Закон притяжения, пропорционального расстоянию

Наблюдения над двойными звездами показывают, что звезда-спутник движется около главной звезды по эллипсу, в фокусе которого находится главная звезда, следовательно, здесь имеет место ньютонов закон притяжения. Если бы имел место закон притяжения пропорционально расстоянию, то главная звезда находилась бы в центре орбиты спутника, что противоречит наблюдениям. [c.390]

Действительно, если начало координат совпадает с центром конического сечения, то а ъ = 23 = О, и мы приходим к первому закону притяжения, пропорциональному расстоянию точки от центра сил. Если же начало координат — в фокусе конического сечения, то по основному свойству конических сечений имеем - = е, где d — расстояние точки от директрисы, [c.280]

ЗАКОН ПРИТЯЖЕНИЙ, ПРОПОРЦИОНАЛЬНОГО РАССТОЯНИЮ 723 [c.723]

Если бы в природе существовал закон притяжения, пропорционального расстоянию, то, как мы видели, исследование его было бы чрезвычайно просто. Но на самом деле в природе имеет место закон Ньютона. Этим законом мы и будем интересоваться в дальнейшем. [c.723]

Задача 899. По горизонтальной хорде вертикального круга движется точка массой 4 кг под действием силы притяжения, пропорциональной расстоянию от точки до центра, причем коэффициент пропорциональности равен 196 н1м. Определить закон движения точки и ее давление на хорду, если в начальный момент она находилась в крайнем правом положении и была отпущена без началь- [c.325]

Чтобы сложить геометрически все скорости вихревых движений, получаемых точкой N от элементов вихря, покрывающих слой, замечаем, что скорость вихревого движения от одного элемента fds направлена перпендикулярно к радиусу р, соединяющему этот элемент с точкой N, п равна у. Эта скорость получается, таким образом, поворотом на прямой угол силы притяжения элементом 7 йч точки N единицы массы по закону обратной пропорциональности расстоянию. Сложив геометрически все такие силы притяжения и повернув их равнодействующую на прямой угол, мы получил скорость точки N от всех вихревых движений. [c.694]

Точка массы т с зарядом е движется в постоянном однородном магнитном поле напряженности Ж. На материальную точку также действует сила притяжения, пропорциональная расстоянию до центра силы О (коэффициент пропорциональности к). Найти частоты колебаний осциллятора и закон его движения. [c.296]

Задача 81. Определить закон движения и траекторию материальной точки массы т граммов, притягиваемой к неподвижному центру О силой, прямо пропорциональной расстоянию точки от этого центра. Движение происходит в пустоте сила притяжения на единицу расстояния равна к т дин сила тяжести точки постоянна в момент 1= [c.475]

Принцип этого вычисления принадлежит Ньютону 76. Задача о двух телах. Необходимо отметить, что дальнейшие исследования Ньютона и его последователей, в которых учитывалось притяжение планеты другими планетами и Солнцем, более чем достаточно подтвердили точность закона обратной пропорциональности квадрату расстояния, так как показали возможность объяснения взаимного движения планет до мельчайших подробностей. [c.196]

Очень легко показать, что производные от U какого угодно порядка тоже непрерывны во всякой точке, за исключением точек Q,-. Это имеет место, в частности, для первых производных, или проекций силы притяжения, что следует также из закона обратной пропорциональности квадратам расстояний. [c.68]

Следовательно, <р подчиняется теперь тем же математическим условиям, что и потенциал масс, притягивающихся или отталкивающихся по закону обратной пропорциональности квадрату расстояния, для всех точек вне указанных масс. Поэтому многие из результатов, доказанных в теории притяжения, электростатике, теории магнетизма и в теории стационарного течения тепла, имеют также и гидродинамическое применение. Мы теперь приступаем к рассмотрению тех из них, которые наиболее важны с последней точки зрения. [c.56]

Выше мы сказали, что решение вопроса о движении динамической системы, состоящей более чем из двух точек, представляет большие трудности, если материальные точки действуют друг на друга по закону ньютонианского притяжения. Если же точки системы действуют друг на друга силами, прямо пропорциональными расстояниям, то вопрос решается вполне и не представляет никаких трудностей. Рассмотрением этого вопроса теперь и займемся. [c.500]

С силой, обратно пропорциональной расстоянию, обращается в соответствующую задачу о притяжении бесконечно длинным цилиндром по закону Ньютона. Поэтому если имеется бесконечно длинное цилиндрическое кольцо (фиг. 451) с радиусами а и то, пользуясь формулой (14), для силы притяжения этим кольцом точки, найдем [c.737]

