Исследование устойчивости по первому приближению

Тогда для исследования устойчивости по первому приближению составляют систему, получаемую из (И ) отбрасыванием нелинейных слагаемых (уравнения в вариациях) [c.652]

Как и в теории малых колебаний, примем за начало отсчета положение равновесия. При исследовании устойчивости по первому приближению достаточно применить выражение для R, составленное с точностью до членов [c.180]

В настоящее время для исследования устойчивости имеется ряд методов, в частности, два метода Ляпунова, в которых используется так называемая функция Ляпунова ), отыскиваемая применительно к исследуемой системе. Общих методов отыскания функций Ляпунова для нелинейных систем не существует. На этом самостоятельном вопросе останавливаться не будем. Обсудим лишь исследование устойчивости по первому приближению, используя при этом теоремы Ляпунова. [c.72]

Исследование устойчивости по первому приближению для неавтономных систем значительно сложнее, чем для автономных, и на нем не останавливаемся. [c.75]

Исследование устойчивости по первому приближению 72 [c.476]

Исследование устойчивости по первому приближению. При исследовании устои- чивости по первому приближению правые части дифференциальных уравнений воз-f [c.38]

Таким образом, для исследования устойчивости по первому приближению достаточно определять знаки вещественных частей корней характеристического уравнения. Это можно сделать, не вычисляя корней, с помощью критерия Рауса—Гур-вица (см. т. 1). [c.39]

Для неавтономных систем (р. и Xf явно зависят от t) задача исследования устойчивости по первому приближению существенно усложняется. О свойствах решения системы дифференциальных уравнений возмущенного движения в этом случае судят по характеристичным числам. [c.39]

Исходя из Теоремы 1, можно предложить следующий метод исследования устойчивости по первому приближению невырожденного периодического движения с ударами Линеаризуем систему (7) [c.246]

Сравнивая приведенное здесь решение с решением этой задачи в 2.7, видим, что применение теорем Ляпунова об устойчивости по первому приближению может существенно упростить исследование. [c.113]

Первый метод, говоря словами Ляпунова, сводится к непосредственному исследованию возмущенного движения и основан на изучении общих или частных решений дифференциальных уравнений (Ь). При выяснении важнейшего вопроса о том, когда можно судить об устойчивости по первому приближению, т. е. ограничиваясь в правых частях уравнений (Ь) линейными членами, требуется изучить поведение решений однородной линейной системы [c.125]

Случай Л =0. В этом случае диск представляет собою консервативную систему. Корни характеристического уравнения (3.26), не считая двух нулевых корней, оказываются либо действительными (и тогда движение диска неустойчиво), либо чисто мнимыми сопряженными. В последнем случае обычно считают, что система обладает консервативной устойчивостью. Однако с точки зрения теории устойчивости по первому приближению (см. 1) последний случай является так называемым сомнительным случаем Ляпунова и поэтому требует дальнейшего исследования. Это исследование было проведено в 2 гл. II. [c.310]

ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ. Заключения об устойчивости, сделанные на основании исследования линеаризованных уравнений возмущенного движения системы, не всегда остаются в силе для исходной (неупрощенной) системы. Устойчивость или неустойчивость последней определяется во многих случаях как раз отбрасываемыми при линеаризации нелинейными членами. Рассмотрим, например, задачу об устойчивости невозмущенного состояния системы [c.441]

Основными подходами к исследованию устойчивости являются 1) второй, или прямой, метод Ляпунова 2) теория устойчивости по первому приближению 3) частотная теория абсолютной устойчивости нелинейных регулируемых систем. Первые два подхода, наиболее общие и распространенные в прикладных задачах, излагаются ниже применительно к автономным сосредоточенным системам. Частотные критерии абсолютной устойчивости подробно изложены в литературе по теории автоматического регулирования, в частности в монографиях [7,14]. [c.29]

Таким образом, исследование по первому приближению позволяет окончательно ответить на вопрос об устойчивости движения в тех случаях, когда корни характеристического уравнения имеют отрицательную или положительную вещественную часть. [c.652]

