Равновесие обобщенное

Рассмотрим основные свойства малых колебаний механических систем с одной и двумя степенями свободы на основе применения уравнений Лагранжа некоторые результаты для системы с любым, конечным числом степеней свободы приведем без вывода. Механическая система может совершать малые колебания только вблизи устойчивого положения равновесия. Обобщенные координаты системы в положении равновесия принимают равными нулю, т. е. отсчитывают их от положения равновесия. Тогда колебательным движением механической системы в общем случае считают всякое ее движение, при котором все обобщенные координаты или часть из них изменяются не монотонно, а имеют колебательный характер, т. е. принимают нулевые значения по крайней мере несколько раз. [c.384]

Как видно из равенств (16) и (17), в отличие от движения системы вблизи положения устойчивого равновесия, обобщенная координата q и обобщенная скорость q с ростом времени t могут принимать сколь угодно большие значения, а тогда становится несправедливым отбрасывание членов высших степеней в разложениях кинетической и потенциальной энергий и приведение уравнения движения к виду (15). Ввиду этого оговоримся, что для этого случая (с < 0) все последующее рассуждение относится к достаточно малым q и q, т. е. имеется лишь локальное значение для области, близкой к положению неустойчивого равновесия системы. [c.483]

Определим отклонение тела А от положения равновесия обобщенной координатой х. [c.144]

Предполагая, что эти уравнения определяют некоторое изолированное положение равновесия, обобщенные координаты 9ь Qi, , Qk выберем так, чтобы их значения в этом положении равновесия обращались в нуль. Предположим также ), что кинетическая энергия Т системы является однородной квадратичной формой от обобщенных скоростей, т. е. [c.367]

Будем считать, что в положении равновесия обобщенные координаты равны нулю [c.20]

По условию По = 0. Кроме того, в положении равновесия обобщенные силы равны нулю [c.231]

К звеньям механизма, помимо сил тяжести, могут быть приложены другие силы, которые, не будучи по своему характеру потенциальными, тем не менее в течение рассматриваемого интервала времени либо остаются постоянными по величине и направлению, либо изменяются сравнительно медленно ). Чтобы определить положение равновесия механизма, устанавливающееся в соответствии с воздействием этих сил, применим общее условие равновесия, согласно которому в положении равновесия обобщенный момент механизма равен нулю, [c.113]

Положение системы будем определять обобщенными координатами и ф4 звеньев, связанных со стойкой, отсчитываемыми от положения равновесия. Вблизи этого состояния равновесия обобщенные координаты и ф4 и обобщенные скорости и ф4 всегда малы но модулю [c.14]

В основе уравнения (1) лежат уравнения равновесия, обобщенный закон Гука для твердой и жидкой фаз [c.570]

Ляпунову принадлежит еще одна теорема о неустойчивости положения равновесия. Обобщение этих теорем дал Н. Г. Четаев (эти теоремы, а также доказательство сформулированной теоремы Ляпунова можно найти в курсах по устойчивости движения). [c.460]

Равенство Лагранжа 263, 272, 273 Равновесие обобщенное 161, 166 Рассеивающие системы 42 Региональная рекуррентность 195, 196 Регулярные системы 36 Рекуррентность региональная 195, 196 [c.406]

С другой стороны, в положении равновесия обобщенная сила трения удовлетворяет условию (6). Отсюда мы заключаем, что в положении равновесия системы должно быть [c.393]

Ограничимся рассмотрением линейных систем с одной степенью свободы, когда при малых отклонениях от положения равновесия обобщенная сила определяется выражением [c.171]

Уравнения (12.3) означают, что в положении равновесия обобщенные силы равны нулю В случае консервативных сил, когда и= и ф, положения равновесия согласно (12.4) суть стационарные точки силовой функции. [c.109]

Указание. За обобщенные координаты взять изменение заряда е и вертикальное перемещение якоря из положения равновесия Функцию L(k) разложить в ряд I. =/.(хо + I) = I-0-Ь 1 +. .. и ограничиться в этом ряду первыми двумя членами. [c.371]

Покажем, как определяется возможная работа внешних и внутренних сил, на примере плоской системы. Рассмотрим два состояния какой-либо системы, находящейся в равновесии (рис. 362). В состоянии а система деформируется обобщенной силой (рис. 362, а), в состоянии Ь — силой (рис. 362, б). [c.368]

Обобщенные нагрузки, обобщенные напряжения и их про изводные связаны друг с другом уравнениями равновесия. Если, например, вторично выбрать обобщенные напряжения для нашей балки так, как это было только что сделано, и использовать для них правило знаков, показанное на рис. 1.1, то уравнения равновесия примут вид [c.11]

Согласно принципу возможных перемещений необходимым и достаточным условием равновесия механической системы является равенство нулю суммы элементарных работ всех активных сил (и сил трения если они совершают работу) на любом возможном перемещении системы, т. е. условие В обобщенных коорди- [c.375]

