Вычисление высших производных

Продифференцируем это равенство /п + 1 раз (т — целое положительное число), для чего применим известную формулу Лейбница для вычисления высших производных от произведения двух функций [c.159]

Вычисление высших производных X, х, V. Значения X, X и X", [c.206]

Естественная идея повышения точности метода Эйлера могла бы заключаться в использовании большего числа членов разложения в ряд Тейлора (6.5) и (6.6). Однако методы рядов Тейлора высших порядков [195, 196] имеют малое практическое значение, так как основаны на отыскании высших производных функции f в заданных точках. Как известно, численное дифференцирование является весьма неточной процедурой, особенно если ее необходимо повторять много раз. Поэтому мы ищем процедуру, которая была бы аналогична разложению в ряд Тейлора до членов кр (где р называется порядком метода). Но которая не требовала бы вычисления каких-либо производных функции /(2, у, у ). Наиболее элегантная одношаговая процедура, которая удовлетворяет этому требованию, — метод Рунге — Кутта [194]. Ниже будет рассмотрен метод Рунге—Кутта четвертого порядка для решения дифференциального уравнения второго порядка (6.1). [c.359]

Но при этом следует иметь в виду еще одно обстоятельство. В случае если данный функционал обладает экстремальными свойствами, то предложенные приближенные прямые методы дадут приближенное уравнение или численные данные, определяющие искомую экстремаль. Однако остается невыясненным, будет ли этот экстремум максимум или минимум заданного функционала, так как найденная экстремаль еще ничего не говорит об этом. Во-вторых (что, пожалуй, еще важнее), вполне возможен случай, когда заданный функционал имеет первую вариацию, равную нулю (что и доставляет нам определенную экстремаль / (д )], а экстремума все-тахи не имеет. Вполне строгое с математической точки зрения обоснование и требует исследования второй вариации функционала, как требуется исследование второй (или высших) производной в дифференциальной задаче. Для реальных же случаев применения вариационных методов в задачах вариационного характера при исследовании динамических систем можно избежать этих относительно тяжелых моментов исследования. Обычно решение вопроса о том, имеет ли экстремум характер максимума или минимума, решается легко самим существом задачи, а второе условие достаточности может потребовать после нахождения экстремали дополнительных подсчетов обратного характера, т. е. вычисления значений функционала по найденному виду у (х) в интересующей нас области х, как значений практически реализуемых, и некоторых изменений параметров найденной функции. [c.244]

Разностные формулы для производных более высокого порядка выводятся с использованием полиномов высших порядков. Выражения, полученные при помощи полиномов порядков выше второго, уже не идентичны выражениям, полученным разложениями в ряды Тейлора, и в каждом случае ошибка аппроксимации должна проверяться при помощи разложения в ряд Тейлора. В вычислительной гидродинамике метод полиномиальной аппроксимации, как правило, применяется только для вычислений значений производных вблизи границ (см. разд. 3.3.2). [c.44]

Существуют программы выполнения на ЭВМ вычислений интерполяционных полиномов по Лагранжу и его первых двух производных. Имеется методология и рассмотрены примеры формирования законов распределения ошибок положения касательных и центров кривизны реализаций (в выбранных сечениях последних), описывающих реальные элементы высших кинематических пар, и на их основе разработана методология построения законов распределения ошибок скоростей и ускорений ведомого звена кулачкового механизма [4, 5]. [c.484]

Решение в рядах по функциям нагружения. Упомянутые выше и не рассматриваемые в классической тео,рир балок методы определения перемещений и напряжений являются довольно трудными.Другой тип решения, который особенно удобен для нахождения наиболее существенных поправок к классической теории, состоит в представлении прогибов и напряжений для прямоугольного поперечного сечения балок с непрерывными нагрузками в виде рядов по функциям, описывающим распределение нагрузки по верхней и нижней поверхностям балки ). В Подобных рядах первые -члены дают величины, соответствующие классической теории балок, следующие члены представляют собой наиболее существенные поправки к ним и содержат производные высших порядков от функции нагружения (т. е. детали, уточняющие характер изменения нагрузки), следующие далее члены содержат производные еще более высоких порядков и т. д. Вычисление всех членов ряда позволяет в пределе получить точное решение уравнений теории упругости для плоского напряженного состояния. Это, по существу, является применением общего метода последовательных прибли ний. [c.163]

