Построение линии пересечения двух плоскостей по точкам пересечения прямых линий с плоскостью

Построение линии пересечения двух плоскостей по точкам пересечения прямых линий с плоскостью [c.45]

ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ ПО ТОЧКАМ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ С ПЛОСКОСТЬЮ [c.44]

На рис, 108 показан пример построения линии пересечения пирамиды и призмы. Так как боковые грани призмы занимают проецирующее положение по отношению к фронтальной плоскости, фронтальную проекцию линии пересечения строить не надо. Для построения двух других проекций линии пересечения определяют на фронтальной плоскости проекций точки пересечения ребер пирамиды с гранями призмы (точки 1 6 и 2 5 и симметричные им относитель Ю плоскости п точки) и вводят вспомогательную плоскость р для определения отрезков прямых, по которым пересекается профильная грань призмы с боковыми гранями пирамиды (отрезок 3 — 4 и симметричный ему относительно плоскости а отрезок). [c.51]

Для построения линии пересечения двух фигур чаще всего применяют метод вспомогательных плоскостей или поверхностей (посредников). В качестве посредников применяют плоскости или шаровые поверхности. Задачи решаются в такой последовательности проводят несколько удачно выбранных посредников. Каждый посредник пересекает заданные поверхности по простейшим линиям (прямым или окружностям) общие точки взаимного пересечения полученных линий принадлежат одной и другой поверхностям, т. е. принадлежат линии их пересечения. Найдя достаточное количество точек, соединяют их плавной кривой. Если пересекаются два многогранника, то при помощи посредников определяют точки пересечения ребер одного многогранника с гранями второго. Полученные точки соединяют между собой в определенной последовательности. [c.137]

Задача построения линии пересечения двух многогранников сводится к нахождению этих точек. Отсюда метод решения подобной задачи найти точки пересечения (входа и выхода) ребер первого многогранника с гранями второго, а потом наоборот — ребер второго многогранника с гранями первого. Точки пересечения последовательно соединяются прямыми линиями, предварительно определив их видимость, по общему правилу, рассмотренному в предыдущем параграфе (рис. 146, 147). Нахождение точек линии пересечения осуществляется при помощи вспомогательных секущих плоскостей. Секущая плоскость — это плоскость, пересекающая какую-либо поверхность (в данном случае многогранник). При пересечении многогранника секущей плоскостью получают фигуру сечения — многоугольник, прямоугольник, треугольник и др. Если секущая плоскость проведена через прямую — ребро одного многогранника, то пересечение этой [c.105]

На рисунке 2.17 представлен пример построения линии пересечения двух плоскостей способом пересечения прямой линии с плоскостью. Плоскости заданы треугольниками АВС и ЕСР. Вспомогательные секущие плоскости ДЕ2) я Е (Е ) проведены через стороны ЕС и ВС треугольников. Плоскость Д г) пересекает треугольник АВС по прямой 1-2. Точка К является результатом пересечения прямых ЕС и 1-2. Плоскость Е (Е пересекает треугольник ЕСР по прямой 3-4. Точка К является результатом пересечения прямых ВС я 3-4. [c.31]

Как было указано выше, построение точек линий пересечения двух поверхностей способом вспомогательных проецирующих плоскостей состоит в проведении проецирующих плоскостей, пересекающих обе данные поверхности по графически простым линиям (прямым или окружностям). Пересечение этих линий дает точки, принадлежащие искомой линии. Так как линии пересечения каждой из вспомогательных проецирующих плоскостей с данными поверхностями являются конкурирующими линиями, то можно сказать, что способ вспомогательных проецирующих плоскостей приводит к проведению на данных поверхностях графически простых линий, конкурирующих друг с другом. [c.177]

