Линейно-упругий закон или закон Гука

Линейно-упругий закон или закон Гука [c.54]

Рассмотрим работу силы тяжести и линейной силы упругости, изменяющейся по закону Гука, н вычисление работы силы, приложенной к какой-либо точке твердого тела в различных случаях его движения. В качестве простейших примеров движения укажем случаи, когда работа равна нулю. Так, работа любой силы равна нулю, если она приложена все время в неподвижной точке или в точках, скорость которых равна нулю, как, например, в случае, когда сила все время приложена в мгновенном центре скоростей при плоском движении тела или все время в точках, лежащих на мгновенной оси вращения, в случае вращения тела вокруг неподвижной точки. Эти случаи возможны в задачах, когда рассматривают работу силы трения в точке соприкосновения двух тел при отсутствии скольжения одного тела по другому. При этом работа силы трения равна нулю. [c.315]

Необходимо заметить, что теорема взаимности Бетти по своей сути связывает решение двух различных краевых задач для одной и той же области. Она является следствием линейности уравнений равновесия и закона Гука- Само фундаментальное решение, которое базируется на рассмотрении задачи о сосредоточенной силе в бесконечной упругой среде, может быть интерпретировано как функция Грина для бесконечно упругой среды или функции влияния. [c.52]

В качестве первого примера рассмотрим случай линейного упрочнения отдельных волокон, имеющих разные пределы пропорциональности Ое, но одинаковые модули упругости Е и упрочнения к. За параметр а здесь можно принять отношение Од/Е, т. е. считать = = Еа. При монотонном растяжении волокон имеем последовательно упругое деформирование по закону Гука а = Ее, пока е < а, или, что то же, при а < О5. И далее, если > а, то наступает упрочнение по закону а = Еа + Н(е — а). Для статистически среднего напряжения получаем выражение [c.389]

Линейной силой упругости, или линейной восстанавливающей силой, называют силу, действующую по закону Гука (рис. 233) [c.289]

Работа линейной силы упругости. Линейной силой упругости (или линейной восстанавливающей силой) называют силу, действующую по закону Гука (рис. 63) [c.316]

Р. Гук (1635—1703) опубликовал закон линейной упругости в 1678 г. в работе О восстановительной способности или об упругости и сформулировал его так Какова сила — таково растяжение . Тот же закон был независимо открыт Э. Мариоттом в 1680 г. [c.34]

Теперь наша задача будет состоять в том, чтобы установить закон пластичности при сложном напряженном состоянии. Вспомним сначала, как был получен закон Гука для сложного напряженного состояния. Для изотропного материала опыт на растяжение одного единственного образца дает всю необходимую информацию об упругих свойствах. Для этого нужно измерить продольное удлинение и поперечное сужение. Напряжение, поделенное на продольное удлинение, есть модуль упругости Е] отношение поперечного сужения к продольному удлинению есть коэффициент Пуассона .i. Из линейных соотношений вытекает принцип суперпозиции или принцип независимости действия сил. Пользуясь этим принципом, мы построили обобщенный закон Гука для сложного напряженного состояния. [c.51]

Развитие техники за последние десятилетия связано с применением новых материалов и широким использованием в конструкциях различного рода гибких элементов и вызвало необходимость решения задач, которые являются предметом нелинейной теории упругости. Эти задачи могут быть либо геометрически нелинейными (когда тела не обладают достаточной жесткостью, например гибкие стержни), либо физически нелинейными (когда тела не подчиняются закону Гука), а также геометрически и физически нелинейными (когда детали изготовлены из резины или некоторых пластмасс). Во всех этих задачах непременными свойствами модели являются сплошность и идеальная упругость, а возможность других свойств, конкретизирующих ее, определяется особенностями абстрагируемого твердого тела. Нелинейная теория упругости, таким образом, имеет еще более общий характер и решает весьма широкий круг задач, постоянно и неизбежно выдвигаемых современной техникой. Это не принижает фундаментального значения линейной теории упругости и не обязывает получать зависимости последней как частный случай значительно более сложных соотношений нелинейной теории упругости. Напротив, познания теории упругости должны начинаться с изучения исторически первой и наиболее разработанной линейной теории упругости, которая в этом отношении должна носить как бы пропедевтический характер. [c.5]

Если материал вполне упругий, то после разгрузки длина образца полностью восстанавливается, независимо от того, линейна или нелинейна его характеристика. Таким образом нелинейность зависимости а = а(в) и существенные отклонения от закона Гука в принципе не обязательно означают, что материал неупругий — материал может вести себя упруго, оставаясь нелинейно деформируемым. [c.136]

