Частные случаи . Приближенные способы решений

Приближенные модели объектов на микроуровне. Точное решение краевых задач удается получить лишь для немногих частных случаев. Поэтому общий способ их решения, в том числе и в САПР, заключается в использовании различных приближенных моделей. В настоящее время наиболее широкое распространение получили модели на основе интегральных уравнений и модели на основе метода сеток. [c.11]

Известно еще несколько частных случаев, для которых получено точное решение системы уравнений пограничного слоя. В этих частных случаях исследовано взаимодействие потока с телами простой формы. Однако наибольший интерес представляет общий случай — взаимодействие потока жидкости с телом любой заданной формы. Именно такие задачи встречаются в инженерной практике. Для них разработаны приближенные способы решения уравнений пограничного слоя. [c.126]

В технической практике получили распространение различные, частично уже упоминавшиеся, приближенные способы решения осесимметричных задач, основанные на различных упрощающих предположениях и форме линий ток 1,— такие, например, как теория цилиндрической и конической ступеней в пределах зазоров между решетками (с учетом и без учета кривизны линий тока). Все эти способы содержатся как частные случаи в основных уравнениях осесимметричной задачи и ценою потери строгости постановки дают возможность получения обозримых решений, не требующих применения ЭЦВМ (Г. Н. Абрамович, 1953 М. Е. Дейч и Г. С. Самойлович, 1959 и др.). [c.148]

Точное решение дифференциальных уравнений пограничного слоя возможно только для ограниченного числа частных случаев. Поэтому разработаны приближенные способы расчета. Обычно проводят осреднение скоростей поперек пограничного слоя и по существу сводят задачу к одномерной. На этой основе строятся все практические приближенные способы расчета пограничного слоя. [c.150]

Лишь в некоторых частных случаях удается получить решение уравнения (23) в замкнутой форме. Обычно же приходится представлять интеграл этого уравнения бесконечными рядами или пользоваться для решения приближенными способами. [c.203]

Прежде чем перейти к изложению этого способа для общего случая плоского и осесимметричного пограничного слоя с наличием градиента давления вдоль стенки, поясним его сущность на случае обтекания плоской пластины в продольном направлении. Особенностью такого случая является отсутствие градиента давления вдоль стенки. Кроме того, для продольного обтекания плоской пластины мы знаем точное решение уравнений пограничного слоя ( 5 главы VII), что дает удобную возможность для проверки эффективности приближенного способа, хотя бы в рассматриваемом частном случае. [c.192]

Заключительные замечания. В частных задачах интегрирование дифференциального уравнения (29.2) может быть достигнуто тем или иным способом последовательных приближений. Имеется решение задачи о концентрации напряжений, вызванной мелким пазом на поверхности скручиваемого стержня 1 ]. В ряде случаев приближенное решение можно построить при помощи вариационного метода (см. 68). [c.130]

Oho отличается от (23.5) только наличием правой части. Очевидно, что все сказанное об уравнении (23.5) относится и к (29.4), т. е. все точные и приближенные методы, описанные в 23, применимы и в рассматриваемом случае. Отличие будет состоять лишь в необходимости получения частного решения неоднородного уравнения, что можно сделать известными способами [90], если найдено точное решение однородного уравнения. [c.145]

Одномерные и квазиодномерные задачи механики описываются системами обыкновенных диф ренциальных уравнений. К одномерным можно отнести задачи о деформировании стержней, балок, а также круглых пластин и оболочек вращения при осесимметричном нагружении. В ряде случаев для трехмерных и двумерных задач теории упругости можно применить метод разделения переменных и решать задачу в рядах Фурье или методом Канторовича. Задачи, для которых тем или иным способом возможно приближенно перейти от уравнений в частных производных к обыкновенным уравнениям, называются квазиодномерными. Для расчетов на ЭВМ наиболее удобной формой представления разрешающих дифференциальных уравнений является система дифференциальных уравнений первого порядка, или каноническая система. Для таких систем разработаны стандартные программы интегрирования, а также различные вычислительные приемы, обеспечивающие достаточную точность решения краевых задач [20, 33]. [c.85]

