Разложение по градиентам

Распределение (3.3.55) значительно сложнее квазиравновесного распределения для идеального газа. Напомним, что функция u r,t) удовлетворяет уравнению (3.3.52) и является функционалом от п(г, t) и /5(г, ), причем параметр /5(г, t) должен вычисляться из условия самосогласования (3.3.45). Эти вычисления упрощаются, если п(г, ) и P v t) медленно изменяются в пространстве тогда можно воспользоваться методом разложения по градиентам (см. задачу 3.16). [c.211]

В. Разложение по градиентам в кинетическом уравнении [c.84]

Разложение по градиентам. Уравнение (9.1.35) является точным. Кроме того, оно справедливо для функции распределения любых базисных динамических переменных. Все это — несомненные достоинства обобщенного уравнения Фоккера-Планка. Но к сожалению, это уравнение очень сложное и в таком виде непригодно для решения конкретных задач. Покажем, что в случае крупномасштабных гидродинамических флуктуаций уравнение (9.1.35) можно существенно упростить. [c.224]

Как мы вскоре убедимся, вычисление скоростей дрейфа Um i i) не представляет особой проблемы, поэтому рассмотрим сначала элементы матрицы перехода (9.1.37). Идея состоит в том, чтобы записать их в форме разложения по градиентам базисных переменных. Отметим, что, согласно уравнениям (9.1.39) и (9.1.40), производные по времени (г) или можно считать величинами первого порядка малости ). Запишем случайные потоки (9.1.38) в виде [c.224]

Фактически безразмерным малым параметром при разложении по градиентам является произведение kRo, где Ro — корреляционная длина для микроскопических потоков Х(й). [c.224]

Прежде всего мы изложим теорию для случая, когда все величины не зависят от времени, а нормальную компоненту можно считать покоящейся. В этом случае термодинамический потенциал единицы объема жидкости, ограничиваясь первым членом разложения по градиентам г ), можно записать в виде [c.683]

Однако ряды (379) могут оказаться плохо сходящимися, а иногда и расходящимися. Их сходимость будет тем хуже, чем больше продольный и поперечный градиенты скорости. Поэтому надо найти такую функцию т), разложение по степеням которой [c.207]

При обсуждении формализма функций памяти мы отметили, что в рамках теории линейной реакции уравнения (5.3.16) и (5.3.18) являются точными и, кроме того, они справедливы для произвольного набора базисных динамических переменных. Мы теперь применим эти уравнения к анализу линейных кинетических и гидродинамических процессов. Хотя по своей сути формализм функций памяти предназначен лишь для исследования состояний, которые близки к тепловому равновесию, в этой области он имеет преимущества перед стандартной кинетической теорией и гидродинамикой. Во-первых, многие аспекты теории переноса удается исследовать на строгом уровне, в отличие от сильно неравновесных ситуаций, где приходится использовать разложения по малой плотности (в кинетической теории) или по градиентам (в гидродинамике). Во-вторых, функции памяти, через которые выражаются линеаризованные интегралы столкновений и коэффициенты переноса, можно, в принципе, вычислить методами равновесной статистической механики. [c.386]

Отметим, что уравнение (5.4.18) все еще является точным и поэтому весьма сложным, так как оно содержит точные восприимчивости и кинетические коэффициенты. Основное достоинство этого уравнения состоит в том, что оно может служить основой для вывода приближенных линейных кинетических уравнений. Например, во многих реальных ситуациях функция Вигнера 6f r,p t) координатно-импульсном представлении мало изменяется на расстояниях порядка средней волны де Бройля частиц Хв Тогда уравнение (5.4.18) можно упростить, выполняя разложение всех функций Вигнера по градиентам. В качестве иллюстрации мы выведем линеаризованное кинетическое уравнение в первом приближении по градиентам. [c.389]

Так как потоки Х к( ) линейны по градиентам, то разложение матрицы переходов (9.1.37) начинается с членов второго порядка. С другой стороны, анализ оператора (9.1.43), проведенный в приложении 9Б, показывает, что его разложение начинается с члена нулевого порядка, который равен [c.224]

Б. Разложение матрицы перехода по градиентам [c.272]

