Уравнения равновесия в обобщенных координатах

УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ в обобщенных координатах 331 [c.331]

ЛАГРАНЖЕВЫ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ И ДВИЖЕНИЯ 124. Уравнения равновесия в обобщенных координатах [c.331]

УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ 333 [c.333]

Уравнения равновесия (4) были даны Лагранжем 1). Эти уравнения равновесия в обобщенных координатах являются наиболее общей формой уравнений статики. Все уравнения -равновесия, известные из элементарной статики твердого тела, могут быть получены из уравнения (4) как частные случаи. [c.333]

В 124 мы вывели уравнения равновесия в обобщенных координатах из уравнения работ (8), произведя в этом уравнении преобразование от декартовых координат к обобщенным координатам. Совершенно таким же путем мы получим дифференциальные уравнения движения в обобщенных координатах из общего уравнения динамики (3), если выполним в этом уравнении тот же самый переход от декартовых координат к обобщенным координатам. В настоящем параграфе мы остановимся на этом преобразовании общего уравнения динамики. [c.337]

Мы уже заметили в начале предыдущего параграфа, что дифференциальные уравнения движения в обобщенных координатах могут быть выведены из общего уравнения динамики совершенно так же, как в 124 били нами получены уравнения равновесия в обобщенных координатах из уравнения работ. В конце 127 мы получили общее уравнение динамики в обобщенных координатах из этого уравнения (12) мы и выведем теперь дифференциальные уравнения движения нашей системы. [c.342]

В предыдущем параграфе мы рассмотрели две системы уравнений равновесия в декартовых координатах и обобщенных. Они будут справедливы и для потенциальных сил. Если не стоит специальная задача по определению сил реакции, то система уравнений равновесия в обобщенных координатах предпочтительней, так как сил реакции не содержат. Итак, используем условие (19.10) [c.174]

Колебательные движения механических систем удобно описывать уравнениями Лагранжа в обобщенных координатах. При составлении уравнений мы будем отсчитывать обобщенные координаты всегда от положения устойчивого равновесия, относительно которого и происходят колебания механических систем. В большинстве случаев эти уравнения нелинейны и их интегрирование связано с большими трудностями. Однако при решении многих технических задач оказывается возможным в этих уравнениях отбрасывать квадраты и более высокие степени координат и скоростей. Такая операция называется линеаризацией уравнений. Линеаризованные уравнения не могут, конечно, в точности отобразить движения системы и дают несколько искаженную картину явления. Искажения тем менее существенны, чем меньше отброшенные члены уравнений в сравнении с оставшимися. Если значения координат и скоростей во все время движения остаются очень малыми, то их квадратами и высшими степенями вполне можно пренебречь, подобно тому, как в дифференциальном исчислении пренебрегают бесконечно малыми высших порядков. Таким образом, мы пришли к заключению, что колебания, описываемые линеаризованными уравнениями при сделанном выборе начала отсчета, должны быть только малыми колебаниями около положения равновесия. [c.435]

После рассмотрения дифференциальных уравнений движения и двух основных задач динамики несвободный материальной системы изучается метод Лагранжа. Вводится понятие об обобщенных координатах, обобщенных скоростях и обобщенных силах. Выводятся общее уравнение статики в обобщенных координатах и уравнения равновесия несвободной материальной системы. Уравнения движения в обобщенных координатах вытекают из уравнений равновесия и принципа Даламбера-Для этого достаточно к обобщенной активной силе добавить обобщенную силу инерции. После элементарных преобразований получается [c.70]

По принципу возможных перемещений сумма элементарных работ всех сил на любом возможном перемещении системы равна нулю, т. е. уравнение (40) должно удовлетворяться и на таком возможном перемещении. Но на перемещении с компонентами в обобщенных координатах, выраженных соотношениями (41), условие равновесия (40) примет следующий вид [c.336]