Если нагрузка и скорость вращения шипа зависят от времени, задача пересматривается способом, идентичным для случаев подшипников со вкладышем полного охвата ( 3.4). Нужно отметить, что в настоящем случае направление нагрузки (угол а) может меняться только в довольно узких пределах. На этот раз влияние приближения или удаления поверхностей (частное решение р) (3.111) больше, чем [c.158]

В случае атома решение этой задачи является частным пе потому, что мы пе знаем принципы, по которым следует искать точное решение, а потому, что математические вычисления слишком сложны, чтобы их можно было эффективно провести. Частное решение основывается, как хорошо известно, па следующей идее. Атом состоит из центрального ядра с положительным зарядом и из электронов. Обратим теперь внимание на один определенный электрон остальные Z — 1) электронов образуют род облака отрицательного электричества, окружающего ядро. Тогда рассматриваемый электрон движется в поле, созданном зарядом Ze ядра и отрицательным электрическим зарядом — — 1)е остальных электронов. Приближение, которое всегда делают и которое приводит к известному качественному пониманию, а часто и к количественному определению свойств атома, состоит в том, что поле, происходящее от многочисленных и быстро движущихся электронов, рассматривают как центральное статическое поле. Таким способом задача для каждого электрона приводится к задаче об одной частице, движущейся в заданном потенциальном поле. Эту задачу относительно просто [c.73]

В разд. 1.2 описаны исходные допущения модели и дана постановка задачи. Б разд. 1.3 дан вывод основных уравнений, исходя из принципа возможных перемещений Лагранжа, а также сформулированы граничные условия задачи. Указан способ преобразования исходной системы уравнений к разрешающей системе, основанный на введении функций напряжений с помощью соотношения (1.21). Такой анализ несколько отличается, судя по литературе, от наиболее распространенных подходов и, в частности, от подхода, изложенного в статье [8]. В разд. 1.4 решается задача для пластины с двумя ребрами и различными граничными условиями. Даны численные расчеты. В разд. 1.5 содержится решение системы разрешающих уравнений для случая, когда число ребер произвольное. Использован известный способ решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, приспособленный к специфике данной системы. В разд. 1.6 рассмотрены частные случаи пластин с пятью и шестью ребрами. Приведены подробные численные расчеты и дан анализ влияния параметров пластины и ребер иа характер напряжений. В разд. 1.7 рассмотрена задача оптимального подкрепления пласти-пы произвольным числом ребер переменного сечения. Закон изменения сечения ребер по их длине определяется из условия, что напряжения в ребрах не меняются по длине каждого ребра. В разд. 1.8 и 1.9 описан метод конечных разностей Лля приближенного расчета напряжений в пластине с ребрами, сечение которых лроизвольно изменяется по длине. Точность метода иллюстрируется а примере. В последнем разделе излагается способ приближенного учета поперечной сжимаемости пластины между ребрами, который улучшает картину напряжений в окрестности угловых точек пластины. [c.7]

В тех случаях, где теория упругости не дает точного ответа на по ставленную задачу, мы считали необходимым указывать на приближенные методы решения вопроса. Приближенным способам интегрирования дифференциальных уравнений, встречающихся в теории упругости, мы придаем большое значение и полагаем, что решение целого ряда весьма важных технических задач зависит от развития этих методов. В нашем курсе мы считали необходимым хотя бы вкратце коснуться известного приема решения уравнений математической физики, предложенного Вальтером Ритцем , и применили этот прием при решении плоской задачи и при исследовании изгиба и кручения призматических стержней. Отметили вычислительный метод решения уравнений в частных производных, разработанный Л. Ричардсоном а также вычислительный и графический методы, предложенные К. Рунге и разработанные его учениками [c.10]