Ри (Лг), на диаграмме имеется участок A A, соответствующий закону Гука, или линейной теории упругости. [c.411]

В большинстве случаев зависимость между силой F и упру гой деформацией х в соответствии с законом Гука для метал лов принимается линейной (прямая / на рис. 55, а), т. е. коэффициент жесткости с считается постоянной величиной. Однако для резины коэффициент жесткости возрастает с увеличением силы F, и тогда характеристика F x) называется жесткой (кривая 2 на рис. 55, а). Такую же характеристику имеют упругие силы, действующие на элементы высших пар, так как при точечном или линейном контакте рабочих поверхностей контактная жесткость возрастает с ростом нагрузки. Мягкую характеристику (кривая 3 на рис. 55, а) часто имеют звенья, выполненные из полимеров. Кроме того, иногда для получения требуемых динамических характеристик вводят в состав механизма специальные демпфирующие устройства и конические пружины с нелинейными характеристиками типа кривых 2 я 3. [c.187]

В свете сказанного становится правомерным наряду с силовым рассматривать и температурное воздействие. Температурная деформация пропорциональна изменению температуры. Если материал подчиняется закону Гука и при нагреве не возникает пластических деформаций, то в приведенных вьппе рассуждениях под или Pj или под тем и другим вместе можно понимать температуры или, точнее говоря, температурные поля. Естественно, это верно до таких значений температур, при которых модуль упругости Е может считаться не зависящим от температуры, как до этого он считался независимым от сил. Точно так же и коэффициент линейного расширения а предполагается не зависящим от напряжений и температуры. [c.57]

Вид функции с (х) в первую очередь определяется материалом и конструктивными особенностями упругого элемента. Например, в рабочем диапазоне напряжений металлы обычно подчиняются закону Гука, в то время как для резины более свойственна жесткая характеристика, а для многих полимеров — мягкая. Однако и в металлических деталях возможно возникновение нелинейных восстанавливающих сил. В частности, это имеет место при точечном или линейном контакте двух рабочих поверхностей, что характерно для высших кинематических пар. В этом случае контактная жесткость возрастает с ростом нагрузки. Такая же характеристика строго говоря свойственна и обычным шарнирам при использовании подшипников качения. Нередко с целью получения требуемых нелинейных характеристик в машинах применяются специальные устройства, например конические пружины, у которых числа рабочих витков зависят от нагрузки, нелинейные муфты и т. п. [12, 13, 181. [c.33]

Мерой перемещений внутри тел в каждой точке являются относительные деформации при нормальных напряжениях (растяжение-сжатие) е = х/1, при касательных (кручение) Y Поэтому элементарные силы линейного внутреннего трения предполагаются пропорциональными их скоростям е или у. Обычно они добавляются к силам упругости по закону Гука [c.82]

Здесь е—относительная деформация стержня, Е — коэффициент пропорциональности (так называемый модуль упругих напряжений, или модуль Юнга). В соответствии с законом Гука относительная деформация стержня линейно связана с напряжением, действующим на стержень. [c.204]

В классической линейной теории упругости рассматривают обычно изотропное тело, упругие свойства которого одинаковы по всем направлениям. В этом случае при одноосном растяжении или сжатии независимо от направления закон Гука, связываюш,ий напряжения и деформации, имеет вид [c.6]

Рассмотрим линейно упругую одномерную систему. Соотношения упругости записываются в виде закона Гука (3.18) или с учетом (3.44) в виде [c.88]

На вопросах устойчивости равновесия подробнее остановимся в следующем параграфе, а сейчас только подчеркнем, что принцип минимума полной потенциальной энергии охватывает все консервативные системы, как линейные, так и нелинейные. Нелинейности в консервативных системах могут быть геометрические и физические. Геометрические нелинейности обычно связаны с большими перемещениями тонкостенных систем типа стержней, мембран или оболочек. Физические нелинейности проявляются в тех случаях, когда материал не подчиняется закону Гука, а обладает более сложными упругими свойствами. [c.24]

В третьей группе шести уравнений формулируется закон состояния линейно-упругого тела. Для изотропного тела и в изотермическом или адиабатическом процессах этот закон —обобщенный закон Гука — записывается в форме [c.124]

Упругий потенциал и тензор упругости. Закон Гука, или закон линейной упругости (2.5), можно рассматривать как следствие предположения о существовании упругого потенциала и (потенциальной энергии упругой деформации, отнесенной к единице объема). Величину упругого потенциала и можно представить в виде квадратичной функции компонент напряжений [c.33]