Пример 4.6. Система N точек в однородном поле тяжести. Найти закон движения системы N материальных точек, которые движутся в однородном постоянном поле тяжести напряженности g внутренними силами системы являются силы притяжения, прямо пропорциональные расстоянию между точками и произведению масс соответствующих точек (коэффициент пропорциональности х). [c.184]

Если число неподвижных центров равно двум, а закон силы есть ньютоновский закон притяжения, обратно пропорционального квадрату взаимного расстояния, то мы имеем классическую задачу двух неподвижных центров. Эта задача, не нашедшая применения в классической небесной механике, имеет в настоящее время большое и важное значение для нового раздела этой науки — теории движения искусственных спутников планет Солнечной системы. [c.181]

Если массы трех тел удовлетворяют условию (8.119), то при законе притяжения, обратно пропорционального квадрату расстояния, всякое лагранжево периодическое движение, достаточно близкое к постоянному, остается устойчивым. [c.397]

Если притяжение прямо пропорционально расстоянию, то две точки О, О совпадают с центром тяжести G и неподвижны в пространстве в течение всего движения. В самом деле, из статики известно, что для данного закона притяжения полное притяжение, действующее на одну из точек со стороны всей системы, является таким же, как если бы вся система была сосредоточена в своем центре тяжести. Поэтому О совпадает с G. Поскольку каждая точка начинает двигаться из состояния покоя, то начальная скорость центра тяжести равна нулю, и, следовательно, согласно п. 79, G представляет собой неподвижную точку. С другой стороны, поскольку каждая точка начинает двигаться из состояния покоя и вынуждена перемещаться к неподвижной точке G, то она будет двигаться вдоль прямой линии, соединяющей ее начальное положение с точкой G. Таким образом, О совпадает с G. [c.247]

Отсюда следует, что либо три точки лежат на одной прямой, либо р I = = р + . Если /г = —1, то это есть закон притяжения, согласно которому сила изменяется пропорционально расстоянию. Если fe —1, то имеем р = р", и треугольник должен быть равносторонним. [c.248]

Система п частиц с массами /П/ (, = I, 2,. .., л) движется под действием такого закона тяготения, что сила притяжения между каждой парой частиц прямо пропорциональна произведению их масс и прямо пропорциональна расстоянию между ними. Показать, что в этом случае орбита любой частицы относительно любой другой частицы является эллипсом, причем вторая частица находится в центре эллипса. Показать, что орбита любой частицы относительно центра масс системы также является эллипсом. [c.177]

Пример 4. Материальная точка массой т (рис, 11) движется под действием силы притяжения к неподвижной точке О, Эта сила изменяется обратно пропорционально кубу расстояния между точками и пропорциональна массе точки т. Коэффициент пропорциональности равен единице, В начальный момент. = 0, Ха = 2 м и Уо = 0,5 м/с, Определить закон движения точки. [c.239]

В задаче Кеплера рассматривается вопрос о движении частицы в центральном поле сил, убывающих обратно пропорционально квадрату расстояния от центра поля. Этому закону подчиняются силы гравитационного притяжения между материальными точками (или телами, обладающими сферической симметрией), а также кулонов-ские силы между точечными зарядами. [c.239]

Из теоремы о вириале в ее общем виде (112) следует не только то, что материальные точки, связанные между собой силами, действующими по закону обратных квадратов, должны иметь кинетическую энергию, но и то, что кинетическая и потенциальная энергии такой системы всегда сравнимы по величине. Даже если часть материальных точек в начальный момент не движется, силы притяжения, значения которых обратно пропорциональны квадрату расстояния, сближают эти точки друг с другом, увеличивая как потенциальную, так и кинетическую энергии до тех пор, пока средняя кинетическая энергия не станет равной с обратным знаком половине средней потенциальной энергии. В приводимом ниже примере мы воспользуемся теорем ой. о вириале, чтобы оценить температуру внутри Солнца, представляющего собой, как почти все звезды, массу сжатого раскаленного газа. [c.302]

Задача 77. Материальная точка массы т брошена с поверхности Земли вертикально вверх с начальной скоростью Пренебрегая сопротивлением воздуха и принимая во внимание, что сила притяжения точки к Земле изменяется по закону всемирного тяготения Ньютона обратно пропорционально квадрату расстояния точки от центра Земли и прямо пропорционально массам точки и Земли, найти скорость точки как функцию этого расстояния. [c.464]