Метод обобщенных рядов Фурье. Вводные замечания. Рассмотренные в предыдущих параграфах численные примеры показывают, что метод канонических функциональных уравнений может быть использован для получения приближенных решений граничных задач. Однако общего доказательства сходимости процесса приближения, применяемого в этом методе, мы не имеем, и теоремы 19 дают доказательство сходимости лишь в частных случаях. Теперь мы укажем другой способ приближенного решения граничных задач, в котором нам удалось доказать сходимость. Этот метод позволит получить решения в виде р.чдов по некоторым полным системам ортогональных функций и конечные их отрезки представляют приближения к точным решениям, [c.394]

Решение системы конечно-разностных уравнений с ошибочными граничными условиями может давать приближение к решению системы дифференциальных уравнений в частных производных в некотором полезном смысле, однако в математическом смысле в этом случае аппроксимация отсутствует при Длг О решение системы конечно-разностных уравнений не стремится к решению исходной системы дифференциальных уравнений в частных производных. Любопытно, что математики не обращали внимания на применение таких ошибочных граничных условий. Только сравнительно недавно появились статьи о глобальном влиянии подобных переопределенных граничных условий, см. Крейс и Лундквист [1968] и Ошер [19696]. Удобный способ отражения можно до некоторой степени спасти, применяя его к уравнениям неразрывности и энергии и принимая специальные меры для обращения в нуль члена d puv)/dy в уравнении количества движения в проекции на ось х. Это даст непротиворечивые граничные условия на прямой стенке. [c.393]

Для обратного преобразования (11.66) не всегда удается найти точные значения, как это было сделано для трех случаев расположения датчика на полуограниченном теле. Если же точное преобразование неизвестно, можно воспользоваться любым из способов получения асимптотических значений [2]. Эти операции требуют определенной осторожности, так как не всякие асимптотические и даже сходящиеся разложения обязательно приводят к справедливым результатам. Хотя из теоремы Лерха и следует, что приближенным изображениям соответствуют приближенные оригиналы, мера такого соответствия не установлена. Поэтому каждое решение целесообразно сводить к частным случаям, ихмеющим точные решения, или иметь представительное подтверждение соответствия решений для каждой группы. [c.76]

В общем случае система дифференпиальных уравнений движения ИСЗ в конечном виде не интегрируется. Поэтому прн разработке аналитических методов прогноанрования применяют различные способы получения приближенных решений. Для этих целей обычно используют методы приближенного интегрирования уравнений Лагранжа или стремятся найти такой вид потенциальной функции (потенциала тяготения), аппроксимирующей гравитационное поле Землн, которая допускала бы решение дифференциальных уравнений в квадратурах (через конечные аналитические аависимости). Получить решение в квадратурах удалось пока только в иекоторых частных случаях — для потен-пиалов тяготения, довольно полно учитывающих полярное сжатие Земли и частично аномалии поля сил притяжения [75]. [c.189]

Относительно природы самой основной задачи здесь нужно сделать одно существенное замечание. Вспомним, что если мы исключим частные законы сопротивления, плохо соответствующие действительности, то не сможем найти интегралы основной задачи точно, а определим их только приближенно, выводя из баллистических таблиц. Если некоторая функция определена посредством графика, вычерченного непрерывно механическими средствами или полученного путем графической интерполяции из какого-нибудь разрывного ряда точек, заданного в виде числовых таблиц, то интегрирование можно будет выполнить при помощи подходящих способов суммирования, с приближением, сравнимым с тем, которое имело место при построении графика. Наоборот, операция дифференцирования, поскольку требуется, чтобы от точки к точке оценивалось направление касательной, порождает неуверенность в том, что мы не придем таким путем к значительно ббльшим ошибкам. Поэтому в баллистическом случав нельзя прийти к приемлемым результатам, выводя общий интеграл уравнений (41) и (42) из интеграла основной задачи через интегралы соответствующих однородных уравнений (в вариациях). В этом случае лучше прямо получить последний интеграл, применяя к однородным уравнениям те же сгмые способы табличных и графических приближений, которые служат для решения основной задачи. [c.115]