Полученное условие устойчивости справедливо не только для линейных, но и для линеаризованных уравнений независимо от членов выше первого порядка малости. В этих случаях говорят об устойчивости движения по первому приближению (теорема Ляпунова) . Однако в случае нулевых или чисто мнимых корней линеаризованного уравнения требуется дополнительное исследование устойчивости. [c.86]

Ссылка автора на теорему Ляпунова ошибочна, а его точка зрения на значение метода малых колебаний при рассмотрении частных практических вопросов может ввести читателя в заблуждение. Метод малых колебаний приводит к исчерпывающему ответу, если все корпи характеристического уравнения имеют действительные отрицательные части или в том случае, когда хотя бы один из них имеет положительную вещественную часть. Если же имеются корни, действительные части которых равны нулю, то нельзя судить об устойчивости и неустойчивости по первому приближению, так как все будет зависеть от членов более высокого порядка в уравнениях возмущенного движения. Если псе корпи чисто мнимые, то требуется дополнительное исследование. Обычно это встречается при исследовании устойчивости консервативных систем, по в этих случаях можно вывести необходимое заключение из анализа интеграла энергии. Если в рассмотрение входят диссипативные силы, что обычно и бывает при решении технических проблем, то можно потребовать, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные действительные части. В тех случаях, когда все же нельзя удовлетворить этому условию и когда входит, например, один нулевой корень, следует обратиться к исследованиям особых случаев" Ляпунова или изменить постановку задачи, что иногда бывает возможно. [c.425]

Устойчивость траекторий (1). Впервые понятие устойчивости было установлено для системы, выведенной из положения равновесия ( 9.1). В 9.9 мы это понятие применили при исследовании равновесия гироскопической, системы, а в 9.6—при исследовании установившегося движения гироскопической системы. Наконец, при изучении уравнений в вариациях ( 23.1) мы ввели понятие устойчивости движения по первому приближению. [c.471]

Если же среди корней характеристического уравнения вещественная часть по меньшей мере одного из них равна нулю, при отрицательных остальных, то исследование устойчивости по уравнениям первого приближения невозможно и необходимо в исследовании учитывать и члены высшего порядка малости, т. е. учитывать X]. [c.74]

В своем классическом труде Общая задача об устойчивости движения А. М. Ляпунов развил два метода решения задач об устойчивости движения так называемый прямой метод и метод исследования по первому приближению . [c.259]

При исследовании устойчивости стохастических систем используется, в частности, метод функций Ляпунова. В этом случае важную роль играет введенный ранее оператор L, имеющий смысл полной производной по времени в силу динамических уравнений. Условия устойчивости по вероятности в смысле указанного выше определения сводятся к существованию положительно определенной функции V такой, что Z, F < 0. Ввиду известных трудностей применения этого метода, связанных с нахождением функции V, часто пользуются упрощениями в постановке задач. При этом можно рассматривать малые случайные возмущения, для которых малы вероятности больших флуктуаций. Условия устойчивости для задач такого рода являются более простыми и (при ограниченности первых двух моментов воздействий) сводятся к ограничению снизу спектра матрицы невозмущенной системы некоторой простой функцией этих моментов. Можно также рассматривать устойчивость по линейному приближению. Хотя полученные в та- [c.348]

Исследования А. М. Ляпунова относятся к постановке и рассмотрению общей задачи устойчивости движения, определяемого системой дифференциальных уравнений. В своей знаменитой докторской диссертации, опубликованной впервые в 1892 году, Ляпунов (1] дал строгое определение понятия устойчивости, указал случаи, когда вопрос об устойчивости решается по первому приближению, а также рассмотрел особые случаи, когда по первому приближению об устойчивости судить невозможно. [c.6]

Если бы все корни уравнения (29.7.21) были простые и чисто мнимые, то можно было бы заключить, что исходное равновесное решение устойчиво по крайней мере в первом приближении. Однако на данной стадии исследования такого заключения сделать нельзя вследствие наличия множителя и повторения множителя (Р + со ) в левой части уравнения (29.7.21). В следующем параграфе мы покажем, каким образом порядок системы можно понизить с 12 до 6. Для приведенной системы собственные значения будут определяться уравнением шестой степени [c.584]