Например, в случае закона всемирного тяготения утверждение состоит в том, что сила F взаимного притяжения двух тел прямо пропорциональна произведению масс mj и этих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния г между ними [c.29]

Закон всемирного тяготения (11.4) не является целиком утверждением, поддающимся опытной проверке, так как мы не располагаем способом независимого измерения тяжелых масс тел. В законе всемирного тяготения содержится только утверждение, что силы тяготения обратно пропорциональны квадрату расстояния между телами (это утверждение может быть проверено на опыте — законы Кеплера являются его подтверждением). Кроме того, в нем содержится определение тяжелой массы тела. Это определение таково если мы измерим силу, с которой какое-либо тело А притягивается к телу В, а затем вместо тела В поместим другое тело С и измерим силу притяжения между Л и С, то отношение сил притяжения и будет определять отношение тяжелых масс тел В и С. Но это мы и делаем при взвешивании следовательно, взвешиванием мы определяем тяжелые массы тел. [c.315]

Спутники. Наблюдения показывают, что спутники в своих движениях вокруг планет следуют очень близко законам Кеплера. Отсюда вытекает, что каждая планета притягивает своих спутников с силой, пропорциональной их массе и обратно пропорциональной квадрату их расстояний до центра планеты. Притяжение планет действует также и на тела, лежащие на их поверхности. Оно, как мы видели в главе III, приводит к понятию о силе тяжести. С каждой планетой связан некоторый коэффициент притяжения X таким образом, что притяжение этой планетой точки массы /И1, помещенной [c.339]

Движение под действием притяжения по закону Ньютона. Пусть сила F—сила притяжения, обратно пропорциональная квадрату расстояния. Тогда, поскольку сила F противоположна единичному вектору р , имеем [c.176]

Сила, действующая между двумя электрическими зарядами, изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. Это утверждение иллюстрируется графиком, представленным на рис. 3, из которого видно, что при удвоении расстояния между двумя зарядами сила, действующая между ними, уменьшается в 4 раза, при утроении — в 9 раз и т. д. Закон обратной квадратичной зависимости весьма распространен в природе, Например, сила гравитационного притяжения между двумя телами также изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния между ними, как и магнитное притяжение между двумя противоположными магнитными полюсами. Однако есть и исключения. К ним относится, например, сила, действующая между молекулами жидкости или твердых тел, а также сила, удерживающая частицы атомного ядра. Именно последней и будет в основном посвящена данная книга, ко прежде полезно оценить величину электрических сил, чтобы затем их можно было бы сравнить с ядер-ными. [c.24]

Одной из трудностей, которые должна была преодолеть механика Ньютона, была проблема фигуры Земли. Не меньшие трудности возникали при изучении движения тел Солнечной системы и прежде всего Луны. Основанные на законе тяготения расчеты Клеро (1713—1765) и Даламбера, произведенные в 1745 г., дали для апогея лунной орбиты период обращения в 18 лет, величину, вдвое превосходившую данные наблюдений. Многие ученые полагали, что закон тяготения Ньютона нуждается в поправке так думали, в частности, Клеро и Эйлер. Некоторое время спустя, однако, Клеро пришел к заключению, что причиной расхождения теории с наблюдениями является не ошибочность закона Ньютона, а недостаточная точность применявшегося метода вычислений, при которых ограничивались первым приближением. Второе приближение уже давало результаты, согласные с наблюденными. В 1749 г. Клеро сообщил об этом Эйлеру. Для окончательного решения вопроса Эйлер, в то время живший в Берлине, рекомендовал Петербургской академии паук объявить конкурс на тему Согласуются или же нет все неравенства, наблюдаемые в движении Луны, с теорией Ньютона Предложение Эйлера было принято, и он вошел в состав жюри. В 1751 г. премия, на основании отзыва Эйлера, вполне убежденного вычислениями Клеро, была присуждена этому французскому ученому. Его Теория Луны, выведенная из одного только принципа притяжения, обратно пропорционального квадратам расстояний была издана на французском языке Петербургской академией наук (1752). [c.189]

Закои притяжения, пропорционального расстоянию. Ише-грирование формул (2), совершаемое кубатурой, представляет довольно сложную операцию при большинстве законов притяжения /(а), которая тем сложнее, чем сложнее форма тела. Но существует один закон, когда интеграция не зависит от формы тела, именно, когда сила притяжения прямо пропорциональна расстоянию, так что /(г) = л. [c.722]

