Метод наиболее вероятного распределения

МЕТОД НАИБОЛЕЕ ВЕРОЯТНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ [c.165]

В качестве поучительной альтернативы мы приведем здесь более традиционный, более короткий, но лишь на первый взгляд более простой вывод канонического распределения, основанный на так называемом методе наиболее вероятного распределения. [c.165]

Фиг. 4.П.1. Схематическое изображение вселенной ДЛЯ иллюстрации метода наиболее вероятного распределения.

О (0) способов реализации наиболее вероятного состояния при очень больших N. Сделать то же для соответствуюш,их энтропий и использовать результат для обсуждения важнейших свойств метода наиболее вероятного распределения для данного случая. [c.71]

Метод наиболее вероятного распределения [c.89]

Предложенный здесь вывод распределения Максвелла — Больцмана никак не связан с данным ранее выводом, основанным на уравнении переноса Больцмана. Ни один из этих выводов не является строгим. В настоящем выводе сделаны предположения, которые мы не доказали, а в более раннем использовалось предположение о молекулярном хаосе, которое осталось недоказанным и не связано с использованными здесь предположениями. Настоящий способ вывода распределения Максвелла — Больцмана представляется более удовлетворительным, поскольку он яснее показывает статистическую природу этого распределения. Однако метод наиболее вероятного распределения не дает информации о неравновесном состоянии газа, в то время как уравнение переноса Больцмана позволяет получить ее. Следовательно, основная ценность уравнения Больцмана состоит в возможности его применения для описания неравновесных явлений. [c.99]

Напомним, что процесс приближения к равновесию, как следует из кинетической теории газов, оказывается довольно сложным, но само равновесное состояние просто, оно характеризуется распределением Максвелла — Больцмана. При этом распределение Максвелла — Больцмана может быть получено простым путем независимо от специфики молекулярных взаимодействий. Можно надеяться, что незначительное обобщение использованного метода — метода наиболее вероятного распределения — позволит нам исследовать равновесное состояние нр только разреженного газа, но и любой макроскопической системы. Это действительно так. Таким обобщением и является классическая статистическая механика. [c.157]

Прибегая вновь к методу множителей Лагранжа для отыскания наиболее вероятного распределения, приравняем нулю производные по М,- величины Ф = о + (а+ 1)Ы — [c.186]

Найдем теперь наиболее вероятное распределение молекул по ячейкам, т. е. определим максимум функции с учетом условия (124). Для этого воспользуемся методом неопределенных коэффициентов Лагранжа и заметим [c.323]

О статистических методах обработки результатов испытаний. Результаты испытания на надежность при достаточном числе данных обрабатываются методами математической статистики. Характеристики надежности изделия получают по полной выборке — если известна наработка (срок службы) до отказа для всех испытываемых изделий (все реализации являются полными), или п6 сокращенной выборке (когда имеются полные и условные реализации). При этом в зависимости от поставленной задачи (например, надо или нет оценивать надежность изделия при значениях ресурса, больших, чем установленное ТУ), от объема и качества статистических данных, полученных при испытании, могут применяться различные варианты статистической обработки результатов. Если нет необходимости (или возможности) в определении вида закона распределения сроков службы (наработки) до отказа, то оценивается вероятность безотказной работы изделия для фиксированного значения t = Т, т. е. точечная оценка (см. выше). Если из построения модели отказа известен вид функции распределения / (/), то по результатам испытания определяются параметры этой функции. При неизвестном законе распределения на основании опытных данных строят гистограмму или полигон распределения и высказывается гипотеза о применимости того или иного закона распределения. Для подбора теоретического распределения, достаточно близко подходящего к полученному эмпирическому, часто применяют метод наименьших квадратов и метод максимума правдоподобия [183]. В инженерной практике также широко применяются графические методы выявления закона распределения с применением вероятностной бумаги , на которой нанесена специальная сетка для наиболее распространенных законов распределения [186]. [c.500]

На стадии зарождения этот метод будет давать распределение напряжений и деформаций у концентратора, позволяя оценить уровень упрочнения. На стадии развития метод дает оценку напряженно-деформированного состояния при последовательном росте трещины и, как следствие, соответствующие значения скорости роста по наиболее вероятным направлениям. [c.277]

