Компоненты напряжений в криволинейных координатах

С7 —нормальные компоненты напряжений в криволинейных координатах. [c.19]

Компоненты напряжений в криволинейных координатах [c.195]

Подставим функцию (328) в выражения для компонентов напряжений в криволинейных координатах [c.192]

Аналогичным образом преобразуются компоненты напряжений. Для пересчета компонент напряжений в криволинейных координатах справедливы соотношения [c.223]

Введение (86).— 42. Усилие на плоском элементе (86). — 43. Усилия на поверхности и массовые силы (87). — 44. Уравнения движения (87). — 45. Равновесие (88). — 46. Равновесие усилий, приложенных к поверхности элемента объема (89).—47. Характеристика напряженного состояния в данной точке (89).— 48. Единицы напряжения (91).— 49. Преобразование компонентов напряжения (91).— 50. Поверхность напряжения (92).— 51. Различные типы напряжения (92).— 52. Разложение любого напряжения на всестороннее равномерное растягивающее и срезывающее напряжения (94).— 53. Дополнения (95).— 54. Уравнения движения и равновесия, выраженные в компонентах напряжения (96). — 55. Постоянное и равномерно изменяющееся напряжение (97).—56. Замечания, относящиеся к уравнениям в компонентах напряжения (98). — 57. Графическое представление напряжений (99).—58. Уравнения в компонентах напряжения в ортогональных криволинейных координатах (100). — 59. Частные случаи уравнений в компонентах напряжения в криволинейных координатах (102). [c.8]

Уравнения в компонентах напряжения в криволинейных координатах 101 [c.101]

Частные случаи уравнений в компонентах напряжения в криволинейных координатах. I) В случае цилиндрических координат/-, в, 2 (ср. 22) уравнения в компонентах напряжения имеют вид [c.102]

В формулах (9.281), связывающих компоненты тензора напряжений в криволинейных координатах и в декартовых координатах, в дан- ом случае необходимо заменить 1 на р, а g на 0. Тогда на основании [c.307]

Обозначения с аналогичными индексами применяются для компонентов тензоров напряжения и деформации и вектора перемещения в криволинейных координатах. Другие обозначения приводятся по ходу изложения. [c.15]

Найдем, наконец, компоненты напряжения в наших криволинейных координатах. Будем эти компоненты обозначать через дд, 00, дй, понимая под этим следующее если взять прямолинейные, прямоугольные координаты О х у такие, что ось О х совпадает с осью (д), а ось О у — с осью (О), то [c.179]

Заслуживает внимания применение общего уравнения динамики к проблеме приведения [3.43]. В основе метода лежит аппроксимация искомых функций конечными рядами (не обязательно степенными), а затем реализация вариационного принципа, приводящего к приближенным дифференциальным уравнениям и соответствующим краевым условиям. Этим методом Д. В. Бабич в 1966 г. построил динамическую теорию оболочек в криволинейных координатах с учетом несимметричности тензора напряжений [3.14]. Он исходил из аппроксимации компонент вектора перемещений и вектора вращений конечными степенными суммами и из вариационного принципа Гамильтона—Остроградского и вывел дифференциальные уравнения движения и естественные краевые условия. [c.186]

Полярные координаты и соответствующие им компоненты напряжения оказались весьма полезными для задач с границами в виде концентрических окружностей, рассмотренных в главе 4. Напряжения и перемещения на таких границах зависят только от 0, поскольку г—величина постоянная. Когда границы определяются другими кривыми, например эллипсами, удобно использовать криволинейные координаты, одна из которых вдоль границы имеет постоянное значение. [c.192]

Отсюда непосредственно можно вычислить следующие комбинации физических компонент тензора напряжений в рассматриваемой криволинейной системе координат [c.503]

Ее содержание повторено и дополнено формулами для компонент тензора напряжений в ортогональных криволинейных координатах в книге [c.913]

Уравнение равновесия (1.6) имеет и другие общие решения [3.3, 3.9], которые могут служить основой для других разновидностей функционала Кастильяно в функциях напряжений. В частности, ряд разновидностей общего решения (1.7) можно получить, полагая некоторые компоненты тензора функций напряжений ф равными нулю [3.3]. В декартовой системе координат существует пять, а в криволинейной системе — больше различных общих решений, в которых напряжения выражены через три компонента [c.60]

Для линейно-упругого криволинейно-анизотропного материала в ортогональных координатах физические компоненты тензора напряжений и линеаризованного тензора деформации связаны законом Гука [81] (i,j, к, 1,а,Р = 1,2,3) [c.70]

В этой книге излагается общая теория криволинейных координат и ее применения в механике, в учении о теплоте и теории упругости разъясняется преобразование уравнений теории упругости к криволинейной системе координат и в качестве примера исследуется деформация сферической оболочки. В заключительных главах Ламе подвергает критическому анализу принципы, на основе которых строится вывод основных уравнений теории упругости. Теперь он уже не одобряет вывод уравнений по способу Навье (с привлечением гипотезы молекулярных сил), а отдает предпочтение методу Коши (в котором используется лишь статика твердого тела). Затем он принимает гипотезу Коши, согласно которой компоненты напряжения должны быть линейными функциями компонент деформации. Для изотропных материалов принятие этой гипотезы приводит к сокращению кисла необходимых упругих постоянных до двух, находимых из испытаний на простое растяжение и простое кручение. Таким путем все не- [c.144]