Материальная точка массой 1 кг совершает прямолинейные горизонтальные колебания по оси Ох под действием возмущающе силы 5 = 4созШ и силы притяжения к началу координат, пропорциональной расстоянию точки от начала координат, причем коэффициент пропорциональности с = 196 Н/м. Найти закон движения точки, если в начальный момент ха — 2 см и uo = 0. [c.143]

П. В. Воронец опубликовал новый метод преобразования дифференциальных уравнений динамики, который позволил значительно расширить известные ранее результаты в области задачи п тел. Развивая идею Э- Рауса об игнорировании координат , он показал, что в случае, когда уравнения движения системы допускают линейные относительно скоростей интегралы, из этих уравнений можно исключить циклические координаты и соответствующие им скорости и ускорения. Этот метод дал возможность П. В. Во-110 ронцу сравнительно просто получить известные результаты Ж. Лагранжа, К. Якоби, Э. Бура, А. Бриоши и Р. Радо при произвольном законе притяжения. П. В. Воронец подробно исследовал задачу четырех тел и указал случай интегрируемости в квадратурах для закона притяжения обратно пропорционально кубам расстояний. В случае сил взаимодействия, пропорциональных любой степени расстояний, он установил возможность двух типов движений. Исследуя дифференциальные уравнения задачи трех тел Ув форме Лагранжа, Воронец изучил случай аннулирования кинетического момента, а также случай пространственного движения, при котором образуемый телами треугольник остается равнобедренным и массы точек, расположенных в его основании, равны. [c.110]

Т. Банахевич показал, что в случае закона притяжения обратно пропорционально кубам взаимных расстояний пространственная задача трех тел допускает решение. Новый интегрируемый случай в задаче п тел при том же законе притяжения нашел А. Д. Билимович . Плоское и пространственное движение трех тел, при котором образованный телами треугольник остается равнобедренным, в случае ньютоновых сил притяжения рассмотрел Е. Виль-чинский Он показал, что необходимым условием таких движений, называемых равнобедренными , или симметрическими , является равенство двух масс, расположенных в вершинах основания треугольника. [c.110]

X 10 ) / (15 "ЛО )] м/с = 0,6 10" м/с , т. е, примерно в (ас /а) 15 раз больше ускорения вследствие светового давления. Для частицы с меньшими в 15 раз линейными размерами сила, обусловленная световым давлением примерно уравновесит силу притяжения Солнца. Поскольку как плотность потока излучения, так и сила тяжести убывают с расстоянием по одаюму и тому же закону (обратно пропорционально квадрату расстояния от Солнца), сила притяжения Солнца и сила за счет светового давления равны друг другу по абсолютному значению для всех расстояний, и поэтому такая частица в поле тяготения Солнца движется так, как будто это поле отсутствует. Наиболее наглядным проявлением светового давления является ориентировка хвостов комет при ЦК прохождении вблизи Солнца ( вблизи — в астрономическом масштабе расстояний). [c.29]

Пример 121. Материальная точка, масса которой равна единице, движется прямолинейно под действием силы притяжения к неподвижному центру О, пропорциональной расстоянию точки от этого центра, причем коэффшщент пропорциональности равен 25. Сила сопротивления окрумсающей среды пропорциональна скорости точки, причем коэффициент пропорциональности равен 6. Найти закон движения точки, зная, что в начальный момент расстояние [c.444]

Определить равновесие жидкой массы, частицы которой взаимно притягиваются силами, прямо пропорциональными расстояниям. Пусть имеем тбло произвольной формы будем рас-его относительно осей с началом в центре тяжести данного тела (фиг. 387). Из теории притяжения известно, что при силах, прямо пропорциональных расстояниям, тело, какой бы формы оно ни было, притягивает материальную точку так, как притягивает ее при том же законе центр тяжести тела в предположении, что в центре тяжести сосредоточена вся масса тела. Пусть масса жидкости есть Ж. На основании сказанного любой элемент жидкости притягивается к началу координат силами [c.634]

Огсюда следует бесконечно длинный цалпндр притягивает материальную точку по ньютонианскому закону тате, как эта точка притягивается с силой,, обратно пропорциональной расстоянию, материальной площадью, полученной от сечения цилиндра ортогональною плоскостью проходящей через притягиваемую точку, если предположим, что плотность, отнесенная к единице пло щади, равна данной объемной плотности цилиндра. На основании этого, вместо того, чтобы рассматривать притяжение по закону Ньютона бесконечно длинными цилиндрами, можно рассматривать притяжение точки материальными площадями, лежащими в плоскости этой точки, силой, обратно пропорциональной расстоянию. [c.733]

