Законы преобразования напряжений

Далее сформулируем закон преобразования напряжений. Выделим бесконечно малый тетраэдр ребра которого образованы векторами gx da gj da, g, da , выходящими из точки P(0) до деформации, и рассмотрим состояние равновесия после деформации, как показано на рнс. 4.4. Пусть внутренние силы, действующие на скошенную грань тетраэдра, обозначены через F dh, где — площадь скошенной грани до деформации. Условие равновесия внутренних сил, действующих на тетраэдр, есть [c.112]

Поскольку закон преобразования напряжений и деформаций уже выведен (уравнения (4.60), (4.61), (4.67), (4.68)), получить требуемые соотношения просто. Например, (4.72) можно записать в виде [c.114]

ЗАКОНЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ 75 [c.75]

Законы преобразования напряжений [c.75]

Формула (2.27) дает закон преобразования напряжений в виде о]/— ЩрЩ Орд, или 2 = А 2 А, . Детальные вычисления лучше провести умножением матриц [а. у] = [с/р] [Ор ] [с /], согласно формуле (2.29). Таким образом. [c.92]

Показать, что закон преобразования напряжений можно получить, воспользовавшись выражением (2.33) для [c.92]

Преобразование Лоренца электромагнитного поля. После создания теории относительности стало ясно, что электрическое и магнитное поля представляют собой две формы единого электромагнитного поля. Закон преобразования напряженности электрического поля и индукции магнитного поля, измеренных в инерциальных системах К и К движущихся со скоростью и = (и, О, 0), имеет вид [c.483]

Установим законы преобразования напряжения, рассматривая равновесие сил для дифференциального элемента, показанного на рис. 4.5, в. Это дает [c.141]

Математическая структура данного критерия разрушения идентична структуре критерия (14а) максимальной деформации следовательно, путем несложной модификации проведенных ранее рассуждений легко установить закон преобразования критерия при переходе от одной системы отсчета к другой и соответствие между формулировками в напряжениях и в деформациях. Приведем наиболее важные результаты. Как и в предшествующем случае, критерий максимального напряжения можно записать в следующем виде [c.428]

Критерий максимального напряжения представляет собой вырожденный случай тензорно-полиномиального критерия (56) в напряжениях, и коэффициенты соответствующего выражения подчиняются закону преобразования компонент тензора. (33) [c.430]

Как будет подробно рассмотрено в разд. 5.5, существует класс тел, для которых вследствие геометрической симметрии Сд = 0. В таких случаях, как это следует из (5.4.17), поступательное и вращательное движения не связаны и центр реакции совпадает с центром гидродинамических напряжений . Последний играет такую же роль, что и центр масс в динамике твердого тела, в том смысле, что гидродинамическая сила зависит только от мгновенной поступательной скорости R, а гидродинамический момент (относительно R) зависит только от мгновенной угловой скорости. Для таких тел закон преобразования Й (5.4.10) сводится к виду [c.204]

Согласно (1.65) получили закон преобразования компонент тензора второго ранга. Следовательно (IV.4) — матрица компонент симметричного тензора второго ранга, называемого тензором напряжений Т . Матрица (IV.7) его контравариантных компонент также симметричная, т. е. [c.117]

Реономные свойства анизотропных тел существенно зависят от ориентации. Для их описания при самом общем подходе могут быть применены, например, соотношения теории термовязкоупругости анизотропных сред, полученные в [10]. Связь между напряжениями и деформациями, записанная в интегральном виде, определяется некоторыми интегральными операторами. Для этих операторов справедливы те же законы преобразования и симметрии, что и для тензора упругости. [c.55]

Величины определяющие напряженное состояние в точке Р, зависят от выбора координат. Сейчас мы получим закон преобразования компонент тензора напряжений. Образуем бесконечно [c.85]

Законы преобразования тензоров напряжений Кирхгофа и Эйлера в состояниях и записываются в виде (см. ра- [c.384]

Ориентационное усреднение применяем как средство перехода к описанию свойств таких объемов К Ко, в которых возможна формулировка задачи уже в терминах инженерной механики материалов, т. е. в физически наблюдаемых величинах, характеризующих свойства кристалла как сплошной и относительно однородной среды. Обращение к ориентационным методам усреднения делает предмет анализа математически определенным, поскольку законы преобразования всех переменных в угловых пространствах известны и сводятся к использованию определений такого понятия, как тензор произвольной валентности. В то же время усреднение по пространственным координатам трудноосуществимо, так как конкретное распределение деформаций, напряжений и других переменных по координатам обычно совершенно неизвестно. В некоторых случаях будем прибегать к статистическим методам усреднения, если искомые характеристики действительно определяются какой-либо пространственной статистикой. [c.13]

