ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод Пуанкаре из "Симметрии,топология и резонансы в гамильтоновой механике " Здесь ujk зависят лишь от медленных переменных у R , переменные X угловые (правые части периодичны по всем Хк с периодом 2тг другими словами, х G Т ), е — малый параметр. Многоточие обозначает члены порядка 2 по е. [c.177] В типичной ситуации множество Р, всюду плотно в К . [c.179] Обозначим через С (У ) класс функций, аналитических в области С К . Множество М С V назовем ключевым (или множеством единственности) для класса если любая аналитическая функция, равная нулю на М, тождественно обращается в нуль всюду в V. Таким образом, если аналитические функции совпадают на М, то они совпадают на всем V. Например, множество точек интервала Д С К является ключевым для класса С (Д) в том и только в том случае, когда оно имеет предельную точку внутри Д. Достаточность этого условия очевидна, необходимость вытекает из теоремы Вейерштрасса о бесконечном произведении. Отметим, что если М — множество единственности для класса функций СР У) (О р оо), то М плотно в V. [c.179] Для множеств Пуанкаре имеют место включения Ро С Р1 С С Рг С. .. С Рп-1 С В, где В — вековое множество, введенное в 10 гл. П. Ясно, что для ге1Мильтоновых систем в общем случае множество Ро состоит из изолированных точек. [c.183] Отметим, что если уравнения (1.15) являются уравнениями Уиттекера, полученными из автономных уравнений Гамильтона с гамильтонианом (1.12) понижением порядка, то множество Пуанкаре Р, приведенной системы является проекцией на плоскость = у2, , 2/п пересечения множества Пуанкаре Р1 исходной системы с поверхностью Яо(у1. у ) = /г. [c.184] При п 1 дополнение к множеству колмогоровских торов связно, поэтому непостоянную канторову лестницу построить уже нельзя это дополнение всюду плотно в фазовом пространстве возмущенной системы, и любая постоянная на нем непрерывная функция принимает всюду одно и то же значение. В частности, появляется принципиальная возможность наличия траекторий, всюду плотных в связной щели между колмогоровскими торами. Пе исключено, что на самом деле такая ситуация является типичной (обсуждение см., например, в [9]). Отсюда вытекало бы несуществование непостоянных непрерывных интегралов возмущенных вполне интегрируемых гамильтоновых систем. [c.186] Вернуться к основной статье