Системы автоматического регулирования обычно описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, в связи с чем возникает вопрос в какой мере результат исследования устойчивости линеаризованной системы, т. е. по линеаризованным уравнениям, или, как иначе говорят, по уравнениям первого приближения, будет справедлив для исходной нелинейной системы (при не слишком больших отклонениях) Этот вопрос был полностью решен знаменитым русским математиком А.М. Ляпуновым в 90-х годах прошлого века, когда он сформулировал и доказал две теоремы, которые здесь приведем без доказательства. [c.212]

Исследования [32] показали, что нагрузочная способность муфты ограничивается потерей устойчивости и усталостью резиновой оболочки. В первом приближении можно рекомендовать расчет прочности оболочки по напряжениям сдвига в сечении около зажима (по Т)]) [c.388]

Результатами предыдущего параграфа иногда пользуются для приближенной оценки устойчивости сжатых поясов открытых мостов. Проф. Ф. С. Ясинский поставил себе задачей более подробное исследование этого же вопроса. Он рассматривает сжатый пояс равномерно нагруженной фермы с параллельными поясами (рис. 57). В таком случае можно считать, что усилия в раскосах возрастают по направлению от середины пролета к опорам по линейному закону, и положить, что верхний пояс сжимается непрерывно распределенными усилиями, интенсивность которых изменяется по закону, представленному на рис. 57, б заштрихованной площадью. Через Q обозначена вся нагрузка, приходящаяся па ферму к — высота фермы. Предположим, что опорные стойки АА и ВВ устроены так, что верхние их точки А и В совершенно не могут перемещаться в направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка. Что же касается промежуточных стоек, то они сравнительно гибкие, и мы для простоты допустим, что жесткость их при изгибе в направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка, одинакова. В таком случае верхний пояс можно рассматривать как стержень с опертыми концами, сжатый непрерывно распределенными усилиями, интенсивность которых представлена на рис. 57, б. В этом виде вопрос об устойчивости сжатых поясов открытых мостов впервые был поставлен и разрешен Ф. С. Ясинским Заменив действие отдельных стоек действием непрерывной упругой среды жесткость которой характеризуется коэффициентом к, Ясинский применил первый метод исследования устойчивости (рассмотрение условия равновесия отклоненной формы, весьма близкой к первоначальной форме равновесия), он допустил возможным искривление верхнего пояса в плоскости, перпендикулярной к плоскости рисунка (рис. 57, а), и для этой искривленной формы составил дифференциальное уравнение равновесия. [c.285]

В первой части (Главы 1 и 2) достаточно подробно обсуждаются общие ситуации и конкретные проблемы, приводящие к изучению задач устойчивости (стабилизации) и управления по части переменных, а также систематизируются направления и методы исследования таких задач. При этом основное внимание уделяется методам функций Ляпунова и нелинейных преобразований переменных, а также исследованиям линейных систем и по линейному приближению. [c.5]

Достаточно обоснованного расчета муфты пока не разработано. Первые исследования [49] показывают, что нагрузочная способность муфты ограничивается потерей устойчивости резиновой оболочки. В первом приближении можно рекомендовать расчет прочности оболочки по напряжениям сдвига в сечении около зажима (по В ) [c.365]

Для исследования устойчивости периодического движения х = f (t),y = (t) в смысле Ляпунова можно, как показал Ляпунов, идти по пути линеаризации уравнений, подобно тому, как мы это делали при исследовании устойчивости состояний равновесия. Если положить д = ср ( ) -[- , у = a (О + у], подставить эти выражения в уравнения (5.1), разложить правые части этих уравнений — функции Р(ср-[- , i + 1]) и Q( f + , + — в ряды ПО степеням 5 и и отбросить нелинейные члены, то мы получим линейные уравнения ( уравнения первого приближения ) для координат возмущения и [c.326]