По закону преобразования (2.29) матрица главных напряжений имеет вид [c.97]

Используя результат задачи 1.58 и закон (2.27) преобразования напряжений, показать, что произведение является инвариантом- [c.111]

Элементы поляризационной матрицы, построенной как диадное произведение векторов напряженности, преобразуются согласно закону преобразования операторов [c.260]

Компоненты тензора напряжений ац в точке, определенные в декартовых координатах х, Xi, хз, изменяются при повороте системы координат согласно закону преобразования компонент аффинного тензора второго ранга (рис. 1.8). Формулы преобразования координат имеют вид [c.18]

Установив тензорный характер понятия напряжения, можно сразу же высказать по отношению к этому тензору ряд положений, доказанных в предыдущей главе для тензора деформации. В частности, можно утверждать (на том основании, что закон преобразования нормального напряжения 055 аналогичен закону преобразования что в каждой точке тела после деформации можно указать три таких взаимно-перпендикулярные площадки, на которых все касательные напряжения равны нулю, а нормальные напряжения принимают экстремальные значения. Путем рассуждений, аналогичных 7, гл. I, можно показать, что косинусы углов, определяющих направления нормалей к соответствующим площадкам (/, т, п), подчиняются системе уравнений [c.65]

Рассмотрим пример на преобразование компонентов напряжений и деформаций, а также на применение закона Гука. Пусть даны три деформации е , е.у, Ед,, найденные по показаниям трех тензометров, уставов- [c.128]

Заменив векторы напряжений компонентами скоростей деформации (III.30) и (III.33), согласно обобщенному закону Ньютона, и сделав преобразования, получим уравнение энергии в скалярном виде [c.80]

Здесь черточки над буквами обозначают преобразования Лапласа соответствующих функций. Уравнения (17.9.1) имеют форму обычных уравнений закона Гука. Выполняя преобразования Лапласа над уравнениями равновесия, соотношениями связи между деформациями и перемещениями и граничными условиями, мы получим для изображений систему уравнений, совпадающую с системой уравнений теории упругости. Ее решение ничем не отличается от решения задачи обычной теории упругости изображения напряжений и перемещений оказываются выраженными явно через изображения заданных на границе усилий и перемещений и функций наследственности. Теперь последний этап будет заключаться в том, чтобы перейти от изображений к оригиналам. Эта процедура буквально повторяет ту, которая предписывается принципом Вольтерра, но в других терминах. [c.599]

Рассмотрим пример преобразования компонентов напряжений и деформаций, а также применения закона Гука. Пусть даны три деформации, ел/ найденные по показаниям трех тензометров, установленных на поверхности исследуемой детали по трем направлениям, два из которых, X W у, образуют прямой угол, а третье направление N расположено под углом тг/4 к направлению оси х (рис. 5.3). Требуется найти направление главных осей деформации, величины главных деформаций -1 и 2, соответствующие им главные напряжения а м 02, а также величины напряжений сту, Тху и значение угла сдвига )ху [c.110]

Удельную потенциальную энергию можно выразить через напряжения, если в (6.23) подставить значения деформаций из закона Гука (6.7). После несложного преобразования получим [c.114]

Наиболее удобно использовать постановку задачи теории упругости в перемещениях, если на границе тела заданы непосредственно перемещения. Если же граничные условия записаны в напряжениях, то эти условия с помощью закона Гука (16.3, а) и соотношений Коши (16.2) следует преобразовать к такому виду, что они будут включать в себя перемещения. При заданных на границах нагрузках с учетом указанных преобразований граничные условия имеют вид [c.339]

В произвольной системе координат связь между напряжениями и деформациями должна быть выражена в форме, инвариантной к преобразованиям координат. Поэтому, если компоненты Тд берутся в основном базисе (сг /), то компоненты Г должны быть во взаимном базисе (е ). Тогда обобщенный закон Гука для идеальной линейно-упругой среды примет вид [c.180]

Решение строится обратным методом и состоит из нескольких этапов 1) задаемся формой осуществляемого преобразования V- в V-объем, 2) составляется выражение меры (или тензора) деформации, 3) записывается закон состояния, и осуществляется проверка, что определяемый им тензор напряжений удовлетворяет уравнениям статики в У-объеме, 4) определяются поверхностные силы, требующиеся для поддержания этого напряженного состояния. Получаемые при этом порядке построения решения содержательны, если распределение так найденных поверхностных сил (массовые считаются отсутствующими или наперед заданными) достаточно просто реализуемо, а также если постановка задачи допускает замену найденного распределения статически эквивалентной системой поверхностных сил. [c.686]