Пересечение поверхностей, когда одна из них проецирующая (рис. 10.13). Если одна из пересекающихся поверхностей проецирующая, то задача построения линии пересечения двух поверхностей упрощается и сводится к построению недостающих проекций кривой линии на одной из поверхностей по одной заданной проекции линии (см. 8.3). На рисунке 10.13 горизонтальная проекция линии пересечения прямого кругового цилиндра и сферы совпадает с горизонтальной проекцией цилиндра. Фронтальная и профильная проекции линии построены по их принадлежности сфере с помощью проекций вспомогательных линий на сфере. Отметим характерные (опорные) точки линии пересечения, пользуясь горизонтальной проекцией. Высшая и низшая точки (их проекции 2 2, 2" м Г, 1, 1") лежат в плоскости симметрии фигуры, проходящей через центр сферы с проекциями о, о м ось цилиндра с проекциями о о , о-,. Горизонтальная проекция плоскости симметрии — прямая, проходящая через проекции о и О]. В пересечении этой прямой с проекцией цилиндра отмечаем горизонтальные проекции 2 и / высшей и низшей точек линии пересечения. Заметим, что точка 2 — ближайшая [c.140]

На рис. 194 сечение тетраэдра плоскостью Р, заданной следами, построено с помощью как первого, так и второго способа. Так, прежде всего была найдена точка / пересечения ребра 5Л с плоскостью Р. Для этой цели через ребро 5Л была проведена фронтально проектирующая плоскость Q и построена прямая MN, по которой пересекаются Р и Q. Далее, строим линию пересечения плоскости Р и грани SA . Первой из двух точек, определяющих эту прямую, будет только что найденная точка / на ребре 5Л, а в качестве второй воспользуемся точкой пересечения горизонтальных следов рассматриваемых плоскостей. Это будет точка М , в которой горизонтальный след грани 5ЛС (ребро ЛС) пересекает Рн. Прямая IMi принадлежит и плоскости Р и грани SA . Отрезок / — // построенной прямой является одной из сторон сечения. Соединяя концы этого [c.109]

На рис. 73 дан пример построения линии пересечения двух цилиндров, оси которых пересекаются в точке М (т ) и расположены параллельно фронтальной плоскости проекций. Линия пересечения построена с помощью вспомогательных концентрических сфер с центром в точке М т ). Известно, что если ось поверхности вращения проходит через центр шара (обе поверхности соосны), то такие поверхности пересекаются по окружности если оси на-. званных поверхностей параллельны фронтальной плоскости проекций, то окружность проецируется на эту плоскость в виде прямой линии. Для определения радиуса наименьшей сферы следует из точки т пересечения осей. [c.44]

Построение точек, принадлежащих линии пересечения двух конических поверхностей, показано на рис. 360. Соединим вершины 8 и Т прямой и построим точки и Л1, в которых прямая 8Т пересекает плоскости й и Е, в которых лежат направляющие поверхностей. Проведем через прямую 8Т произвольную плоскость Ф" она пересечется с плоскостью I2 по прямой, проходящей через точку М, а с плоскостью Е — по прямой, проходящей через точку М. Обе прямые встречаются друг с другом в точке К, лежащей [c.243]

Если бы речь шла о построении линии пересечения двух конических поверхностей с любыми основаниями и заданными или построенными следами в горизонтальной плоскости, то применение горизонтальных плоскостей привело бы к слишком долгим операциям каждая из горизонтальных плоскостей пересекла бы обе поверхности по кривым, подобным следам соответственных поверхностей однако они не были бы идентичны этим следам и их пришлось бы строить по точкам, каждую кривую в отдельности если же построить систему плоскостей, проходящих через прямую, соединяющую вершины обеих конусов, то каждая из этих плоскостей пересечет обе конические поверхности по четырем прямым, а эти прямые, лежащие в одной плоскости, пересекутся между собою, не считая вершин, в четырех точках, которые и будут принадлежать пересечению обеих поверхностей. В этом случае каждая из точек горизонтальной проекции линии пересечения поверхностей будет построена как точка пересечения двух прямых. [c.97]

Точка к, в которой аЬ пересекается с тп, является проекцией точки пересечения прямой с плоскостью Р. Отметка точки к может быть определена, если через нее провести горизонталь по плоскости Р. Итак, чтобы найти точку пересечения прямой с плоскостью, необходимо 1) провести через прямую любую плоскость общего положения, 2) построить линию пересечения данной и вспомогательной, плоскостей, (прямую МИ), 3) определить искомую точку К, как точку пересечения двух прямых данной АВ и построенной МЫ. [c.251]