Уравнения Рейнольдса (11), так же как и входящие в них компоненты турбулентных напряжений, можно было бы представить в любой системе криволинейных координат для дальнейших целей достаточно уравнений в декартовых координатах. [c.600]

Для одной и той же физической точки тензор напряжений S с компонентами в эйлеровых декартовых координатах и компонентами в лагранжевых координатах х (при t>io являющихся криволинейными) —один и тот же физический объект. Это значит, что на одной и той же площадке с единичной нормалью v = n, представленной в реперах и е , [c.108]

Напомним формулы, выражающие компоненты напряжения и смещения в соответствующих криволинейных координатах, через функции Ф ( и Т (Р комплексной Переменной ( 50) [c.464]

Преобразования к ортогональным криволинейным координатам. Во многих приложениях изложенной здесь теории необходимо иметь выражения для компонентов напряжений и переме-ш ений в ортогональной криволинейной системе координат (I, т]), которую будем определять с помош,ью конформного преобразования Z = ш ( ), где = I -t- щ. Рассмотрим сначала прямоугольные оси Рп, Ps, образованные нормалью п [c.92]

На основании соотношений (78) предполагается, что все величины, зависящие от г, 0 и Р, можно разложить в ряд по степеням е. Следовательно, компоненты напряженного состояния в естественных криволинейных ортогональных координатах представимы в виде [c.55]

Компоненты тензора э. при преобразовании координат, очевидно, не меняются (б = б ), и поэтому формула (1.1) для смешанных компонент тензора напряжений в идеальной жидкости верна не только в декартовой, но и в любой криволинейной системе координат. [c.161]

Будем исходить из вариационного уравнения Лагранжа в форме (16). Заменим в этом уравнении тензор напряжений через тензор деформации по формуле (7), учитывающей влияние температуры. Компоненты тензора деформаций в криволинейно-ортогональной системе координат равны [40] [c.24]

Широкое распространение в механике получил тензор напряжений Пиола — Кирхгоффа, который вводится по формуле, аналогичной (1.80), но в качестве базиса для определения компонентов выбирается локальный базис в деформированном теле, соответствующий криволинейной системе координат с базис- [c.19]

В гл. 4 была рассмотрена в элементарном изложении теория устойчивости упругих стержней. Особенность этих задач состояла в том, что уравнения равновесия составлялись для деформированного состояния стержня, т. е. по существу речь шла о геометрически нелинейных задачах. Вариационные уравнения, описанные в 8.7, эквивалентны геометрически линейным уравнениям теории упругости, для которых доказана теорема единственности. Поэтому никакие задачи устойчивости с помощью этих вариационных уравнений решать нельзя. Здесь мы постараемся распространить вариационные уравнения на геометрически нелинейные задачи. Существо дела состоит в том, что уравнения статики должны составляться не в исходной системе координат, например декартовой, а в той криволинейной системе координат, в которую превращается исходная вследствие деформации. Прямой путь получения таких уравнений довольно сложен, поэтому нам будет удобно вернуться к выводу 7.4, где напряжения определялись по существу как обобщенные силы, для которых компоненты тензора деформации служили обобщенными неремещениями. Пусть тело, ограниченное поверхностью [c.390]

В связи с этим посмотрим, как преобразуются компоненты тензора напряжений и вектора перемещений в плоскости z при переходе от декартовой системы координат х и у к указанной криволинейной системе координат установим вид зависимости компонент тензора напряжений и вектора перемещений в этой криволинейной системе координат от вспомогательной комплексной переменной и сформулируем граничные условия, которым должны удовлетворять искомые функции комплексного переменного ф (г) и (г) в плоскости на единичном круге, соответствующем границе С в плоскости 2. [c.500]

Положительные стороны МГЭ по сравнению с МКЭ, связанные с понижением размерности задачи, определяют целесообразность его применения к решению пространственных задач термоупругости, особенно в случае постоянных упругих характеристик материала тела. Представим поверхность тела S совокупностью A/ s двумерных граничных элементов. Эти элементы, как и в случае решения пространственных задач теплопроводности (см. 4.5), целесообразно выбрать в виде треугольников или четырехугольников (плоских или криволинейных) с аппроксимацией в пределах каждого элемента распределений компонентов перемещений Ui (N) и вектора напряжений Pi (N) постоянными значениями или же зависимостями от координат точки N в виде полиномов. Если в пределах т-го граничного элемента с площадью S,n считать Ui (N) (i Om и pt (М) = = pi)m при N S, , то после отождествления точки Мд с узловой точкой граничного элемента интегральное уравнение (1.108) нетрудно свести к матричному уравнению вида (6.46), в котором теперь и и р — матрицы 3Ns X 1 (вектор-столбцы) с компонентами соответственно ( - )+,= ( Om и P3(m-l)+i = (Pi)r , причем i = 1, 2, 3 и m = 1,2,.,., Ns — матрица SN X 1 (вектор-столбец) с компонентами [c.253]