Метод максимального правдоподобия. Оценивание параметров оператора рассматривается как задача исследования условного распределения вероятностей наблюдений и = (х , у ) относительно вектора параметров с. В качестве оценок выбирают такие значения параметров, которые являются наиболее вероятными при наблюдениях и, В связи с этим функция Q (с) имеет вид [c.351]

При математическом моделировании стохастических систем (статистические системы с так называемым нормальным — гауссовским — распределением) обычно применяют методы статистического анализа, в которых наиболее вероятным значением случайных величин служит средняя арифметическая величина, а мерой рассеяния— дисперсия или квадратичное отклонение от средней арифметической. [c.11]

Основной физический постулат, на котором основан весь дальнейший вывод, заключается в том, что наиболее вероятное состояние реальной системы (одного экземпляра ансамбля), в котором она проводит подавляющую часть времени, можно отождествить с чаще всего встречающимся распределением экземпляров ансамбля. В соответствии с этим постулатом мы должны исследовать на максимум выражение (63.1) (фактически это удобнее сделать для выражения а = п1У) с учетом дополнительных условий (63.2) — (63.5). Используя метод множителей Лагранжа и применяя формулу Стирлинга, мы ищем максимум выражения [c.314]

Если число уравнений превышает число неизвестных, то полученную систему решают методом наименьших квадратов (МНК) и находят оценки х и и их СКО. Доверительные интервалы для истинных значений X и j строят на основе распределения Стьюдента. При нормальном распределении погрешностей МНК приводит к наиболее вероятным оценкам, удовлетворяюш,им принципу максимума правдоподобия. [c.86]

Математическое описание случайных величин в теории надежности осуществляется методами теории вероятностей и математической статистики. Универсальной вероятностной характеристикой случайной величины является закон ее распределения. Используются также числовые характеристики случайной величины, выражающие наиболее существенные особенности ее распределения. Статистическая оценка единичных показателей безотказности и долговечности проводится на основе модели эксплуатации (испытания) невосстанавливаемых объектов. Далее рассматриваются единичные показатели надежности и их связь с характеристиками случайных величин. [c.38]

Определение статических характеристик статистическими методами. Исходные данные получают в результате наблюдения и регистрации случайно изменяющихся входных и выходных переменных в процессе нормальной эксплуатации исследуемого объекта (пассивный эксперимент). По результатам наблюдений строят корреляционное поле (рис. 7.51). Зависимость математического ожидания величины у, рассчитанного по условному закону распределения р(у х) (плотность распределения у при условии, что входная переменная имеет фиксированное значение), от значения X называется кривой регрессии у по х. Кривая f(x) характеризует влияние изменений х на среднее (наиболее вероятное) значение у. Для успешного применения метода с целью исследования статики инерционного объекта требуется большой объем исходной информации статистические характери- [c.549]

Как указывалось ранее, точность метода моментов определяется правильностью выбора формы функции распределения. Описанная формальная процедура дает возможность для каждой конкретной задачи отыскать наиболее вероятную при заданных определяющих задачу макроскопических параметрах функцию распределения. Однако формальное применение метода сразу же наталкивается на известные трудности. [c.233]

Неточность обработки поверхностей обрабатываемых заготовок является ре-зультатом влияния различных факторов, которые вызывают погрешности. Теорией и практикой технологии машиностроения установлено, что действие этих факторов характеризуется полем рассеивания размеров и законом распределения размеров (кривая распределения и характеризующие ее параметры). На основании этого закона при решении практических задач, касающихся точности обрабатываемых заготовок, применяют методы, рекомендуемые математической статистикой и теорией вероятности. Пользуясь этими методами, можно расчетно-аналитическим путем определить наиболее вероятные значения размеров обрабатываемой заготовки при данных условиях обработки. [c.27]

При изготовлении партии деталей неизбежно происходит рассеяние их размеров. Поэтому результат измерения конкретной детали является случайной величиной. Вследствие этого для обработки результатов измерений используют методы теории вероятностей и математической статистики, позволяющие находить статистические параметры эмпирического распределения, а также устанавливать параметры теоретического распределения, которое наиболее близко соответствует исследуемому эмпирическому распределению. [c.500]