Классическая теория упругости основана на обобщении закона Гука, который вначале был сформулирован для пружины или пружинящего тела . Так называемый обобщенный закон Гука устанавливает, что в каждой точке линейно-упругого трехмерного тела шесть компонент тензора напряжений = ji линейно связаны с шестью компонентами тензора деформаций = e . Постоянные, связывающие компоненты напряжений и деформаций, характеризуют упругие свойства тела. Пока предположим, что эти свойства не зависят как от положения, так и от ориентации, т. е. будем считать, что тело однородно и изотропно. Некоторые аспекты линейной теории упругости для однородных анизотропных тел будут рассмотрены в дальнейшем. [c.23]

При изгибе балок за пределом пропорциональности или в случаях, когда их материал не следует закону Гука при упругих деформациях, напряжения в продольных волокнах не будут более пропорциональны продольным деформациям, и распределение напряжений не будет теперь следовать линейному закону. Допущение Якоба Бернулли о том, что при изгибе поперечные сечения оста- [c.582]

Величина х называется модулем объемной упругости или просто объемной упругостью. Применимость закона Гука, т. е. линейность зависимости деформации от напряжения, является существенным допущением при выводе волнового уравнения. [c.12]

К описанию механического поведения непрерывной среды применимы все соотношения, рассмотренные в разделах 1.2.1—1.2.4. Вместе с тем реальные среды по-разному реагируют на одно и то же внешнее механическое воздействие. Эта реакция, или механическое поведение среды, определяется ее молекулярной структурой и состоянием при заданных внешних условиях. Обобщенные характеристики конкретных сред носят название уравнений состояния [16] ( onstitutive equations) [7] или определяющих уравнений входящие в них константы являются характеристиками механических свойств среды. Примерами простейших уравнений состояния идеализированных сред служат изотермические линейные законы деформирования упругих твердых тел (закон Гука) и вязких жидкостей (закон Ньютона). [c.23]

Предположим, что из тех или иных соображений заданы геометрия стержневой системы и нагрузка на нее. Пусть материал стержней линейно упругий, т. е. подчиняющийся закону Гука, а возникающие в системе перемещения малы. Такие системы называются линейно деформируемыми. Известно, что к расчету таких систем применим принцип Е[езависимости действия сил, согласно которому результат воздействия ряда нагрузок различной природы можно рассматривать как сумму результатов воздействия каждой из нагрузок в отдельности. [c.79]

В теории упругости термин чистый изгиб призматического бруса подразумевает такую деформацию, при которой, кроме условий (12.1), имеет место строго определенное распределение на торцах поверхностной нагрузки, статическим эквивалентом которой являются моменты Ш, а именно распределение этой нагрузки по линейному — в зависимости от у (или х) — закону, если чистый изгиб происходит в плоскости Оуг Охг). При этом во всем брусе отсутствуют не только поперечные и продольные силы и крутящий момент, но и самоуравновешенные в пределах поперечного сечения напряжения, в том числе касательные напряжения, д следовательно, если учесть закон Гука, то отсутствуют и сдвиги. [c.97]

При описании механических свойств материалов принято различать два основных вида деформации упругую и пластическую. Упругая деформация обратима, т. е. она исчезает либо одновременно со снятием напряжения, либо постепенно во время отдыха материала после paзгpyз и (это явление называют также возвратом или обратной ползучестью). Пластическая деформация необратима, т. е. она не исчезает после снятия напряжения. Если упругая или пластическая деформация связана с напряжением вне зависимости от временных характеристик процесса нагружения, то такую деформацию называют мгновенно-упругой или соответственно мгновенно-пластической. Простейшим примером закона мгновенноупругого деформирования является линейный закон Гука. В более сложном случае, когда соотношение, связывающее деформацию с напряжением, включает в качестве дополнительного параметра физическое время, эту деформацию называют вязкоупругой или, соответственно, вязкопластической. Обе мгновенные деформации часто называют склерономными (т. е. независимыми от времени), а обе вязкие деформации — реономными (зависимыми от времени). [c.6]

Решение нек-рых контактных задач для упругих тел впервые дано Г. Герцем (G. Hertz). В основу его теории К. н. положены след, предположения материал со прикасающихся тел в зоне контакта однородеи и следует закону Гука линейные размеры площадки контакта малы по сравнению с радиусом кривизны и линейными размерами соприкасающихся иоверхностей в окрест-иости точек контакта силы трения между соприкасающимися телами пренебрежимо малы. При этом найдено, что при сжатии двух тел, ограниченных плавными поверхностями, площадка контакта имеет форму эллипса (в частности, круга или полоски), а пнтенспвпость распределения К. н. но этой площадке следует эллипсоидальному закону. [c.445]