Допустим, что консервативная механическая система, состоящая из п материальных точек и имеющая одну степень свободы, находится в некотором положении в устойчивом равновесии. Исследуем, какое движение будет совершать эта система, если ее вывести из равновесия малым возмущением. Условимся опять определять положение системы обобщенной координатой q, выбранной так, что при равновесии равновесие устойчиво, а возмущения малы, то координата q и обобщенная скорость q будут во все время движения тоже оставаться величинами малыми. Для составления дифференциального уравнения движения системы воспользуемся уравнением Лагранжа, которое, если выразить обобщенную силу Q через потенциальную энергию системы,П [(см. 143, формулы (115)], примет вид [c.389]

Пусть положение системы определяется обобщенными координатами и при Qi=q =0 система находится в устойчивом равновесии. Тогда кинетическую и потенциальную энергии системы с точностью до квадратов малых величин можно найти так же, как были найдены равенства (132), (133), и представить в виде [c.394]

Взаимодействие шлаковой фазы с металлом полностью зависит от ее состава, обычно сложного, и температуры. Равновесие между компонентами шлаковой и металлической фаз и возможность возникновения окислительно-восстановительных процессов определяются обобщенно законом распределения (см. п. 8.4). Активное взаимодействие шлака и металла при высоких температурах сварочного процесса приводит к изменению состава металла шва и это необходимо учитывать при разработке технологии сварки. [c.349]

Решение. Вследствие геометрической структуры и наложенных связей, положение системы в вертикальной плоскости определяется, очевидно, двумя углами Q и ф, образуе.мымн стержнями ОА и ОС с вертикалью (рпс. 257). Условием равновесия системы является равенство нулю суммы элементарных работ активных сил (при идеальных связях) на любом возможном перемещении системы из положения равновесия. Обобщенными координатами системы являются qi = Э, = ф возможные перемещения системы выражаются их произвольными ыалы ми приращениями fio, бф. [c.339]

Обобщенное выражение для определения равновесия пар — жидкость может быть значительно упрощено, если принять, что каждая фаза — идеальный раствор. В этом случае уравнение (8-62) может быть кспользсвано для вычисления фугитивиссти компонента в смеси исходя из фугитивности чистого компонента при температуре и давлении раствора и его мольной доли в растворе [c.277]

Составить уравнения движения математического маятника массы т, подвешенного на упругой нити длина мнтн н положении равновесия I, ее жесткость равна с. Найти движение маятника для случая малых колебаний. В качсст.чс обобщенных координат взять угол ф отклонений маятника от вертикали и относительное удлинение нити г, [c.366]

I (ф,) и кривоншпа ОА (ф), отсчитываемые ог каких-либо фиксированных положений УТИХ тел. По условиям равновесия системы обобщен[1ыс силы, oriie einiwe к тгим координатам, равны пулю, т. е. =0 6 = 0. [c.398]

Таким образом, по Ляпунову, положение равновесия считается устойчивым, если можно задать достаточно малую область измеч1ения начальных значений обобщенных координат в окрестности положения рав1ювесия и область начальных обобщенных скоростей, для которых величины обобщенных координат при последуюн ем движении системы ограничены заданной е окрестностью вблизи положения равновесия. Ясно, что области начальных значений и определяемые [c.421]

В позюжении равновесия механической системы каждая обобнденная сила Q- равна нулю. Для случая потенциального силового поля обобщенные силы через гютенциальную энергию вычисляются по формулам [c.421]

Докажем сначала теорему для системы с одной степенью свободы, допускающую наглядную геометрическую интерпретацию. Потенциальная энергия системы с одной степенью свободы для стационарного силового 1юля зависит только от одной обобщенной координагы q, равной нулю в положении равновесия. Примем потенциальную энергию в этом положении равной нулю, т. е. Я(0) = 0. По ус1ювию теоремы в положении равновесия потенциальная энергия имеет изолированный относительный минимум, i. е. /7 1п = Я(0) = 0, и функция U = n(q) в малой окрестности =0, принимая только положительные значения, является возрастающей функцией ц, т. е. имеет вид, представленный на рис. 108. [c.422]

Равновесие консервативной системы неустойчиво, если потеп1щальпая энергия системы в положении равновесия не имеет минимума и отсутствие минимума определяется слагаемыми второго порядка малости в разложении потенциальной энергии в ряд по степеням обобщенных координат. [c.425]

Равновесие консервативной системы неустойчиво, если гют енциальная энергия системы в положении равновесия имеет максимум и наличие максимума определяется членами наименьшего порядка малости в разложении потенциальной энергии в ряд по сгепеням обобщенных координат. [c.425]

Потенциальную энергию /7 в положении равновесия при q = Q примем равной нулю. Величина [dTlldq)Q есть значение обобщенной силы Q в положении равновесия системы, равное нулю. [c.427]

Величину А считают положительной и называют амплитудой колебаний. Она определяет наибольшее отклонение обобтненной координаты от положения равновесия, соотвег-ствуюгцего значению q = Q. Обобщенная координата с/ изменяется в пределах от +А до —А. [c.430]

Таким образом, для равновесия механической системы необхо- j димо и достаточно, чтобы все обобщенные силы, соответствующие j выбранным dAs системы обобщенным координатам, были равны нулю. Число условий равновесия (117) равно, как видим, числу обобщенных коордикат, т. е. числу степеней свободы системы. [c.375]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...