Учет поправок к тензору давления и потоку тепла от ё f при вычислении производной 0/01 приводит к появлению в уравнениях гидродинамики членов с производными высших порядков по координатам. Так как в дальнейшем мы рассматриваем только случай медленных гидродинамических процессов, эти поправки учитываться не будут. [c.237]

На рис. 1.2 кривые 2 3 вычислены по полученным эмпириче-ским формулам, описывающим значения функции —и а кривые 4 и 5 — по формулам (1.43) и (1.44). Как видно из рисунка, точки производных, вычисленных таблично, имеют значительные отклонения, особенно для производных высшего порядка, однако расположение максимумов кривых 2 п 4, вычисленных соответственно по эмпирической формуле и выражению (1.44), совпадают. [c.56]

Складывая два уравнения, мы сразу получаем выражение (3.281) для второй частной производной по х, но без оператора lim . Это означает, что пренебрежение высшими степенями разложения в ряд Тейлора в точности эквивалентно замене дифференцирования линейной операцией вычисления конечных разностей. Естественно, что погрешность такой замены в точности равна погрешности, обусловленной отбрасыванием членов высшего порядка. [c.146]

Выражение (5.121) не содержит неудобных производных высших порядков от осевых распределений потенциала и магнитной индукции (поэтому оно наиболее часто используется. на практике для вычисления коэффициента сферической аберрации. Формулы (5.99)—(5.102) позволяют достаточно просто вычислять коэффициенты, связанные с объектом или изображением, как в прямом, так и в обратном направлении. [c.275]

Разложение х, у и г в ряды (205)— 123. Вычисление высших производных X, (1, V (2J6) — 129. Улучшение значений х, у, z, х, у, г (207)— 130. Видоизменения Гарцера и Лейшнера (208). [c.13]

Осесимметричный электростатический или магнитный скалярный потенциал можно вычислить по его осевому распределению, используя расходящийся ряд (3.20) или комплексный интеграл (3.112). Компоненты электрического поля и вектора магнитной индукции определяются рядами (3.38) —(3.40) и (3.45) — (3.47) соответственно. Комплексный интеграл может -быть вычислен только для аналитических функций. Разложение степенного ряда требует, чтобы осевое распределение задавалось как 2(п—1) раз дифференцируемая функция координаты Z, где п — число членов степенного ряда. К сожалению, для лриемлемой сходимости необходимо весьма большое п. Если осевое распределение задано набором численных данных (что является обычным при процедурах оптимизации, обсуждаемых дальше) или даже если оно известно в виде громоздкой аналитической функции, то производные высших порядков необходимо получать численными методами, которые дают большие погрешности (см. разд. 3.3.5.1). [c.532]

Для построения степенных разложений оптических характеристик на основе ряда Тейлора необходимы формулы для вычисления производных от 3 (Я.) высших порядков. Имея в своем распоряжении формулу дифференцирования (4.13), нетрудно решить эту аналитическую задачу. Для начала в качестве примера найдем вторую производную от полидисперсного интеграла (4.8). Для этого достаточно повторно применить формулу дифференцирования к полидисперсному инт егралу т. е. к (4.13), потребовав, конечно, при этом выполнения условий з (Н1) =8 (Н2) =0. Опуская промежуточные выкладки, аналогичные тем, которые приводились ранее при выводе (4.13), имеем [c.245]

Как следует из формул (2.105), (2.106), для вычисления /, g и Н нам необходимо определять значения полиномов деформации высшего порядка (2.103), (2.104) и их производных. Для этой цели удобнее всего воспользоваться схемой Горнера описанной в пособиях [2, 11]. Эта схема основана на записи полинома в виде [c.89]

Среднестепенной критерий при р > является дифференцируемой функцией у (будем везде полагать, что /(у, 0) непрерывно дифференцируема по у). Это дает возможность использовать для решения задачи аппроксимации хорошо развитые методы минимизации дифференцируемых функций, Чебышевский критерии является недифференцируемой функцией у, поэтому для решения соот-ветствующи.х экстремальных задач должны применяться специальные методы, как правило, более сложные, чем в предыдущем случае. При использовании максимально плоского критерия возникает серьезная проблема вычисления производных высших порядков по 0 от функции /(у, 0). Лишь в редких случаях эти производные могут быть оценены аналитически. [c.142]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...