Чтобы получить разложение матрицы перехода (9.1.37) по градиентам гидродинамических переменных, найдем сначала аналогичное разложение оператора [c.272]

Кинетическая теория классического газа представляет собой вполне законченную область физики. Для описания газа используется уравнение Больцмана, которое решается обычно методом Чепмена-Энскога, т.е. разложением по обратным степеням члена столкновений. Тем самым из уравнения Больцмана выводятся уравнения газодинамики, т.е. уравнения Навье-Стокса. Кинетические коэффициенты этих уравнений вычисляются с помощью уравнения Больцмана. В случае очень резких градиентов, например, имеющих место в ударной волне, вместо уравнений Навье-Стокса можно воспользоваться методом моментов с той или иной процедурой замыкания высших моментов. Такой подход дает вполне удовлетворительные результаты. [c.305]

В результате электронная поляризация оказывается пропорциональной относительному перемещению сердцевины и оболочки атома. Так как в разложение входят градиенты W, а значит и W, то, очевидно, что градиенты поляризации входят в число параметров состояния. Теперь проводится предельный переход, соответствующий переходу к длинноволновому приближению, при этом суммирование заменяется интегрированием по объемам и поверхностям. Поверхностный интеграл преобразуется в объемный в результате для потенциальной энергии объема В диэлектрической решетки в рамках макроскопического описания найдено выражение [c.463]

Заметим, наконец, что в приведенном рассмотрении параметр упорядочения а не был локальным. Если же видоизменить теорию, введя его локальное значение а (г) (как это мы сделали в п. б) с удельным объемом v=V/JV->-v(r)), то возникнет вариационная задача типа рассмотренной в п. б), причем в функционал для свободной энергии можно включить не только разложение по степеням о (г), но и члены с градиентами этой величины, например типа (Va(r))2 и т. п. (В. Л. Гинзбург, Л. Д. Ландау, 1950). [c.148]

При изотропном поле излучения обе части этого уравнения равны нулю. При слабой анизотропии (qm O) это соотношение, задающее ноток излучения как градиент плотности, вместе с уравнением (5.1.7) определяют так называемое диффузионное приближение (Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер, 1966), которое совпадает с первым приближением в методе сферических гармоник, основанном на разложении /(Q) по полиномам. [c.407]

При наличии корреляций, т. е. в неоднородном по отношению к г случае, в разложение для ф войдет дополнительный член, равный произведению G на квадрат градиента уг , т. е. G (ул) . [c.252]

На рис. 169 приведены фотографии поперечных разрезов образцов стеклопластика АГ-4С толщиной 5 мм, подвергнутых одностороннему нагреву до температуры 800 С при скорости ее нарастания на нагреваемой поверхности 15, 10 и 2 град/с. Уже при сравнительно небольшом увеличении (в 40 раз) хорошо различимы поперечные трещины (отмеченные стрелками) в верхних прогретых слоях образцов. Возникновение этих трещин связано, по-видимому, с действием значительных температурных напряжений, обусловленных высокими градиентами температур по толщине образцов, а также с начинающимися процессами термического разложения полимерного связующего. Как видно из рис. 169, большая глубина растрескивания образца соответствует меньшей скорости нагрева, т. е. большей продолжительности теплового воздействия. [c.266]

Аналогичным путем могут быть представлены также равенства (2-39), (2-105) и др. Шаги интегрирования в направлении соответствующих координатных осей обычно выбираются путем разбивки тела на элементарные слои. При этом выбор величины Дт остается окончательно не решенным. Увеличение ее численного значения может значительно сократить объем вычислительной работы, а потому чрезвычайно заманчиво. Однако если принять Дт чрезмерно большой величиной, то погрешность, вызываемая разложением в ряд Тейлора, когда тепловой поток за время Дт считается пропорциональным начальному по времени градиенту температуры, может стать значительной. Иначе говоря, при больших значениях Ах ошибка, вызываемая экстраполяцией, может резко возрасти, что немедленно отразится на точности вычислений последующих температурных полей. [c.106]

Используя полярное разложение градиента относительной деформации и дифференцируя по времени, определяем скорость натяжения D и спин W [c.74]