Рассмотрим две замкнутые системы, каждая из которых состоит из Л/ 3 взаимодействующих точек. Внутренними силам1и первой системы являются силы притяжения, прямо пропорциональные расстоянию между взаимодействующими точками и произведению масс этих точек (коэффициент пропорциональности х). Точки второй системы взаимодействуют по закону всемирного тяготения. Сравним изменения моментов импульсов точек обеих систем. [c.105]

В 1875 ГОДУ Раусе [169] решил (в линейном приближении) задачу об устойчивости треугольных точек либрации для неограниченной задачи трех тел (когда масса тела Р не бесконечна мала, а равна некоторой конечной величине, так что тело Р уже само влияет на движение двух других тел 5 и /) и для произвольного закона притяжения. Рассмотрев плоскую задачу и предположив, что притяжение тел пропорционально произведению их масс и обратно пропорционально п-й степени расстояния между телами, Payee показал, что при л > 3 точки либрации неустойчивы. Если же п < 3, то имеет место устойчивость при выполнении неравенства (шр -j- т -)- 2 / 1 -)- га д. [c.124]

Согласно теории двойного электрического слоя межчастичное притяжение уменьшается обратно пропорционально расстоянию между частицами и не зависит от содержания электролита в непрерывной фазе, в то время как кулоновское (или электростатическое) отталкивание уменьшается по экспоненциальному закону в пределах толщины /к Дебая-Хюкксля ионной атмосферы. [c.141]

Сила гравитационного притяжения, действующая между двумя материальными точками. В соответствии с законом всемирного тяготения эта сила пропорциональна произведению масс точек ttii и /Пг. обратно пропорциональна квадрату расстояния г между ними и направлена по прямой, соединяющей эти точки [c.43]

Эти особенности плазмы определяются в основном дальнодей-ствующим характером электрических сил взаимодействия между составляющими ее частицами. Действительно, в то время как в обычном газе потенциал Ф межмолекулярных сил быстро спадает с расстоянием г (в случае ван-дер-ваальсовых сил притяжения Ф 1/г ) и движущиеся частицы заметно взаимодействуют только во время ударов, потенциал взаимодействия между частицами плазмы изменяется по закону Кулона обратно пропорционально первой степени расстояния Фе 1/г, что приводит к взаимодействию частиц и на больших расстояниях (и поэтому к длительному взаимодействию). [c.215]

Через несколько лет Эдмунд Г аллей на основе третьего закона Кеплера пришел к выводу, что сила притяжения Солниа тоже должна уменьшаться обратно пропорционально квадрату расстояния планет от него, и пытался определить их пути. Не сумев этого сделать и не получив помощи от Гука и Рена, он поехал к Ньютону, у которого с удивлением обнаружил не только уже гото вое решение, но и еще немало важных материалов. Галлей предложил немедленно опубликовать их, но Ньютон, боясь новых споров и скандалов, только в 1686 г. представил их в Королевское общество. Гук немедленно заявил, что Ньютон использовал его результаты. Ньютон ответил резким письмом Галлею, указав, что Гук сам черпает свои данные у Борелли, а возможно, и у него, поскольку еще в 1673 г. он писал о законе обратных квадратов Гюйгенсу через Королевское общество, секретарем которого был Гук. Наконец конфликт уладили, и в 1687 г. труд Ньютона в трех книгах вышел в свет под названием Математические начала натуральной философии . В нем упоминались имена Гука, Рена и Галлея. Первые две книги посвящены классической механике, в третьей законы механики применяются для описания системы мира — это небесная механика, неизбежно затрагивающая интересы официальной христианской идеологии. Ньютон долга не соглашался на издание третьей книги. 22 мая 1686 г. он писал Третью книгу я намерен теперь устранить, философия — это такая наглая и сутяжная дама, что иметь с ней дело — это все равно, что быть вовлеченным в судебную тяжбу . [c.85]

Пусть Р и Q — две материальные точки с массами соответственно т и till, расположепные на расстоянии г друг от друга. Они притягивают друг друга (закон всемирного тяготения) с силами, прямо пропорциональными произведению их масс и обратно пропорциональными квадрату расстояния между ними. Таким образом, каждая из двух масс действует на другую с силой притяжения, равной по величине [c.65]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...