Для построения линии взаимного пересечения двух кривых поверхностей пользуются методом вспомогательных секущих поверхностей (см. черт. 253). В качестве этих поверхностей используют не только плоскости, но и в некоторых случаях сферы, цилиндрические, конические и другие поверхности. Вспомогательные поверхности выбирают таким образом, чтобы с данными они пересекались по линиям, легко определяемым на чертеже. Желательно с этой точки зрения, чтобы эти линии получались прямыми или окружностями. что позволяет проводить их только с помощью циркуля и линейки. [c.87]

Всякая прямая Р в ортогональных проекциях Монжа определяется двумя ее проекциями Н я V на двух взаимно перпендикулярных плоскостях хОу и xOz (фиг. 79, а). Дополнительно к этому отмечаются также две точки Z и V — следы пересечения этой прямой с указанными плоскостями. В этом построении Монжа вертикальная проекция прямой V получается искаженной. При изображении прямой или вектора по методу редукции вертикальной проекцией не пользуются, а заменяют ее проекцией Z на вертикальную ось Oz. Чтобы определить величину пространственного вектора в этом случае, на одной горизонтальной плоскости и притом без искажения, достаточно соединить следы Z и У прямой линией и провести через конец горизонтали другую линию, параллельную первой. [c.152]

В построениях, показанных на рис. 280, 281, были использованы вспомогательные горизонтально-проецирующие плоскости. И хотя применение именно горизонтально- или фронтально-проецирующих плоскостей в качестве вспомогательных при нахождении точки пересечения прямой линии с плоскостью или двух плоскостей между собой (а значит, и в случаях взаимного пересечения многогранных поверхностей) удобно и является обычным приемом, могут быть случаи, когда плоскости общего положения в качестве вспомогательных окажутся предпочтительными они дадут меньше дополнительных построений. Но для этого должны быть соответствующие условия. Пример дан на рис. 282. Здесь основания обеих пирамид находятся в одной плоскости. Через вершины пирамид проведена прямая и найден ее след (точка М) на плоскости оснований пирамид. Всякая плоскость, проведенная через прямую 8Т, проходит через вершины обеих пирамид и рассекает их грани по прямым линиям (см. рис. 276) следы этих плоскостей на плоскости оснований пирамид проходят через точку т. [c.163]

Перспективное изображение методом архитектора. На рис. УПГ.ЗО, а даны ортогональные проекции арки с лестницей, положение картинной плоскости к и проекция точки зрения Хь Сущность метода заключается в построении перспективы основания сооружения и определения положения других точек по высоте. Для этого используют точки схода, точки начала линий, масштабы высот. Перспектива обычно строится в увеличенном масштабе по отношению к масштабу исходных проекций, в нашем примере — в два раза. Построение перспективы начинают с построения основания здания (сооружения), расположенного в предметной плоскости. Для этого используют точки начала прямых и точки схода. Точки Р и Р являются точками схода доминирующих направлений линий в плане. Каждая точка плана находится пересечением перспектив двух прямых. Для удобства построения перспективы картинная плоскость проведена через ребро боковой стены лестницы 1 К, тогда это ребро в перспективе проецируется натуральной величиной (с учетом масштаба изображения). Для построения перспективы Ск точки С (рис. У1П.ЗО, а) проводят горизонтальную линию до пересечения с [c.215]

Порядок построения линии пересечения двух плоскостей следующий. Про-ьодят по одной горизонтали с одинаковыми отметками в каждой из пересекающихся плоскостей и отмечают точку взаимного их пересечения. Для построения второй точки выполняют то же со второй парой горизонталей с одинаковыми отметками. Полученные точки соединяют прямой линией, являющейся искомой линией пересечения манных плоскостей. [c.116]