Дифференцируя по. времени полярное разложение градиента деформации (2.41) с учетом (3.2), (3.8), получим такие соот ношения [c.74]

В дальнейшем мы не будем записывать аргумент функций Ni которые будем называть локальными функционалами -го уровня, предполагая, что аргументом являются быстрые координаты I и градиенты перемещений (по медленным координатам) порядка I, 2.д. Тогда разложение (2.6) запишется в виде [c.226]

Вблизи критической точки необходимо учитывать корреляции между флуктуациями в различных точках пространства а также сохранять члены высшего порядка в разложении функционала энтропии 5[а] по флуктуациям. Нелокальные эффекты обычно учитываются градиентами Vai(i ). В результате получаются так называемые функционалы Гинзбурга-Ландау-Вильсона определяющие распределение вероятностей для критических флуктуаций [43]. [c.74]

Градиент деформации теперь представлен аддитивным разложением Е и Й аппроксимируют относительную деформацию и вращение по этой причине их называют для случая малых деформаций симметрическим тензором относительной деформации напряжений Е й кососимметрическим тензором враи ения Й следует сопоставить это разложение с точным мультипликативным разложением (2.88). [c.34]

Эти выражения, очевидно, удовлетворяют граничным условиям (3.11), а распределение скорости (4.14)—уравнению непрерывности (4.3). Для определения коэффициентов разложений, следуя методу Бубнова — Галеркина, поступаем следующим образом. Подставим (4.14) и (4.15) в уравнения (4.1) и (4.2), умножим первое из этих уравнений скалярно на а второе — на 0h и проинтегрируем по объему. При этом все члены, содержащие градиент давления, исчезают в силу граничных условий для скорости и уравнения непрерывности [c.29]

Преобразование (8.8) дает соотношение для определения начальной скорости разложения за фронтом ударной волны по ее ускорению и градиенту давления [c.295]

Для того чтобы была применима излагаемая теория, используюш ая первый лен разложения по градиентам ti необходимо, чтобы выполнялось нера-. венетво [c.685]

Действительно, при наличии градиентов в энтропии появляются, вообще говоря, связанные с ними дополнительные (по отношению к s(p, е)) члены. На изложенных выше результатах, однако, могли бы сказаться лишь линейные по градиентам члены (например, член, пропорциональный скаляру divv). Такие члены неизбежно могли бы принимать как положительные, так и отрицательные значенггя. Между тем они должны быть существенно отрицательными, так как равновесное значение s = =. s(p, е) является максимальным возможным. Поэтому разложение энтропии по степеням малых градиентов может содержать (помимо нулевого члена) лишь члены начиная со второго порядка. [c.275]

Сравнивая постулаты квазитермодинамики с полученными в предыдущих параграфах кинетическими результатами, легко заметить, что предположение о линейной связи потоков с градиентами справедливо лишь для навье-стоксовского приближения. Следовательно, неравновесная термодинамика прамгнама лишь для описания состояний, близких к равновесным, а извлекаемая с ее помощью информация не может превосходить информацию, даваемую учетом первого члена разложения по отклонению от равновесия. [c.240]

Гидродинамические уравнения движения газа с учетом процессов теплопроводности и внутреннего трения содержат тепловой поток ц (диссипативная часть потока энергии ц) и тензор вязких напряжений айр (диссипативная часть потока импульса Пар). Эти уравнения приобретают реальный смысл после того, как ц и Оар выражены через градиенты температуры и скорости газа. Но обычные выражения, линейные по этим градиентам, представляют собой лишь первые члены разложения по степеням малого отношения // —длины свободного пробега к характерным размерам задачи (его называют числом (нудсенаК). Если это отношение не очень мало, может иметь смысл введение поправок, учитывающих члены следующего порядка малости по // . Такие поправки возникают как в самих уравнениях движения, так и в граничных условиях к ним на поверхности обтекаемых газом тел. [c.67]