Выражение (А.З) можно исследовать методом наиболее вероятного распределения с помошью выражений (А.1), (А.2), (А.4) и (А.5). Приравнивая к нулю производные д 1п Р/дК и 5 1п Р/дп, получаем систему из двух уравнений, решение которой соответствует наилучшему приближению к состоянию термодинамического равновесия [c.227]

Сделаем в заключение этого параграфа следуюшее замечание. Вывод распределений Бозе - Эйнштейна и Ферми - Дирака методом яши-ков и ячеек предполагает, что в ходе процесса установления термодинамического равновесия частицы могут менять энергию, переходя из яшика в яшик. В противном случае любое начальное неравновесное распределение частиц в //-пространстве оставалось бы неизменным и не релаксировало бы к равновесному состоянию, а процедура максимизации In W не имела бы смысла. Очевидно, возможность переходов частиц из яшика в яшик возникает благодаря взаимодействию частиц с окружаюшей средой (друг с другом частицы не взаимодействуют). Эта окружаюшая среда обязана быть термостатом (Т = onst) с непроницаемыми (N = onst) стенками. Это следует из того, что при выводе статистических распределений мы считаем фиксированными полное число частиц N я полную энергию U, которая при фиксированном N зависит для идеального газа только от температуры. Таким образом, распределения Бозе - Эйнштейна и Ферми - Дирака, а также распределение Максвелла - Больцмана, которое мы получим в следуюшем параграфе, представляют собой наиболее вероятные распределения частиц идеального газа в //-пространстве при условии, что этот газ помешен в термостат. [c.184]

Приведенное затруднение устраняется, если учесть, что обращение направления скоростей всех атомов макроскопически удаляет систему от равновесного состояния, как наиболее вероятного. Временная эволюция газа в этом случае определяется не уравнением Больцмана, а другим кинетическим уравнением, которое, как и уравнение Больцмана, может быть получено методом неравновесных функций распределения Боголюбова. Этот вопрос, а также рещение парадокса возврата Цермело мы обсудим в следующем параграфе. А сейчас обратимся к статистическому выражению для энтропии неравновесной системы. [c.123]

Кинематические цепи в отличие от размерных характеризуют векторным видом погрешностей. Основой математически обоснованного метода расчета случайных погрешностей размерных и кинематических цепей является суммирование в соответствии с правилами теории погрешностей независимых составляющих погрешности конечного звена цепи, т. е. отклонение размера замыкающего звена размерной цепи или положения ведомого звена кинематической цепи. При этом отклонения в размерах деталей в пределах допусков изготовления подчиняются законам распределения случайных величин погрешностей и должны суммироваться согласно формулам теории вероятностей. Величины, характеризующие центры группирования (наиболее вероятные иогрешности), должны суммироваться алгебраически, например 222 [c.222]

Распределение Бозе — Эйнштейна можно получить и др. методом, если рассматривать статистически равновесное состояние квантового газа как наиболее вероятное состояние и с помощью комбинаторики, учитывая неразличимость частиц, найти тех модинамичо-скую вероятность (статистический еес) такого состояния, т. е, число способов реализации данного состояния газа и заданной энергией S и числом частиц N. Для больших систем, когда N велико, уровни знергии расположены очень плотно и стремятся к непрерывному распределению при стремлении числа частиц и объёма системы к бесконечности. Пусть уровни сгруппированы по малым ячейкам, содержащим С,- уровней в ячейке, число Gf предполагается очень большим. Каждой г-й ячейке соответствует средняя энергия S,- и число частиц N,-. Состояние системы определяется набором чисел Nj, где Л / — сумма п по уровням ячейки. Для Б,— Э. с. [c.220]