Советская научная литература по устойчивости чрезвычайно обширна и весьма богата результатами как в области развития теории, так л в области ее практических приложений (см. А. М. Ляпунов. Библиография . Составила А, М. Лукомская, под редакцией В. И. Смирнова, М.—Л., 1953). Разработка идей Ляпунова ведется по многим направлениям. Здесь надо отметить развитие и применение первого и, особенно, второго методов Ляпунова, установление новых теорем, расширяющих ж углубляющих эти методы анализ существования функций Ляпунова и их эффективного построения исследования устойчивости по первому приближению и в критических случаях, а также при постоянно действу-лопщх возмущениях исследования устойчивости не установившихся и периодических движений, а также уртойчивости на конечном интервале времени развитие теории приводимых и правильных систем, а также качественной теории дифференциальных уравнений распространение методов Ляпунова на механические системы, описываемые аппаратом, отличным от обыкновенных дифференциальных уравнений (в особенности на сплошные среды), и многие другие. В последние годы выяснилось, что метод функций Ляпунова можно с успехом применять и в получении оценок приближенных интегрирований, и в теории оптимального управления (см. обзор Н. Н, Красовского в настоящем сборнике, стр. 179— 243), и в теории нелинейных колебаний и во многих других разделах науки. По теории устойчивости движения опубликован ряд прекрасных монографий. [c.11]

В практическом использовании второй метод Ляпунова значитель но сложнее, чем способы исследования устойчивости по первому при ближению, ибо общих рецептов построения функций Ляпунова не су ществует- Теория устойчивости по первому приближению сводит вопр об устойчивости к чисто алгебраической задаче - к анализу расположени корней характеристического уравнения в комплексной плоскости корне а для этой цели разработаны различные стандартные приемы [14, 33]. [c.44]

Дастся изложение основ теории усхойчпвоети движения, базирующееся на общем курсе высшей математики для втузов. Основное внимание уделено наиболее эффективным методам иссл< дова-ния — прямому методу Ляпунова, исследованию устойчивости по уравнениям первого приближения и частотным методам. Отдельные главы посвящены исследованию устойчивости движения но стру -туре действующих сил, устойчивости неавтономных систем, в тол числе систем с периодическими коэффициентами, и систем автоматическою регулирования. [c.2]

Основное внимание в кпиге уделено наиболее эффективным методам исследования устойчивости движения — прямому методу Ляпунова и исследованию устойчивости по уравнениям первого приближения. Отдельные главы посвящены исследованию устойчивости дви>кения по структуре действующих сил, устойчивости движения неавтономных систем, в том числе систем, возмущенное движение которых описывается линейными дифференциальными уравиениями с периодическими коэффициентами. [c.7]

Еще одно направление, в котором развивались исследования по аналитической механике,— применение понятия теоретически устойчивых двия№пий к исследованию действительных движений механики. Основные работы и здесь принадлежат Н. Г. Четаеву, который высказал и развил идею о возможности создании аналитической механики на основе отбора истинных состояний движения из всех возможных движений, обладающих устойчивостью того или иного характера. Эта идея была развита Чета-евым в работах 1931 — 1945 гг. Сформулировав задачу об устойчивости механических систем, Четаев дает строгое доказательство того, что для невозмущенных движений в случае их устойчивости в первом приближении уравнения Пуанкаре в вариациях будут иметь лишь нулевые характеристические числа. Если невозмущенное движение устойчиво, то соответствующие уравнения в вариациях [c.289]

Однако, как известно, задачи об устойчивости оказываются фактически разрешимыми только в тех случаях, когда задача решается уже в первом приближении, т. е. исследованием линейной системы дифференциальных уравнений, да еще вдобавок с постоянными коэффициентами. В механике мы имеем такие случаи для неконсервативных систем, где благодаря диссипации энергии оказывается возможной асимптотическая устойчивость, легко обнаруживаемая в первом приближении. В задачах классической небесной механики мы имеем дело всегда с консервативными системами, в которых по первому приближению легко обнаруживается только неустойчивость, а представляющие интерес случаи относятся к категории особенных , для исследования которых о)1 ного первого приближения недостаточно, что чрезвычайно усложняет и затрудняет получение эффективного решения. [c.343]

В главах седьмой — десятой решается задача об устойчивости треугольных точек либрации ограниченной задачи трех тел. В главе 7 рассмотрен случай плоской круговой задачи. Наиболее существенное исследование устойчивости в этом случае раньше было проведено Леонтовичем и Депри. В их работах [37, 111] для решения задачи устойчивости применялась теорема Арнольда — Мозера и не были исследованы те случаи, когда эта теорема неприменима. В главе 7 при помощи результатов главы 4 задача об устойчивости треугольных точек либрации решена полностью. Показано, что в области устойчивости в первом приближении точки либрации действительно устойчивы по Ляпунову, за исключением двух значений параметра [г, при которых имеет место неустойчивость. Эти значения и [Хг соответствуют резонансам сох = Зсоа и (01 = 3(02 между частотами линейной системы. [c.13]