Другой метод определения коэффициентов упругости третьего порядка был использован для кубических кристаллов в работах Зигера и Бака 31 ] и Бейтмана и др. [301, В этих работах уравнения движения были представлены в виде разложения в ряд вблизи естественного состояния по градиентам деформации ди,п1дй , причем были оставлены все члены второго порядка, а величина П1 отсчитывалась от естественного состояния. Авторы подставили эти разложения в произвольные решения волнового уравнения, используя линейную теорию для вычисления различия значений величин в естественном и начальном состояниях, и в результате получили формулы для скоростей распространения в виде рУ = = 6 + тр. Оба подхода дают одинаковые значения (рУ )к. [c.129]

Если ставятся граничные условия типа Неймана с нулевым градиентом, то разложение проводится в ряд по косинусам. Если же градиент по нормали к границе отличен от нуля, д /дп = g x, у), то задача решается следующим образом (Уильямс [1969]). Теперь вспомогательная функция я]з> вводится следующим образом я) = О во всех внутренних точках, ф = +g(x, у) Ап на границах г = / и / = / и я] = —g x, у) Ап на границах г = 1 и / = 1. Эта функция я) является решением вспомогательного дискретизированного уравнения Пуассона у2я] 1 = с граничным условием 8i>y8n = g x, у) и с = О всюду, за исключением точек, смежных с границами, где = = у2я )1 ф 0. (В узле, отстоящем на две позиции внутрь от границы, У я] = О, поскольку я з> = О во всех соседних точках.) Если ввести я] = я15 — я]з> и = —то исходная задача сведется к нахождению решения конечно-разностного уравнения У я = с граничным условием бя1з 7бп = О, что можно сделать с помощью разложения по косинусам. Искомое решение имеет вид я з = я + я . [c.205]

Описание ТЛ на основе разложения (1) требует учёта производных ф по координатам (градиентов) [напр., в виде (ф ) - - 02(ф )) , И2 > 0]. Такой случай имеет место при описании волн зарядовой плотности, магнитной атомной структуры типа спиновой волны и др. ФП 2-го рода из высокосимметричной фазы фв= О в однородную низкосимметричную фазу фо= onst О происходит при Я2 — о, а в неоднородную (несо- [c.16]

Массив А[1 17], элементами которого являются А[Г при поступлении в первую зону вулканизации, °С А[2 размер сектора изделия вдоль линии теплового потока, м А[3]—линейная скорость поступления профильной заготовки в непрерывный вулканизатор, м/с А[4] — плотность резиновой смеси до начала процесса порообразования, кг/м А[5] — минимальная плотность пористой резины, получаемая для данной партии резиновой смеси, отнесенная к комнатной температуре изделия или образца, кг/м А[6] — параметр А кинетического уравнения (8.14), с А[7] — параметр 6 в том же уравнении, К А[8] — температура начала разложения порообразо-вателя Го, °С в том же уравнении А[9] — порядок процесса а в том же уравнении А[10] — коэффициент расширения пористой резины при нагревании Кр в уравнении (8.15), кг/(мЗ-К) А[11] — коэффициент температуропроводности резины, принимаемый приближенно одинаковым для монолитного и пористого материала, м / А[12] — коэффициент теплопроводности резиновой смеси до начала порообразования, Bt/(m-K) А[13] — А[15] — последовательно увеличивающиеся значения шага по времени АТ], Атг, Атз при интегрировании уравнения теплопроводности, выбираемые программным путем в зависимости от градиента температуры вблизи поверхности изделия, с А[16] — А[17] — два последовательно увеличивающихся значения градиента температуры, разграничивающие выбор шага по времени, причем большему градиенту соответствует выбор меньшего шага. [c.236]

В работе [42] при определении Л не использовалась модель структуры гетерогенной системы, а авторы основывались на разложении в ряд по малому параметру потоков j(r), градиентов 7 V( ") и коэффициентов проводимости Л (г). В данной группе методов необходимым условием определения Л является наличие малого параметра, вьщеле-ние которого возможно, если выполняются два условия [c.16]

Подъем температуры в печи в этот период следует замедлить, чтобы не создавать опасного градиента температур по толщине изделия, который может вызвать его разрушение. Летучие (остатки гидратной влаги и др.) удаляются полностью только при 1000—1020° С. При 900—1000° С нагрев замедляют для заверше-ния процессов дегидратации, декарбонизации и выгорания углерода, оставшегося после термического разложения органических веществ. [c.361]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...