Перечисленные способы наиболее точны, но довольно трудоемки. В частных задачах компоновки иногда можно принимать гораздо более простые зав,иоимости, приводящие к приближенному решению с достаточной для практики точностью. Это следует из того, что во многих случаях затруднительно сформулировать понятие оптимальная компоновка , и указать, какие преимущества залол ены в оптимальном решении. Оценочная функция для таких частных задач может быть представлена приблизительной закономерностью, устанавливаемой разработчиками алгоритма а основании опыта, и уточнена экспериментально на ЭЦВМ. Рациональность конструкции может быть достигнута также перебором вариантов конструктивных исполнений компоновок от лучшего к худшему. Такой прием принят в алгоритме конструирования системы выталкивания совмещенного штампа, приведенного ниже. Наконец, в отдельных задачах можно считать, что влияние параметров as, bs, as на функцию и не играет роли, достаточно только выполнения условий 1—4. Оценочная функция в данном случае представляет собой постоянную величину. В большинстве случаев оценочная функция будет носить приближенный характер, т. е. будет являться квазиоценочной. [c.284]

В основе спектрального метода лежит стандартный математический аппарат, позволяющий приближенно решать дифференциальные уравнения в частных производных. Решение ищется в виде разложения по ряду базисных функций от пространственных переменных с конечным числом членов ряда п. Эффективный способ применения спектральных методов к решению нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих гидродинамические процессы, предложен Орсегом 30]. Преимуществом спектрального метода является возможность точного удовлетворения граничных условий при правильном подборе базисных функций, впрочем, только для областей с простой геометрией. Кроме того, этот метод в определенных условиях позволяет получить более точное решение по сравнению с методом, основанным на интегрировании по контрольному объему. Однако применение спектрального метода к решению системы уравнений Навье—Стокса встречает значительные трудности. Число базисных функций п вычисляется как отношение наибольшего характерного геометрического масштаба поля течения к наименьшему. Например, в случае течения в ограниченной области пространства наибольший масштаб имеет порядок размеров этой области, а наименьший определяется толщиной вязкого слоя вблизи стенки. Для сложных пространственных задач и течения с большими числами Рейнольдса указанное отношение может быть достаточно велико. Очевидно, ошибка численного решения уменьшается с ростом числа базисных функций п. Приемлемая точность решения часто не может быть достигнута из-за непомерно возрастающего с ростом п объема вычислений. Кроме того, при применении спектрального метода ошибка решения носит глобальный характер (т.е. появление погрешности решения в какой-либо точке приводит к распространению ошибки на всю область независимых переменных). С увеличением степени нелинейности уравнений эффективность спектральных методов снижается. Поэтому спектральные методы используются в основном для исследования однородной или изотропной турбулентности или для расчета течения в областях простой формы. [c.197]

Другая сторона этой проблемы состоит в том, что при наличии локальной кривизны границ или нарушении их гладкости (например, в области сбросов), возникают эффекты преломления, петель и дифракций. Сложность расшифровки волновых картин обычно состоит в том, что в большинстве случаев поле регулярных волн в этих зонах маскируется сильным фоном слаборегулярных волн-помех, образующихся вследствие рассеяния и отражения от деформированных фрагментов границ в нарушенных зонах. В таких условиях разделить отражения от волн, связанных с плоскостями скольжения, петель и дифракций часто невозможно, поэтому реализуются лишь частные приближенные решения построения модели среды. Использование средств математического моделирования для расшифровки строения нарушенных зон пока малоэффективно из-за ряда ограничений, присущих решению прямых задач как лучевым способом, так и на основе волнового уравнения. Ситуация будет резко ухудшаться, если зона нарушений нависает над залежью. Совершенно очевидно, что в таких условиях динамический анализ отражений будет существенно затруднен. [c.47]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...