Напряжения (см. рис. 6.12, 6.13) следует понимать как физические компоненты — составляющие разложения тензора напряжений а по единичным векторам основного косоугольного базиса местной криволинейной системы координат а = и, a =v, а =2, в которой описана геликоидальная оболочка. [c.196]

Компоненты напряжения в системе координат х, у теперь можно найти из производных от ф и ф (Q по г. Криволинейные компоненты, отвечающие эллипсам на плоскости г, на которые отображаются окружности р> 1, а также ортогональные им гиперболы, на которые отображаются лучи О— onst, можно получить по формулам типа (92) и (93) или (96) и (97). Перемещения определяются из уравнений (86) или (98). [c.226]

Для определения касательных напряжений остается обратиться к формуле (1.2), осуществив переход к переменной г. Наибольший интерес представляет касательное напряжение в направлении, параллельном контуру. Получим требуемую формулу, не осуществляя поворота осей координат. Введем криволинейные координаты, соответствующие при конформном отображении семейству концентрических окружностей р = onst и пучку прямых 0 == onst, проходящих через начало координат. Пусть А — произвольный вектор с компонентами в декартовых координатах Ах и Ау. Эти же компоненты в криволинейных координатах обозначим Ар и Де. Тогда очевидно равенство [c.363]

Разделы, касающиеся метода фотоупругости, двумерных задач в криволинейных координатах и температурных напряжений, расширены и выделены в отдельные новые главы, содержащие многие методы и решения, которых не было в прежнем издании. Добавлено приложение, относящееся к методу конечных разностей, в том числе к методу релаксации. Новые параграфы, включенные в другие главы, относятся к теории розетки датчиков деформаций, гравитационным напряжениям, принципу Сен-Венана, компонентам вращения, теореме взаимности, общим решениям, приближенному характеру решений при плоском напряженном состоянии, центру кручения и центру изгиба, концентрации напряжений при кручении вблизи закруглений, приближенному исследованию тонкостенных сечений (например, авиационных) при кручении и изгибе, а также к круговому цилиндру при действии пояскового давления. [c.14]

В параграфе 6.1 хотя и кратко, но систематически изложены основы тензорного анализа. В параграфах 6.2—6.5 полученные в предыдущих главах основные зависимости переписываются в криволинейных координатах. Особенностью изложения является использование двойных тензоров, один из индексов компонент которых отнесен к недеформированным материальным координатным осям, а другой — к деформированным. Использование двойного тензора напряжений дает возможность провести дифференцирование и удовлетворить силовым граничным условиям в неде-формированной конфигурации тела, положение которой заранее известно. При этом полученные зависимости (без дополнительного перепроектирования) отнесены к более удобным во многих случаях деформированным материальным осям. Симметричность компонент двойного тензора облегчает формулировку статикогеометрических гипотез. [c.80]

Уравнения в компонентах напряжения в ортогоиа.чьиых криволинейных координатах ). Искомые уравнения можно получить,если найти преобразованное [c.100]

Для получения уравнений рацноаесия в компонентах напряжения В) мы выбираем ту же неподвижную систему координат и Ja мaтpивaeм напряжение на гранях криволинейного параллелепипеда, ограниченного поверхногтями а, а + 8а, р, р83, Т> Т+ 7 фиг. 3). Обозначим пЛощадь граней а, р, у через Д1, Д3, т гда [c.662]

Компоненты напряжения можно получить непосредственно, беря вторые производные от обеих частей соотношения (85). Однако, имея в виду последуюш,ие приложения к криволинейным координатам, лучше поступить РП1ым образом. Диф<1зереицируя равеистБО (в) по л", получаем [c.188]

Уравнения (IX.3) или (IX.6) будем использовать при определении напряжений в пологих оболочках, ослабленных криволинейными трещинами. Многочисленные экспериментальные исследования напряженного состояния возле отверстий в оболочках различной формы показывают, что возмущения в напряженном состоянии около отверстий имеют локальный характер. Величина зоны возмущения зависит как от геометрии оболочки, величины и формы отверстия, так и от нагрузки. Внутри зоны возмущения компоненты усилий и моментов, которые характеризуют дополнительное напряженное состояние в оболочке, вызванное наличием отверстия, представляют собой быстрозатухающие функции координат. Для описания этих функций Г. Н. Савин [186] предложил применять уравнения состояний с большим показателем изменяемости (см. [33], с. 146), совпадающие с уравнениями теории пологих оболочек (IX.3). Поэтому полученные на основе уравнений (IX.3) решения [c.272]

Для одной и той же физической точки тензор напряжений 5 с компонентами а - в эйлеровых декартовых координатах и компонентами — в лагранжеиых координатах х (при > о, являющихся криволинейными) является одним и тем же физическим объектом. Это значит, что.на одной и той же площадке с единичной нормалью л- = п, представленной в реперах э и ей [c.107]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...