В 1788 г. появилось сочинение Ж- Лагранжа Аналитическая механика , в котором вся механика была изложена строго аналитически на основе принципа Даламбера и принципа возможных перемещений. При этом Лагранжем были получены дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах. Дальнейшее развитие аналитических методов, предложенных Лагранжем для исследования движения и равновесия несвободных механических систем, привело к установлению ряда дифференциальных и вариационных принципов механики. [c.16]

Следовательно, применение условий равновесия системы в обобщенных координатах (2) позволяет получить сразу два уравнения, из которых определяются две искомые реакции Ха и У а Методы же геометрической статики потребовали бы для решения этой задачи расчленения системы и составления уравнений равновесия для каждого из тел системы в отдельности. При этом, очевидно, число совместных уравнений и, следовательно, число неизвестных увеличилось бы. [c.779]

Из общего уравнения динамики (2, 123) можно вывести так называемые дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах, подобно тому, как из общего уравнения статики (1, 121) были выведены условия равновесия системы в обобщенных координатах (2, 122). [c.788]

При плоском напряженном состоянии уравнения теории упругости имеют тот же вид, что и при плоской деформации, лишь в уравнения обобщенного закона Гука входят другие коэффициенты. Вследствие этого уравнения равновесия в перемещениях (в декартовой системе координат) будут иметь вид (1.6.9) при следующих значениях коэффициентов [c.72]

В 143 мы получили условия равновесия системы в обобщенных координатах. Теперь, пользуясь методом обобщенных координат, обратимся к выводу дифференциальных уравнений движения системы, которые находят широкое применение в динамике. [c.549]

УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ И УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ [c.453]

Они принадлежат к тому же типу, что прежние, но имеют точку обобщенного равновесия в начале координат при всех малых значениях параметра с. Решение в формальных рядах такой системы дифференциальных уравнений, разумеется, содержит параметр с. Именно такого рода формальные ряды оказываются часто полезными в приложениях при этом равенство нулю параметров, аналогичных с, может соответствовать специальному интегрируемому случаю динамической проблемы, когда периодическое движение, из которого мы исходим, может быть выражено в явном виде. [c.151]

Пример 2.1. Двойной маятник, состоящий из двух однородных стержней массы т и длины I каждый, может совершать движение в вертикальной плоскости (в точках О ъ А — цилиндрические шарниры). Помимо силы тяжести, действующей на стержни, к точке В стержня АВ приложена постоянная по величине перпендикулярная к стержню сила F (см. рис. 2.1). Определить положения равновесия. Выбор обобщенных координат а, (3 — углов между стержнями и вертикалью — приводит к обобщенным силам и к уравнениям, определяющим по теореме 2.1 все положения равновесия [c.10]

Линейные уравнения равновесия в усилиях. Пусть, по-прежнему, X — координата вдоль образующей, 5 — координата по дуге поперечного круга Р — радиус исходной поверхности оболочки, — полные удельные тангенциальные усилия Q2 — полная удельная поперечная сила Рг —удельная поперечная сила, воспринимаемая заполнителем — полные удельные изгибающие и крутящие моменты — обобщенные изгибающие и крутящие моменты р , д—внешние тангенциальные и нормальные нагрузки. Уравнения равновесия для сформулированной выше постановки в удельных усилиях и моментах будут иметь вид [c.97]

Во многих случаях при решении простых задач на равновесие по методу обобщенных координат вовсе не требуется устанавливать и использовать формулу преобразования (19.3) от декартовых координат к обобщенным и затем преобразовывать к обобщенным координатам уравнение (19.6), как это было описано выше. Оказывается возможным сразу писать принцип виртуальных перемещений в обобщенных координатах в виде уравнения (19.9), определяя обобщенные координаты непосредственно из задачи. [c.173]