В. И. Данилов, А. В. Скрышевский, А. В. Романова [19, с. 207—216] применили метод интегрального анализа кривых интенсивности водных растворов NaOH и КОН. Этот метод позволяет определить количественные характеристики молекулярной структуры водных растворов. Указанные данные подтвердили качественные результаты, полученные в работе [19, с. 171—178]. Для водных растворов NaOH в первом приближении было принято (по оценке величины площадей под первыми максимумами кривых атомного распределения), что все рассеивающие центры (Na+, 0Н , НгО) обладают одинаковой рассеивающей способностью. Наиболее вероятное расстояние между соседними рассеивающими центрами Na+, 0Н , Н2О зависит от концентрации раствора. С повышением такой концентрации расстояние между рассеивающими центрами уменьшается, что [c.16]

Метод с использованием точки перегиба невыгоден тем, что для получения всех величин т необходимо иметь почти полные кривые ползучести или упругого последействия. Вероятно, более правильные значения т можно получить из анализа, который предполагает определенную форму спектра времен релаксации. Так называемая логарифмически нормальная форма распределения, предложенная Новиком и Берри [6, 7], обладает важным достоинством в том отношении, что она выбрана на основании приемлемой физической модели. При логарифмически нормальном распределении предполагается, что интенсивность релаксации имеет гауссовское распределение в зависимости от логарифма времени около наиболее вероятного времени релаксации Тт. Новик и Берри показали, что эта форма распределения точно соответствует данным по зинеровской релаксации для сплавов Ag—Zn. Так как для исследованных сплавов ширина релаксационного спектра относительно узка, то в пределах точности эксперимента опытным данным соответствуют и другие спектры времен релаксации. Единственным дополнительным параметром, введенным в логарифмически нормальное распределение времен релаксации, является величина р — полуширина спектра в точке, соответствующей 1/е максимальной его величины. Для данной величины р неупругая деформация при ползучести зависит только от tfxrn> Эта функциональная зависимость была табулирована [G] так, что если известно то Тт может быть легко получена из опытов по релаксации. Этот метод анализа был успешно использован для нахождения временной зависимости Тт [8], Для справедливости этого метода необходимо, чтобы форма спектра времен релаксации оставалась постоянной при изменении Тт со временем. Таким образом, этот метод применим только тогда, когда отклонение от равновесия невелико так, что в металле имеется небольшой градиент концентрации вакансий. [c.360]

Закон равной вероятности получения размеров заготовок, обрабатываемых в одной партии, показывают, что при выбранном методе обработки и оборудования размер зависит только от одного из факто-ров, например от износа режущего инструмента. Если износ инструмента при этом нарастает во времени по прямолинейному закону, размер обрабатываемой заготовки изменяется также строго постоянно, увеличиваясь или уменьшаясь (рис. 9, а). Однако это возможно, если действия всех остальных факторов несущественны и не влияют на изменение размеров заготовок. Если жесткость системы СПИД недостаточна и в связи с износом элементов системы появляется дополнительная деформация системы, то размер заготовки может изменяться во времени уже по другому закону. Суммарное действие этих двух факторов увеличивает де( рмацни системы СПИД, и тогда закон распределения размера обработанных заготовок получает ( рму треугольника по закону Симпсона (рис. 9, б). Если влияние всех факторов в процессе обработки заготовок одинаково и ни один из них не является ярко выраженным, получение точного, наперед заданного размера в данный момент времени при изготовлении данной партии заготовок не может быть обеспе 1ено. Однако при этом представляется возможным установить наиболее вероятный ожидаемый размер заготовок в данной партии по закону Гаусса (рис. 9, в). Этот размер располагается в середине поля рассеивания, которое и характеризует технологический. процесс, выбранный для обеспечения заданного размера, [c.28]

На основании этих работ можно было считать, что техниче- ская протаость обрааца стекла определяется главным образом 1 количеством и разме )ами треш,ин, имеющихся на его поверхности. 4 В собтвётствии с этим была разработана статистическая теория прочности стекла, которая позволяла рассчитать наиболее вероятную прочность в зависимости от размера образца и кривой распределения трещин на нем на основании измерения прочности по методам растяжения и изгиба. [c.22]

На основании методов статистической физики можно показать, что если имеется большое количество независимых плоскополяри-зованных гармонических колебаний одинаковой частоты, то наиболее вероятно такое распределение осцилляторов, при котором число их с энергией, находящейся в промежутке между Е и Е+йЕ, есть [c.147]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...