На чс п. 277 построение линии пересечения двух цилиндрических новерхностей осуществл( но с помощью плоскостей о) , (1)2, u) i и т. д., параллельных их образующим. В чтом случа( предварительно задают некоторую плоскость О), называемую плоскостью параллелизма. Линии а и Ь этой плоскости проводят параллельно соответственно образующим первого и второго цилиндров. Все плоскости семейства со параллельны между собой и пересекаются с Плоскостью оснований цилиндров по параллельным прямым /i /, /зЦ/ И т, д.), а обе цилиндрические поверхности по образующим. Точки искЬмой кривой линии являются точками пересечения соответствующих образующих. [c.88]

На рис. 153, а показан пример построения проекций линии пересечения поверхностей правильной треугольной пирамиды, стоящей на плоскости проекций Н, и прямой треугольной призмы, основание которой расположено в плоскости проекций W. Профильная проекция показывает, что поверхность призмы полностью пересекает поверхность пирамиды, и, следовательно, имеем две ломаные лиции пересечения. Более того, устанавливаем, что поверхность призмы пересекается с левой и правой боковыми гранями пирамиды, а задняя грань пирамиды в пересечении не участвует. Следовательно, линии пересечения представляют собой плоские фигуры — треугольники. Профильные проекции линий пересечения совпадают с профильной проекцией призмы — треугольником /" = 2"-3" = 5"-4" = 6". Для построения двух других проекций линий пересечения необходимо найти проекции точек пересечения ребер призмы с гранями пирамиды. Для определения проекций точек / и II пересечения верхнего ребра воспользуемся горизонтальной плоскостью-посредником Q. Она пересекает поверхность пирамиды по треугольнику АВС, подобному основанию. Его фронтальная проекция а Ь с лежит на следе (Ру), а горизонтальная аЬс определяется посредством линий связи. Отметив горизонтальные проекции 1 п 2 искомых точек, при помощи линий связи строим их фронтальные проекции 1 и 2. Аналогично при помощи плоскости находим проекции точек пересечения III—VI двух других ребер призмы с гранями пирамиды. Заметим, что в плоскости Рг лежит вся нижняя грань боковой поверхности призмы. Поэтому решение этой части задачи можно рассматривать как решение задачи на пересечение двух плоскостей — граней пирамиды и призмы. Соединив последовательно найденные одноименные проекции точек, получаем проекции линии пересечения поверхностей данных многогранников. [c.151]

По ряду технических соображений уклон скатов крыш большей частью принимается одинаковым. Это позволяет строить линии их пересечения по гори зонтальной проекции и полученный результат переносить на фронтальную проекцию. Рассмотрим рис. 193, на котором показаны крыши зданий различной конфигурации. Крыша здания, имеющего при виде сверху форму квадрата, представляет собой правильную четырехгранную пирамиду. Вершина 8 проектируется в центр основания. Угол а наклона скатов к плоскости Н проектируется на плоскость V в натуральную величину (рис. 193, а). Горизонтальная проекция линий пересечения скатов крыши расположена на биссектрисе угла между горизонтальными проекциями стен. Если здание представляет собой прямоугольник, то для построения пересечения скатов его крыши проводят линии, направленные под углом 45° к горизонтальным проекциям стен. Проследим за построением двух проекций крыши на рис. 193, б. Через точки а, Ъ, с ж й проведем прямые под углом 45° к отрезкам ай ж Ъс ж соединим точки их пересечения 5 и между собой. Для построения точки проведем через точку а Ь прямую под углом а к оси Ох до пересечения с линией проекционной связи, проходящей через точку 5. Пересечение скатов крыши слухового окна ЕР1 г крышей здания не может быть построено без фронтальной проекции. Проведем через заданный отрезок e f горизонтальную прямую до пересечения с ребром крыши з с в точке 1. Найдя горизонтальную проекцию этой точки, нроведем через нее прямую е/ и отметим на ней точки е и /. Отрезки еп и jn параллельны отрезкам Ьз и С8. [c.135]

При построении проекций фигуры сечения можно обращать внимание на нахождение вершин многоугольника, определяя при этом точки встречи нескольких прямых с данной плоскостью или же на построение сторон многоугольника, как некоторой части линии пересечения двух плоскостей. Во многих случаях целесообразно, в за-Рис. 250. Сечение многогран- висимости от расположения заданных эле-ника плоскостью. ментов, нахождение вершин чередовать с по- [c.234]