Уравнения (89.7) - это уравнения равновесия системы точек в обобщенных координатах. С учетом этого, в выражении (89.5) второе слагаемое равно нулю. Первое слагаемое в (89.5) обращается в нуль по ранее сделанному предположению 7(0) = 0. В таком случае силовая функция (89.5) является квадратичной формой обобщенных координат с постоянными коэффициентами [c.310]

Допустим, что консервативная механическая система, состоящая из п материальных точек и имеющая одну степень свободы, находится в некотором положении в устойчивом равновесии. Исследуем, какое движение будет совершать эта система, если ее вывести из равновесия малым возмущением. Условимся опять определять положение системы обобщенной координатой q, выбранной так, что при равновесии равновесие устойчиво, а возмущения малы, то координата q и обобщенная скорость q будут во все время движения тоже оставаться величинами малыми. Для составления дифференциального уравнения движения системы воспользуемся уравнением Лагранжа, которое, если выразить обобщенную силу Q через потенциальную энергию системы,П [(см. 143, формулы (115)], примет вид [c.389]

Задача 1315 (рис. 714). Жесткая Т-образная невесомая конструкция может без трения вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси О в вертикальной плоскости. В точках А и В конструкции закреплены точечные массы М и т соответственно. Третья точечная масса D величиной т может колебаться при помощи пружины жесткостью с по перекладине АС около точки С, причем СА = АВ = АО = /. Приняв за обобщенные координаты угловую координату ф поворота кон- Рис. 714 струкции и относительную координату S точки D относительно точки С, составить уравнения малых колебаний системы около положения равновесия и найти собственные частоты. [c.471]

Рассмотрим основные свойства малых колебаний механических систем с одной и двумя степенями свободы на основе применения уравнений Лагранжа некоторые результаты для системы с любым, конечным числом степеней свободы приведем без вывода. Механическая система может совершать малые колебания только вблизи устойчивого положения равновесия. Обобщенные координаты системы в положении равновесия принимают равными нулю, т. е. отсчитывают их от положения равновесия. Тогда колебательным движением механической системы в общем случае считают всякое ее движение, при котором все обобщенные координаты или часть из них изменяются не монотонно, а имеют колебательный характер, т. е. принимают нулевые значения по крайней мере несколько раз. [c.384]

Как видно из равенств (16) и (17), в отличие от движения системы вблизи положения устойчивого равновесия, обобщенная координата q и обобщенная скорость q с ростом времени t могут принимать сколь угодно большие значения, а тогда становится несправедливым отбрасывание членов высших степеней в разложениях кинетической и потенциальной энергий и приведение уравнения движения к виду (15). Ввиду этого оговоримся, что для этого случая (с < 0) все последующее рассуждение относится к достаточно малым q и q, т. е. имеется лишь локальное значение для области, близкой к положению неустойчивого равновесия системы. [c.483]

Если система голономна, то число ее обобщенных координат т совпадает с числом степеней свободы п и величины bqt в (8) независимы. Приравнивая нулю коэффициенты при bqt в уравнении ((8), получаем, что в положении равновесия системы q = qo (и только в нем) обобщенные силы равны нулю [c.96]

Решая эти уравнения относительно. . ., найдем те значения обобщенных координат, при которых система может находиться в равновесии. Таких положений может оказаться несколько, причем в некоторых из них равновесие может быть устойчивым, а в некоторых неустойчивым. Так, например, простой маятник, подвешенный на стержне, имеет два возможных положения равновесия, из них в нижнем положении равновесие устойчиво, а в верхнем неустойчиво. [c.77]

Уравнения равновесия нулевого приближения в декартовой системе координат. Получим уравнения равновесия стержня при малых обобщенных перемещениях ы, и с использованием нелинейных уравнений (1.84) — (1.88). В декартовых осях уравнения (1.84) и (1.85) принимают вид [c.46]