Мы получили уравнение степени 21 относительно к, которое обычно называется. характеристическим. Ляпунов называл его определяющим —название, как мы увидим дальше, связано-с тем, что корни этого уравнения определяют характер движения системы, В случаях колебательного движения системы уравнение (7.21) называют частотным —корнями будут квадраты собственных частот колебаний системы. Характеристическое уравнение (7,21) может иметь кратные корни. Мы покажем дальше,, что в этом случае будет либо просто совпадение нескольких собственных частот колебаний, либо появятся расходящиеся решения Если каким-либо способом мы докажем устойчивость невозмущенного состояния системы, то для приближенного описани возмущенного движения сможем применить уравнения первого приближения. Но при исследовании устойчивости, например методом Ляпунова нужно строить в явном виде функции Ляпунова, а это очень трудная задача. Поэтому большую ценность-имеют приемы, позволяющие судить об устойчивости невозмущенного состояния без построения функции Ляпунова, в частности по первому приближению. [c.444]

Для толстостенных трехслойных оболочек с податливым слоем заполнителя при исследовании локальных краевых эффектов в окрестности приложения сосредоточенных сил и закреплений, а также при коротковолновых формах потери устойчивости и колебаний расчет проводят с учетом деформаций поперечного сдвига и сжатия в слое заполнителя. Наиболее простая модель, позволяющ,ая в первом приближении учитывать указанные деформации, может быть получена с использованием предположения о линейном законе распределения всех компонент вектора перемещений по толщине заполнителя [11]. Рассмотрим основные соотношения и вариационные формулировки решения задач статики, устойчивости и колебаний, соответствующие данной модели. [c.218]

Исследование вопроса о взаимосвязи динамической и квазистати-ческой механики разрушения приводит к формулировке предмета динамического разрушения. Процесс разрушения характеризуется (по крайней мере в заключительной стадии) лавинным распространением одной трещины дли семейства разветвленных трещин, т. е. является существенно динамическим. В описании этого процесса на мик-ро- и макроструктурном уровнях остается много неясного, и когда мы сейчас встречаем в литературе утверждения о том, что механика разрушения предоставляет необходимый аппарат для расчета прочности тел и конструкций, то подразумеваем квазистатическую механику разрушения, которая дает ответ на вопрос о том, является ли существующая магистральная трещина устойчивой или неустойчивой. Действительно, механика квазистатического разрушения линейно-упругих, пластических и вязкоупругих материалов к настоящему времени разработана достаточно хорошо, но это лишь первое приближение описания разрушения, позволяющее судить только о том, начнется катастрофический рост трещины или нет. [c.158]

Весьма обширные (хотя в основном нестрогие) исследования влияния нелинейностей в правых частях системы (1) на поведение ее решений вблизи начала координат были проведены егце в конце XIX — начале XX века Кортевегом [2] и Бетом [3-5]. Они, в частности, показали, что устойчивое в первом (линейном) приближении решение j = О может стать неустойчивым нри учете нелинейностей в правых частях системы (1). В работах Т. Леви-Чивита [6-8] содержится ряд строгих результатов по устойчивости периодических движений системы (1), когда она автономна и п = 2. В этих же работах содержится приложение обгцетеоретических выводов к доказательству неустойчивости резонансных орбит астероидов. [c.115]

А. М. Ляпунов дал математически строгое общее определение устойчивости движения по отношению к некоторым данным непрерывным функциям Qs времени t, координат и скоростей системы, обобщившее многочисленные определения устойчивости, существовавшие ранее. В частности, выбирая надлежащим образом функции Qs, в ляпуновское определение устойчивости можно включить определение орбитальной устойчивости, исследовавшейся в первом приближении Н. Е. Жуковским. Для невозмущенного движения функции Qs обращаются в некоторые известные функции Рд времени t. Решение вопроса об устойчивости Ляпунов приводит к исследованию дифференциальных уравнений возмущенного движения [c.8]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...