Общие положения. Известно, что если ось поверхности вращения проходит через центр сферы и сфера пересекает эту поверхность, то линия пересечения сферы и поверхности вращения — окружность, плоскость которой перпендикулярна оси поверхности вращения. При этом, если ось поверхности вращения параллельна плоскости проекций, то линия пересечения на эту плоскость проецируется в отрезок прямой линии. На рисунке 10.3 показана фронтальная проекция пересечения сферой радиуса Я поверхностей вращения — конуса, тора, цилиндра, сферы, оси которых проходят через центр сферы радиуса К и параллельны плоскости V. Окружности, по которым пересекаются указанные поверхности вращения с поверхностью сферы, проецируются на плоскость V в виде отрезков прямых. Это свойство используют для построения линии взаимного пересечения двух поверхностей вращения с помощью вспомогательных сфер. При этом могут быть использованы концентрические и неконцентрические сферы. В данном параграфе рассмотрим применение вспомогательньгх концентрических сфер—сфер с постоянным центром. [c.131]

Построение проекций линии пересечения двух поверхностей вращения — прямого кругового конуса и кругового цилиндра с применением в качестве вспомогательных секущих поверхностей концентрических сфер, приведено на рис. 41. Точки 1 п 2 линии пересечения отмечены без вспомогательных построений. Их положение очевидно. Для нахождения промежуточных точек линии пересечения из точки пересечения осей пересекающихся поверх-стей как нз центра проведены сферы / и II. Сфера I пересекает поверхности конуса и цилиндра по окружностям, которые проецируются на фронтальную плоскость проекций в виде отрезков прямых а Ь и с й соответственно. В пересечении этих линий отмечены фронтальные проекции 3 и 4 двух точек, принадлежащих искомой линии пересечения. Для нахождения горизонтальных иро-екц1и 1 их проведена горизонтальная проекция окружности диаметра а Ь, на которой лежат эти точки, и соответствующие линии связи. Промежуточные точки 5 и 6 найдены аналогично при помощи вспомогательной секущей сферы II. [c.133]

Пересечение двух конических поверхностей показано на рис. 351. Соединив точки S к Т прямой, проведем через нее произвольную плоскость Ф, пересекающую обе поверхности. Она пересекается с плоскостями, KOTopj,iM инцидентны направляющие поверхностей (в данном случае — эллипсы) по прямым NK и МК, а с направляющими — в точках 7 и 2, а также J и 4. Через эти точки проходят образующие задан-,ных поверхностей, по которым их пересекает плоскость Ч. Остается отметить общие для об- разующих точки А, В, С к D. В общем случае их четыре. Выполняя /152/, нужно провести столько вспомогательных секущих плоскостей, чтобы обеспечить достаточную точность построений. Среди этих плоскостей должны быть выбраны такие, которые пересекают одну из поверхностей по одной образующей (т. е. касаются ее), а вторую по двум образующим. Такова плоскость NME. В точке 5 она пересекает направляющую поверхности с вершиной Т и. в точках б и 7 — направляющую поверхности с вершиной S. В этом случае будут найдены две точки, принадлежащие линии пересечения поверхностей. В приведенном примере можно провести еще одну плоскость, касающуюся поверх- [c.131]

Дальнейшее течение газа будет зависеть от формы стенок сопла. Стенкам сопел требуется придать такую форму, чтобы начиная от точки В вниз по потоку течение было равномерным. Тогда так же, как и в плоском случае, характеристики, исходящие из точки В плоскости X, у, должны быть прямыми линиями, на которых скорость постоянна по величине и направлению и равна скорости в точке В. В этой постановке линии тока, выходящие из точек А и которые и необходимо принять за стенки сопла, строятся следующим образом. На характеристике АВ и прямолинейной характеристике ВС параметры потока заданы. Если на АВ и ВС взять достаточное количество близких точек и через эти точки проводить характеристики другого семейства, то с помощью (4.1) и (4.2) разностным методом так же, как в плосконараллельном случае, определится поток в некотором криволинейном характеристическом четырехугольнике АВСО. Но теперь, в отличие от плоскопараллельного сопла, характеристики обоих семейств в этом четырехугольнике будут криволинейными. Имея достаточно густую сетку характеристик в этом четырехугольнике, приступим к построению линии тока, выходящей из точки А, которая должна заменить стенку. Из точки А проводим касательную к стенке до пересечения с первой характеристикой если такое пересечение происходит не в узлах сетки, то значение скорости в точке пересечения Ау определяется интерполяцией по значениям скорости в двух близких узлах, находящихся на этой характеристике. [c.380]