Методы статики несвободной системы, изложенные в гл. XXVII, обобщаются и на динамику. Подобно тому как использование уравнения принципа возможных перемещений — общего уравнения статики — привело к различным формам уравнений равновесия (в декартовых координатах, в обобщенных зависимых и независимых координатах), точно так же из общего уравнения динамики выводятся аналогичные формы дифференциальных уравнений движения несвободной системы. Уравнения эти получили наименование уравнений Лагранжа, так как были впервые опубликованы в Аналитической механике Лагранжа. [c.385]

Полагая при составлении дифференциальных уравнений малых движений обобщенные координаты (отсчитываемые от положения равновесия) и обобщенные скорости малыми величинами, ограничимся в дифференциальных уравнениях движения линейными членами. Этот прием, заключающийся в отбрасывании в нелинейных дифференциальных уравнениях членов, содержащих квадрат и более высокие степени обобщенных координат и скоростей, называется линеаризацией уравнений. Такая линеаризация, естесавенно, в известной мере искажает действительную картину движений, однако чем меньше отклонения системы от положения устойчивого равновесия, тем точнее будут описывать линеаризованные уравнения движение системы. Линеаризация дифференциальных уравнений позволяет получить замкнутое решение для таких систем, для которых нахождение интегралов точной. [c.585]

Выбираются такие параметры механизма, при которых последний уравновешивается. Зададим положение равновесия механизма в обобщенной координате с вертикалью сро. Тогда, внеся это значение угла в уравнение (II. 3), найщем [c.32]

Заметим, что радиус кривизны A = p os o нормального сечения поверхности и радиус геодезической кривизны p/sinO нити зависят не только от самой поверхности и положения точки Ш, но и от положения нити на поверхности (точнее, от направления касательной т к нити). Поэтому пользоваться этими уравнениями наиболее целесообразно в тех случаях, когда равновесное положение нити на поверхности известно (см. 7.2) или для общих выводов (см. пример 1). В тех л е случаях, когда требуется определить форму (уравнения) кривой равновесия нити на гладкой поверхности, лучше пользоваться дифференциальными уравнениями равновесия нити (1.4). Во многих случаях более полезными оказываются уравнения равновесия нити в обобщенных координатах (1.5.17) (при вычислении обобщенных сил нужно учесть, конечно, реакцию поверхности JV). [c.149]

Обобщенная проблема Пфаффа. При таких обстоятельствах естественно ожидать, что пфаффовы уравнения, содержащие время i с точкой обобщенного равновесия в начале координат, допускают формальное приведение к гамильтонову виду. Нетрудно доказать справедливость этого утверждения посредством небольшого изменения предыдущих рассуждений. [c.105]

Составить уравнения движения математического маятника массы т, подвешенного на упругой нити длина мнтн н положении равновесия I, ее жесткость равна с. Найти движение маятника для случая малых колебаний. В качсст.чс обобщенных координат взять угол ф отклонений маятника от вертикали и относительное удлинение нити г, [c.366]

В задачах этого типа рассматриваются малые колебания системы с одной (первая группа) или двумя (вторая группа) степенями свободы около положения устойчивого равновесия. В этих задачах положение усгойчивого равновесия следует принять за начало отсчета обобщенных координат и, далее, пользуясь уравнениями Лагранжа, составлять дифференциальные уравнения движения системы. [c.405]

Если в какой-то момент времени лагранжевы координаты равны их значениям в положении равновесия, а обобщенные скорости отсутствуют, то и в любой другой момент времени лагранжевы координаты будут в силу уравнений движения оставаться постоянными. Не уменьщая общности, можно принять, что в положении равновесия все лагранжевы координаты обращаются в нуль [c.569]

Решение. Система имеет одну степень свободы. За обобщенную координату примем угол ф, отсчитываемый от положения равновесия стержня О/Ц, против движения часовой стрелки. Связи системы, состоящие из пшрнироп, трение в которых пренебрежимо мало, следует считать идеальными. Для движения системы можно составить уравнение Лагранжа в форме [c.410]