Критерий жесткости материала отношение напряжения вне предела пропорциональности к соответствующему напряжению. Если растягивающее напряжение 13,8 МПа приводит к удлинению на 1,0%, модуль упругости получается делением 13,8 МПа на 0,01 т. е. 1380 МПа. (2) В терминах кривой зависимости деформаций от напряжения, модуль упругости — наклон кривой зависимости деформаций от напряжения в амплитуде линейной пропорциональнсти напряжения. Также известен, как Модуль Юнга. Для материалов, которые не подчиняются закону Гука в пределах упругой зоны, за модуль упругости обычно берется наклон или тангенс кривой вначале или при низком напряжении, или секанс, выведенный от начала до любой точно установленной точки, или прямая, соединяющая любые две конкретные точки на кривой зависимости деформаций от напряжения. В этих случаях, модуль соответственно называется касательным, секансовым или прямым. [c.1003]

Следующим шагом в развитии науки о прочности было открытие английским ученым Робертом Гуком (1635-1703) линейной зависимости между нагрузкой и деформацией - основного закона деформирования упругих тел. В 1676 году он опубликовал работу О восстановительной способности или об упругости , которая содержала описание ряда опытов с упругими телами. В этой книге закон упругости был сформулирован так Каково удлинение, такова и сила . Современная форма закону Гука была придана Томасом Юнгом (1773-1829). Вместо абсолютных величин (сила и удлинение), он ввел относительные (напряжение и деформация). Тогда оказалось, что коэффициент пропорциональности между напряжениями и относительными удлинениями, т.е. модуль Юнга в законе Гука является постоянной материала, а не конструкции и характеризуемого жесткость. В начале XIX века широкую известность получают работы французского ученого Луи Навье (1785-1836), издавшего в 1830г. первый учебник по механике материалов. Большой вклад в развитие теории изгиба и устойчивости стержней внес академик Петербургской академии наук Леонард Эйлер (1707-1783). [c.14]

ТЕРМОУПРУГОСТЬ — область мате-матич. теории упругости, в к-рой изучается возникповепио, распределение и величина температурных напряжений в телах, подчиняющихся закону Гука. При выводе основных уравнений Т. обыч1Ю предполагается независимость упругих и тепловых характеристик от темп-ры. Если темп-ра тела постоянна или представляет собой линейную функцию координат, то препятствий тепловому расширению нет и температурные напряжения (в однородном материале) не возникают. В др. случаях теория Т. показывает, что возникают термоупругие напряжения, тем большие, чем выше модуль Юнга, коэффициент линейного расширения и температурный градиент. Последний обычно растет с увеличением толщины сечения, что приводит к росту термоупругих напряжений. В зонах тела, подвергающихся быстрому нагреву, обычно возникают сжимающие, а быстрому охлаждению — растягивающие термоупругие напряжения. В теории Т. изучены напряжения в стержнях, фермах, пластинках, толстостенных трубах, кольцах, изгибаемых пластинках, оболочках вращения и др. При местной пластич. деформации уравнения Т. необходимо дополнять уравнениями термопластичности. Поэтому величины напряжений, согласно Т., оказываются завышенными по сравнению с действительными. Однако и в этих случаях теория Т, остается очень важной, с ее помощью определяют напряжения до начала пластич. деформации. [c.319]

От пружинящих свойств этих основных рабочих элементов в значительной мере зависит точность показаний всех динамометров. Чем чувствительнее приборы, применяемые для измерения тем или иным способом величин упругих деформаций, тем больше ошибки, связанные с малейшими отклонениями величины деформаций пружинящих элеиентов прибора от закона Гука, и тем труднее установить стабильное положение нулевой линии на шкале показаний. Основным недостатком пружинных и гидравлических динамометров является относительно большое линейное и круговое перемещение инструментов, вызванное деформацией пружинящих элементов в этих приборах. Перемещения инструмента исключают возможность пользования механическими или гидравлическими динамометрами обычных конструкций для измерения сил при резании с тонкими стружками. Для этой цели более подходят пьезокварцевые электромагнитные (пермалоевые) и конденсаторные электрические динамометры или проволочные датчики,наклеиваемые наповерх-ность пружинящих элементов прибора. Для нормальной работы электрических динамометров достаточны упругие деформации рабочих элементов в пределах нескольких микрон. [c.26]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...