Если в решении задачи принять закон трения Кулона, то дифференциальное уравнение равновесия имеет вид (4.65) с верхним знаком. Повторяя те же преобразования, что и ранее, получим следующее уравнение для определения радиальных напряжений [c.109]

Преимущество формулировки Ашкенази состоит в возможности непосредственного определения входящих в нее постоянных из результатов одномерных экспериментов с образцами, вырезанных из материала под различными углами 0. Параметры а у, соответствующие направлению В, могут быть найдены из закона преобразования (67), а обращение формулы (666) сразу дает предел прочности при одноосном напряженном состоянии для произвольной ориентации оси [c.445]

Закон преобразования компонент тензора напряжений при повороте декартовой системы осей дается формулами (1.3.6). Их можно получить также, исходя из зависимости Коши (1.4.5). Совместим N с единичным вектором тогда k s проекции на старые оси квазивектора — напряжения на площадке с нормалью — по (1.4.6) будут [c.28]

Воспользуемся законом преобразования компонеш тензора напряжений при повороте координат (1.3.12) и преобразуем эти компонопы при переходе от главных ОС СТ1, стз тензора напряжений к произвольным осям El, Ез с помощью матрицы направляющих косинусов (рис. 57) [c.200]

Зависимость интенсивности второй гармоники от интенсивности основной волны, как видно из этого выражения, является квадратичной. При А = 0 величина /г с ростом длины пути света в кристалле увеличивается по квадратичному закону. (Такой закон преобразования, конечно, имеет место при условии, что коэффициент преобразования мал.) Условие kk = 0 означает, что нелинейные волны поляризации и напряженности поля с частотами 2 oi распространяются с одинаковыми фазовыми скоростями, так что на всем пути фазовые соотношения между поляризацией и напряженностью поля сохраняются. При интенсивность второй гармоники в зависимости от г совершает периодические колебания (рис. 8.2). На пути длиной Lk = = п/А , называемом длиной когерентности фаз, она нарастает до максимума. Вследствие изменившихся фазовых соотношений между поляризацией и напряженностью поля при дальнейшем увеличении пути знак производной амплитуды по г меняется, так что энергия второй гармоники перекачивается обратно в основную волну. На длине пути 2Lk интенсивность второй гармоники падает вновь до нуля. Для сравнения на рис. 8.2 показано нарастание интенсивности (2/i oi)/2 при А = 0 (кривая 1). Это монотонно нарастающая пропорциональна 2 функ- [c.279]

Соотношения (6.10) носят название обобщенного закона Гука для анизотропного упругого тела. Коэффициент ii,mn образуют тензор упругих констант. Их всего восемьдесят одна. Действительно, пусть преобразование координат дается формулой x i = lijxj. Тогда в новых осях x i компоненты тензора напряжений а ц найдутся по формуле [c.114]

Возникшая как самостоятельный раздел оптики в начале 60-х годов (после появления лазеров) нелинейная оптика объединяет обширный круг явлений, обусловленных зависимостью параметров среды [коэффициенты поглощения k(v) и преломления n(v)] от интенсивности проходящего света. Оставим пока в стороне вопрос о нарушениях закона Бугера, связанных с у1сазанной зависимостью коэффициента поглощения k v) от напряженности электрического поля, и обратим внимание на свойства коэффициента преломления n(v), проявляющиеся в сильных полях. В таком изложении основ нелинейной оптики легче будет отделить классические эффекты (самофокусировка излучения, преобразование частоты света со всеми вытекающими отсюда последствиями) от квантовых, рассмотрение которых требует введения понятия фотона и других, более сложных представлений (см. 8.5). [c.168]

Если на всей поверхности тела заданы усилия, граничные условия задают на поверхности линейные комбинации искомых функций, т. е. напряжения. Но если заданы перемещения точек поверхности, то сформулировать граничные условия в напряжениях в общем виде невозможно эти условия будут содержать некоторые интегралы от напряжений и их производных, которые получатся, если в формулы Чезаро внести выражения деформаций через напряжения по закону Гука. Иногда, например, в плоской задаче теории упругости соответствующие преобразования удается довести до конца. [c.251]

Одновременно с русским физиком Э. Ленцем (1804— 1865 гг.) и независимо от него он сформулировал закон, устанавливающий зависимость выделяемой в проводнике теплоты от силы тока и напряжения (закон Джоуля — Ленца). Джоуль провел исследования по всей цепи преобразований электроэнергии, начиная от гальванического элемента и кончая работой электромагнитных сил. [c.80]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...