Пример такого построения на чертеже приведен на рис. 4.13. Одна из плоскостей задана треугольником с проекциями А "В"С ", А В С. Вторая —параллельными прямыми с проекциями D"E", D и F"G", F G. Для построения проекций линии пересечения определены проекции М", М и N", N двух ее точек пересечения прямых с проекциями D"E", D E тл F"G", F G с плоскостью треугольника. Проекции М", М и N", N точек пересечения построены с помощью фронтально проецирующих плоскостей, заданных следами Р" и а". Плоскость р проходит через прямую DE и пересекает плоскость треуголышка по линии с проекциями 1 "2", Г2. Пересечение горизонтальных проекций Г2 и D E является горизонтальной проекцией М искомой точки. По ней построена фронтальная проекция М" на фронтальной проекции D"E". [c.45]

РДилиндрической поверхностью вращения называется поверхность, образующая прямая которой параллельна оси вращения. Боковая поверхность прямого кругового цилиндра (рис. 180, а) образована движением отрезка АВ вокруг вертикальной оси. Построение горизонтальной (вид сверху), фронтальной (главный вид) и профильной (вид слева) проекций цилиндра (рис. 180, б) начинают с изображения оснований цилиндра, которые параллельны плоскости П1 и проецируются на эту плоскость без искажения в виде круга. Фронтальная проекция каждого основания представляет собой отрезок горизонтальной прямой линии, равный диаметру основания. После построения нижнего основания на фронтальной проекции проводят две очерковые (крайние) образующие и на них откладывают высоту цилиндра. Проводят отрезок горизонтальной прямой, который является фронтальной проекцией верхнего основания цилиндра. Профильная проекция цилиндра представляет собой такой же прямоугольник, какой представляет собой и фронтальная проекция. Определение двух недостающих проекций точек Л и В, расположенных на поверхности цилиндра, по одной заданной, например фронтальной, проекции в данном случае затруднений не вызывает, так как горизонтальная проекция боковой поверхности цилиндра пред-сгавляет собой окружность. Следовательно, горизонтальные проекции точек А и В можно найти, проведя из заданных точек Лг и В2 вертикальные линии проекционной связи до их пересечения с окружностью в искомых точках Ах и В . Профильные проекции точек А и В строят также с помощью вертикальных и горизонтальных линий связи. [c.143]

Теперь, имея горизонталь MN плоскости пятиугольника, величину угла а и горизонтальные проекции вершин пятиугольника в совмещенном положении плоскости, нетрудно построить горизонтальные и фронтальные проекции этих вершин в восстановленном положении плоскости. Для построения проекций, например, точки В проводим через совмещенное ее положение bi прямую Ьфг, перпендикулярную горизонтальной проекции тп горизонтали, до пересечения с нею в точке Ьг через точку 2 проводим прямую bibz, параллельную прямой 82 , на ней от точки Ь2 откладываем отрезок 2 3, равный отрезку ЬгЬь через точку з проводим прямую Ь о, перпендикулярную прямой 62 1, ДО точки Ь пересечения с ней. Точка Ь будет горизонтальной проекцией точки В. Фронтальная ее проекция Ь будет лежать на линии связи этой точки и будет удалена от фронтальной проекции т п горизонтали на величину отрезка ЬЬг. Этот отрезок можно отложить от фронтальной проекции горизонтали в двух направлениях вверх и вниз. Отсюда видим, что задача имеет два решения. В результате получаем два равных пятиугольника, симметрично расположенных по отношению к плоскости, параллельной горизонтальной плоскости проекций и проходящей через горизонталь MN. [c.54]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...