево в порядке возрастания времен. Для фермионов необходимо также учитывать, что при перестановке любой пары фермиевских операторов произведение меняет знак. В функции (6.3.8) символ означает анти-хронологическое упорядочение, при котором операторы располагаются справа налево в порядке убывания времен. Мы будем называть функцию антипричинной функцией Грина. Наконец, формулы (6.3.9) и (6.3.10) определяют временные корреляционные функции ). Функция д представляет особый интерес в кинетической теории, так как она непосредственно связана с одночастичной матрицей плотности [c.42]

Кинетические уравнения типа квантового уравнения Больцмана или уравнения Улинга-Уленбека (см. главу 4 первого тома) получаются из (6.3.81) в приближении Т-матрицы для двухчастичной функции Грина [49] [c.55]

Связь между функциями Грина и одночастичной матрицей плотности. Уже отмечалось, что при выводе кинетического уравнения методом функций Грина требуется найти выражения для временных корреляционных функций через функцию Вигнера / . В предыдущем разделе эта проблема была решена в простейшем квазичастичном приближении. Результатом являются соотношения (6.3.79) и (6.3.80). Исключая функцию Вигнера с помощью формулы (6.3.64), легко также записать корреляционные функции через одночастичную матрицу плотности. [c.56]

Предложенный в [14] подход к решению задачи возбуждения волн электродами сводится к следующему (см. также [3]). Первоначально находится матрица Грина для пьезополупространства, свободного от механических нагрузок, с точечным распределением заряда на граничной поверхности и с учетом условий излучения. Знание функции Грина позволяет, в принципе, определить поля смещений и потенциал электрического поля при произвольном распределении заряда на граничной поверхности в виде интегралов [c.597]

В п. 6 обсуждается парадокс, связанный с появлением комплексных особенностей собственно энергетической части и одновременным выполнением спектрального соотношения для функций Грина. В НТП функция Грина, построенная из гейзенберговских операторов поля и удовлетворяющая спектральной формуле, отнюдь не совпадает с функцией Г рина, построенной из 1п-онераторов и пеносредствепно связанной с матрицей рассеяния. Совпадают лишь их мнимые части, а также их значения вблизи массовой оболочки. [c.131]

В предыдущем параграфе краевые задачи для векторных ин-тегродифференциальных уравнений сводились к векторным интегральным уравнениям второго рода с помощью матриц, составленных из функций Грина. При этом было достаточно существования функций Грина. Идею сведения краевых задач для векторных ин-тегродифференциальных уравнений к векторным интегральным уравнениям второго рода можно использовать и при приближенном решении краевых задач путем приближенного решения соответствующих интегральных уравнений. Однако при этом необходимо осуществлять построение функций Грина. Вопросы существования и построения функций Гряна для краевых задач, определяемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, рассмотрены, например, в работах [5, 12]. Вопрос о построении функций Грина достаточно разработан для краевых задач, определяемых обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. В этом случае может оказаться целесообразным переход от краевой задачи для векторного интегродифференциального уравнения к векторному интегральному уравнению второго рода. Например, при приближенном решении задачи этот переход обеспечивает возможность осуществления эффективной аппроксимации. В случае дифференциальных операторов с переменными коэффициентами при построении функций Грина, а следовательно, и при сведении краевых задач к интегральным уравнениям второго рода могут возникать затруднения. [c.85]

В книге излагаются основные теоретические представления об элементарных коллективных возбуждениях фононах, плазмонах, магнойах и экситонах, возникающих в твердых телах и появляющихся в различных явлениях при взаимодействии с фотонами и между собой. Изложение основных глав книги базируется на использовании современного математического аппарата квантовой теории твердого тела — функций Грина, корреляционных функций, метода матрицы плотности и др. Для чтения книги не требуется предварительного знания этих методов. Они излагаются непосредственно в книге. Необходимы знания в области математики и теоретической физики в объеме обычных университетских курсов. [c.7]

В настоящей главе равновесное поле в вакууме и в линейной сплошной среде обсуждается кратко в 4.1 и 4.2 соответственно, а следующие разделы посвящены ТИ. В 4.3 дается краткое описание макроскопического метода расчета ТИ с помощью ФДТ. Этот л етод развивался в основном Левиным и Рытовым [144, 162], получившими общую формулу ( обобщенный закон Кирхгофа ), выражающую вторые моменты поля через диэлектрическую проницаемость и функцию Грина для макроскопических уравнений Максвелла. В 4.4 выводится новая форма обобщенного закона Кирхгофа (ОЗК), выражающая моменты поперечного ноля через матрицу упругого рассеяния по отношению к фурье-амплиту-дам E]i (или операторам а ) [137, 184]. Далее, в 4.5 ОЗК выводится другим способом — с помощью однофотонного кинетического уравнения для поля, из которого следует гауссов характер статистики ТИ. Наконец, в 4.6 и 4.7 рассматривается связь моментов поля в дальней зоне излучателя с моментами операторов рождения и уничтожения. [c.111]

Многочастичный аспект всей проблемы использует многочисленные вспомогательные математические методы. Квантовая статистика (ферми- и бозе-статистика) дает распределение по энергиям у невзаимодействующих элементарных возбуждений. Для квантовомеханических представлений оказывается удобным представление чисел заполнения (Приложение А). Для проблем, учитывающих взаимодействие, в особенности для сильно возмущенных систем, все больше привлекаются вспомогательные методы квантовой теории поля диаграммная техника, функции Грина, теория рассеяния, матрица плотности и т. д. Во вводной книге, рассчитанной на широкий круг читателей, эти современные методы не могут стоять в изложении на первом плане. Мы все же затронем и эти методы при обсуждении вопросов взаимодействия. Однако, насколько это будет возможно, мы будем пользоваться обычными методами, изложенными в курсах квантовой механики. Более подробно литература по математическим вспомогательным методам теории групп и многочастичной физики приведена в списке литературы [78—88]. Для концепции элементарных возбуждений в твердых телах рекомендуем книги Андерсон [8], Киттель [12], Пайне [16], Тейлор [19], Труды конференции [49] и статью Лундквиста в [56]. Для метода Хартри —Фока ( 3) далее рекомендуем Андерсона [8], Брауэра [9], Хауга [II] и Киттеля [12]. [c.17]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...