ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Исследование устойчивости периодических движений из "Небесная механика Аналитические и качественные методыИзд.2 " Поэтому для случая периодических движений ) задачу об устойчивости Ляпунов ставит несколько иным, более общим образом. [c.386] А именно, следуя Ляпунову, мы будем считать периодическое лагранжево движение устойчивым, когда после всяких сколь угодно малых численно начальных возмущений треугольник М МхМг) всегда бесконечно мало отличается от равностороннего, причем стороны его изменяются между пределами, бесконечно мало отличающимися от прежних. [c.386] Иными словами, будем рассматривать задачу об орбитальной устойчивости периодического лагранжева движения, так как при новой постановке вопроса орбиты двух точек М. и Мг относительно Мо в возмущенном движении будут сколь угодно мало отличаться от орбит этих точек в невозмущенном движении, хотя возмущенные и невозмущенные положения точек (и скорости, разумеется ) вовсе не будут оставаться близкими во всякий момент времени. [c.386] Для решения вопроса об устойчивости в этом смысле мы можем сравнивать возмущенное движение не с первоначальным невозмущенным движением, а с каким-либо другим периодическим лагранжевым движением, в котором постоянные g и h имеют значения, бесконечно мало отличающиеся от соответствующих значений в первоначальном невозмущенном движении. [c.386] А такая постановка вопроса равносильна предположению, что f = г = О, откуда следует, что решение задачи зависит теперь исключительно от задачи об устойчивости нулевого решения системы (8.86 ). [c.386] Поэтому функции и У будут оставаться ограниченными при произвольных начальных условиях и нулевое решение системы (8.94) будет устойчивым, если модули всех корней уравнения (8.96) равны или меньше единицы. [c.387] В случае кратных корней получатся еще дополнительные условия, если только они возможны, состоящие в том, чтобы кратный корень обращал в нуль все миноры определителя 0(д) до известного порядка. [c.387] К сожалению, задача о составлении определителя 0(д) настолько трудна, что можно дать способы только для приближенного вычисления его элементов, или инвариантов. [c.387] КНИГИ была доказана важная теорема Ляпунова, утверждающая, что характеристичное уравнение канонической системы с периодическими коэффициентами всегда является возвратным. [c.388] Так как каждому корню q уравнения (8.98) соответствует корень 1/ 7, то если среди корней этого уравнения имеются такие, модули которых не равны единице, то нулевое решение системы (8.94) будет заведомо неустойчивым. [c.388] Поэтому необходимым условием для устойчивости этого нулевого решения, а вместе с тем и периодического лагранжева решения в указанном смысле является условие, чтобы модули всех корней уравнения (8.98) были равны единице. [c.388] Найдем условия, которым должны удовлетворять для этого коэффициенты Л и Б. [c.388] При этих условиях корни уравнения (8.99) вещественны, различны и по числовым значениям меньше единицы, а потому корни уравнения (8.98) различны и имеют модули, равные единице. [c.389] В предельных случаях неравенств (8.100) получается следующее. [c.389] При В = 3 должно быть = 4 и оба корня уравнения (8.99) равны либо - -1, либо —1, а следовательно, все четыре корня уравнения (8.98) равны также либо - -1, либо —1. [c.389] При В = — 1 должно быть Л = О, а поэтому один корень уравнения (8.99) равен - -1, а другой —1, и, следовательно, два корня уравнения (8.98) равны - 1, а два остальных равны —1. [c.389] При Л2 = 2(В—1) корни уравнения (8.99) равны, будут вообще отличными от 1, и следовательно, уравнение (8.98) имеет две пары равных корней, вообще отличных от 1. [c.389] В непредельных случаях условий (8.100) нулевое решение системы (8.94), несомненно, устойчиво, а поэтому невозмущенное лагранжево движение будет устойчиво, по крайней мере в первом приближении. [c.389] Предельные случаи требуют еще дополнительных исследований, которых мы касаться не будем. [c.389] Вся наша задача приводится теперь к вычислению инва-риантов Л и В и проверке условий (8.100). [c.389] Вернуться к основной статье